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par PatrickBinot » 13/05/2009 - 19:35:32
Tout d'abord, il me semble important de discuter la probabilité de tirer la bonne boîte pour le premier joueur.
Cette probabilité est de 0,01 pour son premier tirage. Dans 99% des cas, il tirera donc une seconde boîte. Lors de son deuxième tirage, la probabilité qu'il y trouve son nom est de 1/99. Mais, il a 99 chances sur 100 qu'il doive tirer une deuxième boîte. La probabilité et de tirer une seconde boîte et d'y découvrir son nom sera égale à P(second tirage) * P(bon 2ème tirage) = 99/100 * 1/99 = 0,01. La probabilité de tirer la bonne boîte au troisième tirage = P(mauvais premier tirage)*P(mauvais second tirage)*P(bon troisième tirage) = 99/100 * 98/99 * 1/98 = 0,01.
Au cours de ses 50 tirages, le premier joueur a donc 1 chance sur 2 de découvrir son nom : 0,01*50
Si tous les joueurs choisissent leurs boîtes sans stratégie, ils auront chacun 1 chance sur deux de découvrir leur boîte.
Si le deuxième joueur rentre en lice, cela signifie que le premier a découvert son nom dans une des boîtes ouvertes. Si le deuxième choisit les mêmes boîtes (G1) que le premier, il sait déjà qu'une des boîtes lui donnera une probabilité égale à 0 d'y découvrir son nom. La probabilité de découvrir son nom dans ce premier groupe de boîtes sera égale à 49/50.
Si, par contre, il choisit les 50 autres boîtes (G2), il aura une probabilité de 50/99 de trouver sa boîte : 0,505.
Si le troisième choisit comme groupe de boîtes G1 ou G2, il aura, dans les deux cas, une probabilité de 49/98 de découvrir la bonne boîte. Admettons qu'il choisisse G1. Le quatrième doit choisir G2 et sa probabilité de trouver son nom dans une des boîtes qu'il ouvrira sera égale à 49/97. Si on procède ainsi de suite, les joueurs impairs auront une chance sur deux de découvrir leur nom et, au fur et à mesure du jeu, cette probabilité pour les joueurs pairs augmentera jusqu'à atteindre 1,00 pour le dernier joueur.
Il m'apparaît qu'il convient de donner la consigne suivante : les joueurs impairs (en fonction du rang qu'il occupe) retournent les boîtes de 1 à 50 et les joueurs impairs de 51 à 100.
A titre de comparaison, la probabilité d'en sortir vivant sans consigne = 7,88861 x 10^-31 (pas fameux !)
Si la consigne est respectée par tous, cette probabilité atteint 9,91165 x 10^-30. Pas fameux non plus mais 11 fois plus tout de même.
Petites remarques : pour les consciences délicates, il vaut mieux se trouver en toute fin de rang pour ne pas avoir la mort de ses compagnons de jeu sur la conscience. Vous me rétorquerez, à juste propos, que vous ne disposeriez pas alors de beaucoup de temps pour le regretter !
Quoiqu'il en soit, je dois bien avouer que j'y ai passé plus d'une heure. Je n'aurais donc pu donner en temps voulu la consigne ! Qu'ils me pardonnent (s'ils sont toujours en vie !).
je soliciterais une réponse (ou lien vers cette réponse) détaillée de cette énigme... J'ai bien compris le principe: les matheux se numérotent (apprennent leur nom par coeur), comence par ouvrir la boîte qu'il leur correspond (numéro i) vont à la boîte qu'indique le nom dans la boîte i (nom j) et ainsi de suite... Ainsi la probabilités qu'ils survivent est égale à la probabilité qu'il n'y est pas de boucle de nombre supérieur à 50 dans l'agencement des boites/tiroirs.. Mais comment démontrer ceci?
C'est bel et bien des probabilité qu'on calcul... on dresse pas des statistiques.
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