Archimède et pi

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Costian
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Archimède et pi

Message par Costian » 25/12/2007 - 16:23:21

Comment Archimède a-t-il trouvé une valeur approchée de pi ?
Y'avait il à son époque des règles graduées ? et des rapporteurs ?
J'ai souvent entendu dire qu'il a inscrit et circonscrit des polygones réguliers à l'interieur et à l'extérieur du cercle. Mais pour calculer exactement la longueur du coté du polygone il faut des connaissances en sinus. Et il me semble qu'à son époque, on connaissait pas encore les sinus et cosinus ou on ne savait pas des valeurs assez precises de cos et sin pour les angles.
Alors je veut savoir comment il a fait exactement ?

Costian
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Message par Costian » 26/12/2007 - 13:09:52

Il me semble qu'à son époque, on dessine sur le sable avec des branches.
On dit qu'il a trouvé analytiquement une valeur approché de pi qui est de 22/7, il a plus precisement encadré pi entre 3 + 10/71 et 3 + 1/7.
J'ai visité plusieurs sites internets mais je n'ai pas trouvé comment il a fait.
Dans un site parmi eux, on comprend qu'il a utilisé la formule de sin(x/2) à partir de sin(x). Mais il faut une bonne connaissance en trigonométrie pour le faire. Vient ensuite le problème de calculer les racines carrés à la main si on utilise cette méthode, et il faut un nombre très grand de chiffres après la virgule.
Je veux savoir comment il a fait à son époque pour trouver une valeur approchée comme celle la.

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bongo1981
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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 18/02/2015 - 10:45:25

Costian> Désolé pour le temps de réponse... 8 ans déjà...
A priori Archimède aurait encadré un cercle par son polygone inscrit et circonscrit.

La longueur d'un côté d'un polygone à n côtés étant donné par :
- polygone inscrit : 2n sin (pi/n)
- polygone circonscrit : 2n tan (pi/n)

Ainsi :
n sin (pi/n) < pi < n tan (pi/n)

Ensuite connaissant par exemple la valeur de sinus et tangente pour pour pi/4, il suffit de remarquer que :
cos x = racine [(1 + cos 2x)/2]
sin x = racine [(1 - cos 2x)/2]
tan x = racine [(1 - cos 2x)/(1 + cos 2x)]

Il suffit ensuite de partir d'une valeur d'un angle connu (par exemple pi/4).
Effectivement, cela requiert une certaine connaissance trigonométrique, et un calcul d'extraction de racines carré.
Les calculs ne devaient sûrement pas être facile avec l'utilisation du système de numérotation grec (en fait je ne sais pas du tout ce que c'est... a priori je connais celui des romains, et je suppose qu'ils l'ont hérité des grecs ?).

Je me demande combien de côtés il a considéré.
Je rappelle également que c'est un des prémisses du calcul différentiel.

laloicki
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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 15/12/2015 - 16:20:32

Bonjour, j'aimerai bien une explication sur le raisonnement qui suit et si il y a une erreur de logique, merci.

C'est mon premier post ici, j'espère être dans les clous :siffle:

je me disais que vous seriez content de savoir que c'est l'unité du radian qui n'est pas comptée en Physique (et pourtant ?), introduit pour faire de l'arc de cercle une longueur exacte en partant d'une horloge en base 12 (les degrés), et donc de faire correspondre les longueurs de l'arc au segment, qui introduisent et définissent pi (On a aboutit à l’impossibilité de résoudre Surface{cercle}=Surface{carré} (la quadrature du cercle) parce que pi est transcendant). Donc c'est la propriété d'être, de pi, un nombre transcendant, qui empêche de résoudre du même coups tout les problèmes d'unités d'angles, (rad, seconde d'arc), en tout cas, le fait qu'il ne peuvent se convertir l'un dans l'autre ... sans pi !

Alors c'est quoi la meilleure façon de caractériser une (courbure, des cycles, des accélérations, bref des unités de temps ?) et de caractériser les surfaces/intégrales/topologies par une unité fondamentale (c'est déjà le cas, les m²) de façon à rapprocher et diversifier les passages des systèmes de coordonnées sphériques<=>cylindriques<=>cartésiennes (car même le mathématicien pour travailler doit avoir au départ un objet mathématique comme base) et qui sont très utilisées, en prenant les coordonnées cylindriques comme éléments de construction (règle et compas) respectant des solutions à la quadrature du cercle, même si la prémisses est d'être en base pi (modulo |N pour la construction), car il est redondant et multiple dans toutes les équations ... tout comme le temps ... le temps qui est une dimension assez particulière d'une théorie (RG) basée sur la géométrie non euclidienne (en grande partie), les angles qui peuvent se mesurer en unité de temps et vice versa ! Mais redéfinir la quadrature par une nouvelle géométrie discrète, et qui décrirait mieux le temps et l'analyse dimensionnelle en Physique, autant prendre la MQ (et là, on a pi, partout aussi), donc comme Mr Rovelli essaie de ne pas prendre en compte le temps dans une Physique atemporelle (pour moi, c'est la définition actuelle d'une théorie Mathématique), c'est l'exprimer clairement en Maths comme quelque chose de + profond que ça ... c'est pour moi la racine du problème=les Maths :)

Le problème est entre l'omniprésence des corps sphériques et des particules comme une molécules ou des cristaux (+ carrées) (caréner dans un cadre antique que sont les polygones comme les épicycles de Ptolémée), particules/champs sphériques, ce sont donc les constructions carrés qui représentent le cas particulier et les angles comme bases naturelles !

C'est bien simple les champs (comme la TQC, et la RG) ne sont pas indépendantes de pi (radian, stéradian => changement de dimension spatiale à 90°(x, y, z) (30 min d'arc,1800"et pas pi/2) et comme je crois que ce sont les mathématiciens qui font les Maths ... je me demande si eux mêmes, peuvent manquer de temps (ça rejoint l'énormissime travaille de Grothendieck, qui travaillait sur des lois entre géométries, et qu'il n'avait pas fini ... ! et le fait qu'ils en faillent plusieurs sur le coup pour décrypter son œuvre, et la continuer).

Donc si il faut une preuve de se débarrasser de pi, elle est en Maths, je pense !
Voici ma formule : Prenons un carré de côté c, les cercles inscrits et circonscrits tout 2 de Di=c et Dc=c.sqrt(2) ; On effectue la soustraction littérale des surfaces des 2 cercles qui est proportionnelle à Dc²= et Di² avec pi.D²/4 et D=(Dc-Di)/2 <=> D=sqrt(2)sqrt(3)/2=sqrt(6)/2=Dc/2= et Si (Surface inscrite) et Sc (Surface externe) ne sont donc que des cercles concentriques de 2 fois la surface de l'un moins la surface de l'autre (peut importe c'est proportionnel n² à D² (je rappelle la base |N avec pi).
Maintenant je précise que c=sqrt(3), donc Scarré=Di²=c²=3 et c.sqrt(2)=Dc=sqrt(6) avec Dc²=2c². Ce qui donne avec c²=3 et Sc=2Si avec S (surface de cercle à égaliser avec le ²) S=n²(Dc²-Di²)=n²Dc²-n²Di²=3 donc et n=sqrt(2) Sconcentriques=2c²-c²=c² =Scarré comme Sc=2Si alors k=n²(théorème des rayons puisque les cercles sont centré) DiDc=c².sqrt(2)=racine(3)racine(2)/2=racine(6)/2 :) Il faut que n²=k (n, pris dans les entiers naturels et k un ensemble possible des transcendants ?)

Du coup, Je ne vois pas de problème majeur dans l'égalité de certaines surfaces de polygones régulier convexe (comme le carré) avec un cercle composé d'une différence de cercle concentrique particulier (inscrits et circonscrits) comme avec le problème de recomposition de Banach Tarski par décompositions en éléments simples de surfaces courbes et donc reformer l'égalité de mesure entre 2 sphères identiques (2=1 qui pour moi est la définition d'une base 2, 10 ou n²pi). Du coup la géométrie reprend du gallon ! :jap:

PS: L'erreur c'est peut être que sqrt(2) est transcendant ?

Oh aller ! je donne ma petite formule générale pour rire et sa coûte rien.
Le nombre de côté égaux donne un diamètre exact en conséquence pour N quelconque : N = 180/(tan^-1(2l²/(D²-l²))) pour N=4, l=c=sqrt(3), l=norme du segment ou côté du polygone, et avec le diamètre choisi pour inscrire ou circonscrire le polygone ou le cercle ou le compromis en base transcendante D=sqrt(6)/2=Dc/2 ; (Dc-Di)=Dc donc Dc=Di, ie en degrée horaire !

Voilà, j'espère plein de critiques constructives, en tout cas merci de m'avoir lu. :bieres:

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cisou9
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Re: Archimède et pi

Message par cisou9 » 15/12/2015 - 17:26:41

____________ :_salut:
@ Bongo
J'ai toujours pensé que calculer une racine carré en chiffres romain est quasiment impossible, le zéro n'existant pas !!!

Par contre, évaluer pi est assez facile on peut mesurer assez facilement une circonférence C ainsi que le diamètre Ø.
or C = pi x Ø d’où pi = C / Ø.
Un homme est heureux tant qu'il décide de l'être et nul ne peux l'en empêcher.
Alexandre Soljenitsyne.

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 15/12/2015 - 18:26:52

Désolé, bonjour !

nan rien je me disais qu'on pouvait pas utiliser Périmètre<=>Circonférence & P=C

laloicki
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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 16/12/2015 - 12:48:05

Bonjour,
Je ne connais pas encore bien le forum TS et ses us et coutume (qui est pour moi le 2ème forum de sciences, malheureusement bien moins actif, mais je préfère les ambiances feutrées :) ), mais je me serai attendu à + de réponses ou ... questions ?
Je n'ai malheureusement rien à y gagner, puisque même si c'est valide comme raisonnement, un théorème de maths (déjà que c'est pas formalisé rigoureusement :siffle: ) n'est pas rentable (pour l'auteur) !

Et je ne demande qu'à apprendre !

Dois bien y avoir une faille ? Sans doute trop évidente pour que je la vois ? :haaa:

PS : il n'y a pas de rubrique "présentation" ? C'est peut être mieux comme ça, en fait. Mais pour les notifications de nouveaux messages par mail, je fais comment ? Merci :)

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bongo1981
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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 17/12/2015 - 10:58:41

laloicki a écrit :Donc si il faut une preuve de se débarrasser de pi, elle est en Maths, je pense !
Voici ma formule : Prenons un carré de côté c, les cercles inscrits et circonscrits tout 2 de Di=c et Dc=c.sqrt(2) ; On effectue la soustraction littérale des surfaces des 2 cercles qui est proportionnelle à Dc²= et Di² avec pi.D²/4 et D=(Dc-Di)/2
C’est fou ce que c’est brouillon… je ne comprends pas du tout ce que tu veux faire.
Qu’est-ce que D ?? la différence entre le diamètre du cercle circonscrit et du cercle inscrit ?

Qu’est-ce que pi D² / 4 ??
La surface de quel objet ? tu es en train de tracer un autre cercle ? C’est un rayon ? Pourquoi diviser la différence par 2 ? Dans ce cas si c’est un rayon, pourquoi l’appeler D ? et pas R ???
La notation est plus que maladroite, et vu que tu ne définis rien ici… je crains que la suite soit complètement fausse, parce que tu t’es embrouillé dans tes notations.
laloicki a écrit :<=> D=sqrt(2)sqrt(3)/2=sqrt(6)/2=Dc/2=
Là j’ai raté un train.
Ton carré fait c de coté…
C’est quoi déjà D ? pourquoi ça ferai racine de 6 /2 ???
D’où ça sort Dc/2 ?? vu qu’avant tu avais écrit D=(Dc-Di) / 2 ?
Déjà ici c’est faux.
laloicki a écrit :et Si (Surface inscrite) et Sc (Surface externe) ne sont donc que des cercles concentriques de 2 fois la surface de l'un moins la surface de l'autre (peut importe c'est proportionnel n² à D² (je rappelle la base |N avec pi).
C’est embrouillé… et tu ne dis pas non plus ce qu’est n…. mais effectivement, peu importe, vu que tout est approximatif, on n’est plus à une approximation près. Avec ça, on pourra démontrer que 0=1.
laloicki a écrit :Maintenant je précise que c=sqrt(3)
Et pourquoi ton carré aurait pour côté racine 3 ?? pourquoi ne pas le préciser dès le départ ?
Incapable de faire un calcul littéral en toute généralité ?
Quand les égyptiens ont donné la formule du périmètre du cercle : P = 2 pi R, la formule est vrai en toute généralité, et pas pour un rayon particulier…
laloicki a écrit :donc Scarré=Di²=c²=3 et c.sqrt(2)=Dc=sqrt(6) avec Dc²=2c². Ce qui donne avec c²=3 et Sc=2Si
Oui ça c’est banal, si toutes les longueurs augmentent de racine de 2, les surfaces sont multipliées par 2. Socrate savait ça dans la maïeutique…
laloicki a écrit :avec S (surface de cercle à égaliser avec le ²) S=n²(Dc²-Di²)=n²Dc²-n²Di²=3 donc et n=sqrt(2) Sconcentriques=2c²-c²=c² =Scarré comme Sc=2Si alors k=n²(théorème des rayons puisque les cercles sont centré) DiDc=c².sqrt(2)=racine(3)racine(2)/2=racine(6)/2 :) Il faut que n²=k (n, pris dans les entiers naturels et k un ensemble possible des transcendants ?)
c’est quoi déjà n ?
C’est quoi la surface S ?
laloicki a écrit : PS: L'erreur c'est peut être que sqrt(2) est transcendant ?
non ce n’est pas transcendant, puisque racine de l’équation :
X² - 2 = 0 où tous les coefficients sont des entiers relatifs.
laloicki a écrit :Oh aller ! je donne ma petite formule générale pour rire et sa coûte rien.
Le nombre de côté égaux donne un diamètre exact en conséquence pour N quelconque : N = 180/(tan^-1(2l²/(D²-l²))) pour N=4, l=c=sqrt(3), l=norme du segment ou côté du polygone, et avec le diamètre choisi pour inscrire ou circonscrire le polygone ou le cercle ou le compromis en base transcendante D=sqrt(6)/2=Dc/2 ; (Dc-Di)=Dc donc Dc=Di, ie en degrée horaire !

Voilà, j'espère plein de critiques constructives, en tout cas merci de m'avoir lu. :bieres:
Franchement, je n’ai rien compris à ta démonstration. Tu voulais montrer que au juste ?
Peut-être en faisant un schéma, ce serait plus clair ?

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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 17/12/2015 - 11:18:14

cisou9 a écrit :____________ :_salut:
@ Bongo
J'ai toujours pensé que calculer une racine carré en chiffres romain est quasiment impossible, le zéro n'existant pas !!!
A vrai dire, ma connaissance des chiffres romains n'est pas très poussée. Je me demande même comment ils font pour une représentation décimale ? Peut-être est-ce une raison pour laquelle ils étaient si mal à l'aise avec les nombres, et accordaient une importance fondamentale aux nombres entiers,
cisou9 a écrit :Par contre, évaluer pi est assez facile on peut mesurer assez facilement une circonférence C ainsi que le diamètre Ø.
or C = pi x Ø d’où pi = C / Ø.
Ouais mais à tu as une précision à 10% près au mieux. La valeur donnée par Archimède était précise à 1 pour mille près.

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 17/12/2015 - 12:54:50

Bonjour bongo1981,
Franchement, je n’ai rien compris à ta démonstration. Tu voulais montrer que au juste ?
Peut-être en faisant un schéma, ce serait plus clair ?
Ok, c'est vrai !

Donc je vais distiller ma "démonstration" et commencer par le début (car j'ai fait un peu exprès de la mettre à l'envers pour former une équivalence et pas seulement => implication), et je répondrai uniquement après une réponse positive à ma question (1/post). :)

Commençons par le début :

Cette formule : N = 180/(tan^-1(2c²/(Øi²-c²))) donne le nombre de côté N et de longueur c, de n'importe quels polygones réguliers convexes (parfois exact selon un diamètre Ø correspondant donc). Donc je peux faire N=4 pour un carré et chercher une proportionnalité exact entre c et Ø. Est-ce que ça c'est bon ? N=4 correspond à Øi=c.sqrt(3).

Pas de nombre transcendant dans la formule et elle est exprimée en °d'angle (pas en radian).

++

PS : Øi=diamètre du cercle inscrit au polygone correspondant. ici indicé i pour "inscrit"

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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 17/12/2015 - 14:02:58

je n'ai pas vérifié ta formule.

Juste une question, la fonction tangente inverse ça donne quoi ? :o

Si ta démonstration c'est :
arc tan (1) = pi/4

donc pi n'est pas transcendant parce que 1 n'est pas transcendant... rappelles-moi en quelle classe tu es ?

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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 17/12/2015 - 14:24:52

laloicki a écrit :Cette formule : N = 180/(tan^-1(2c²/(Øi²-c²)))
Tu penses que ta formule marche ? T'as pas oublié d'utiliser un Pythagore ?

Pour ton carré... tu es d'accord que c = Øi racine (2) ?
Donc théoriquement ta formule doit donner N=4, d'accord ?

(2c²/(Øi²-c²)) = -4
Je ne sais pas combien fait arc tan (-4) ça donnerait N = -2.37
Bon laissons tomber pour le nombre négatif, ton carré à 2 côtés ? ou 3 ?

Dans les mêmes notations, ça ne serait pas plutôt ça ?

N = 180/(tan^-1(c/2/racine(Øi²-c²/4)))

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 17/12/2015 - 15:13:08

Pour N=4

tan^-1(2c²/(Øi²-c²)=180/N

(2c²/(Øi²-c²)=tan(180/N)
2c²=tan(180/N)(Øi²-c²)
2c²-tan(180/N)(Øi²-c²)=0
2c²-tan(180/N)c²=tan(180/N)Øi²
Øi²=(2c²-tan(180/N)c²)/tan(180/N)

N=4 ; tan(45°)=1 ; Øi=sqrt(3)c donc pour N=4, Øi²=2c²-c²=c²donc Øi²=c² on prend évidemment c=Øi (pour un cercle inscrit dans un carré, c'est plutôt normal)
c = Øi racine (2)
est faux, donc déjà ça donne c=Øi/sqrt(3)=(sqrt(3)/3)Øi

Et j'ai testé ma formule sur N=4, 5, 6, 8 ... concrètement pour disposer des segments de tailles connues et identiques sur un disque. Donc oui ma formule marche !

arctan(1)=45° ; arctan(-4)=76 environ (je le mets, mais je vois pas le rapport ?)

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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 17/12/2015 - 16:08:54

Désolé, mais tu n'as pas compris.
J'ai inséré c=sqrt(2) * phi pour trouver la valeur de N.

C'est bien comme ça que marche ta formule non ? tu insères la longueur du côté d'un polygone, par rapport au rayon du cercle inscrit, et la formule te donne le nombre de côtés de ton polygone.

Et toi tu fais l'inverse... tu supposes N=4 et tu vas adapter une valeur de c qui est fausse.

Et tu ne réponds pas à ma question. Avec des nombres non transcendants, tu crois que la fonction arc tangente te donnera un nombre non transcendant ?

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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 17/12/2015 - 16:12:05

Effectivement ma formule ne marche pas, elle correspond à phi diamètre du cercle circonscrit.
L'équation exacte est :

180/arc tan (c/(2phi)) = N
laloicki a écrit :tan^-1(2c²/(Øi²-c²)=180/N

c=Øi (pour un cercle inscrit dans un carré, c'est plutôt normal)
c = phi, alors phi² - c² = 0.
donc tan^-1(2c²/(Øi²-c²) = 90°
donc N = 2... et non 4.

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 17/12/2015 - 18:29:01

Oui, ça fait moult temps que je suis plus étudiant, donc désolé pour la rigueur. Bon en fait il faut comprendre qu'on ajuste le carré au cercle ou le cercle au carré (proportion entre Ø avec c).

En fait, le Ø (que j'avais noté D n'était qu'une construction, entre le cercle inscrit (j'ai la formule Øins) et circonscrit (là aussi Øcir) à un carré, ou autre polygone, ie entre Ø fct de (Øi, Øc), d'où mes embrouillements ...) est un compromis (qui s'avère exacte avec une petite transformation, mais effectivement, j'ai peut être pas le droit ?)

Parce que là si je fait Ø=Øi et c=Øi ; j'obtiens 1=sqrt(3) ... ou bien je divise par 0 ! :haaa:
C'est bien comme ça que marche ta formule non ? tu insères la longueur du côté d'un polygone, par rapport au rayon du cercle inscrit, et la formule te donne le nombre de côtés de ton polygone.

Et toi tu fais l'inverse... tu supposes N=4 et tu vas adapter une valeur de c qui est fausse.
Ma formule donne le minimum de côtés, donc le polygone le plus simple pour une longueur de segment c. Mais normalement, elle doit fonctionner à l'envers, en posant N ou Ø ...
tu crois que la fonction arc tangente te donnera un nombre non transcendant ?
ça j'en sait rien !

Donc je vais tout refaire au propre (un post pour un texte&formules et peut être un schéma ou 2), bien séparé ...

Si j'y arrive ... mais là, je compte sur vous pour pointer mes erreurs.

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 17/12/2015 - 21:45:01

Voilà, une piste, en fait la formule N = 180/(arctan(2c²/(ز-c²))) est en considérant une épaisseur e des segments qui deviennent donc des rectangles et le Ø est donc Ø=Øi+e. Donc Øi=c et Ø=c+e, ce qui donne pour Ø=sqrt(3)c, N=4, Øi=c et Øc=sqrt(2)c <=> Ø=Øc/sqrt(2)+e

e=Ø-Øc/sqrt(2)=Ø-Øi
<=> Øc/sqrt(2)=Øi et si c=sqrt(3)
<=> sqrt(2)sqrt(3)=sqrt(6) et Scarré=c²=3 et il faut que Scercle=Scarré=3

Scercle=pi.ز/4=3
<=> Scercle=Sc-2Si
<=> piز=piØc²-pi(Øi+e)²
<=> ز=Øc²-(Øi+e)²

<=> ز=Øc²-3 <=> ز=(sqrt(2)sqrt(3))²-3 <=> ز=3 <=> Ø=sqrt(3)

3-(3+e)²=-6-6e-e²=ز ; e²+6e+9=0 ; det=b²-4ac=0 avec e=-3 d'où ز=Øc²-(Øi-3)²
<=> ز=(sqrt(2)sqrt(3))²-(sqrt(3)-3)²=sqrt(6)²-(sqrt(3)-3)²=6sqrt(3)-6 d'où Ø=sqrt(6(sqrt(3)-1)) environ 2,09578

Récapitulatif :
carré : N=4 ; 3 de surface ; c=sqrt(3) ; diag=sqrt(2)c=sqrt(6)
cercle inscrit : Øi=c ; Øi=sqrt(3) ; Øi environ 1,73205
cercle circonscrit : Øc=sqrt(2)Øi ; Øc=sqrt(6)=diag du carré ; Øc environ 2,44949
cercle "concentrique équivalent" pour la quadrature du cercle : Scon=Scarré=3 ; Ø=sqrt(6(sqrt(3)-1)) ; e=sqrt(6(sqrt(3)-1))-sqrt(3) soit environ 0,362732 ; Ø environ 2,09578 qui est bien entre Øc et Øi !

Donc, la quadrature ne dépend pas de pi !

On peut donc passer en "base pi" pour faire le dessin :

Image

La seule erreur ça aurait été d'introduire "inconsciemment" 1 ou + de nombre transcendant (mais pas pi)

:bieres: :pet: :jap:

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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 18/12/2015 - 9:20:28

laloicki a écrit :Oui, ça fait moult temps que je suis plus étudiant, donc désolé pour la rigueur.
Et bien ça se voit, et ce n’est pas une question de rigueur, c’est même une question d’embrouille. Tout est inutilement compliqué…
laloicki a écrit :Ma formule donne le minimum de côtés, donc le polygone le plus simple pour une longueur de segment c. Mais normalement, elle doit fonctionner à l'envers, en posant N ou Ø ...
Non elle est fausse, et je vais te démontrer pourquoi la mienne marche (vu que j’ai déjà montré sur un cas particulier que la tienne ne marche pas).
Image
On considère un polygone régulier comme sur l’image (bon je ne trouve pas de cercle inscrit, mais on s’en contentera n’est-ce pas ?).

On se focalise sur le triangle OCD, c’est un triangle isocèle puisque OC = OD. Si je le coupe en deux via la hauteur passant par O (et j’appelle H le milieu de CD).
Maintenant je considère le triangle rectangle OHC, rectangle en H. OH est le rayon du cercle inscrit n’est-ce pas ? (on appelle ça l’apothème).

Je sais que tan angle(COH) = HC / OH
HC c’est la demi-longueur d’un côté que tu as appelé c, donc HC = c/2
OH c’est ce que tu as appelé phi, donc l’angle COH est :
COH = arc tan (c / 2 phi)

On continue ? COH c’est la moitié de l’angle COD, donc :
Angle (COD) = 2 arc tan (c / 2 phi)
Il y a N angle COD dans un tour 360°, ce qui veut dire qu’il y a N côté à ton polygone. Donc :
N = 360 / COD = 180 / arc tan (c / 2 phi)

Pour preuve, si tu considères un carré de côté c, dont le cercle inscrit a pour rayon phi, alors tu sais que phi = c / 2.
Tu vois bien que ma formule donne :
N = 180 / arc tan (c / ( 2 * c/2)) = 180 / 45 = 4.

Au cas où tu ne serais pas convaincu, si on considère un hexagone, alors on aurait c = phi * 2 / racine 3 et donc :
N = 180 / arc tan (racine phi*2 / (2 racine (3) phi)) = 180 / arc tan (1/racine 3) = 180 / 30 = 6

C’est là où tu vois que ta façon de voir les choses n’est pas pratique… autant donner N, le nombre de côtés de ton polygone, et la formule te donnerait la longueur d’un côté alors que là c’est l’inverse, tu dois t’embêter à calculer la longueur d’un côté pour calculer le nombre de côtés…

Tu n’as qu’à vérifier ta formule maintenant… pour voir si elle marche si bien. Tu voulais un feedback ? tu te le donnes : ta formule est fausse pour commencer.
laloicki a écrit :
tu crois que la fonction arc tangente te donnera un nombre non transcendant ?
ça j'en sait rien !
Alors comment tu peux affirmer que le nombre qui sort de la focntion arc tangente n’est pas transcendant ?
laloicki a écrit :Si j'y arrive ... mais là, je compte sur vous pour pointer mes erreurs.
C’est ce que je fais… mais si tu ne les acceptes pas…

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bongo1981
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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 18/12/2015 - 9:25:58

laloicki a écrit :Donc, la quadrature ne dépend pas de pi !
Je n'ai pas compris le "donc" ça vient d'où ?

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 18/12/2015 - 11:08:12

Bonjour, j'ai pas le temps, mais ça :
OH est le rayon du cercle inscrit n’est-ce pas ? (on appelle ça l’apothème)
OH n'est pas le rayon du cercle inscrit au pentagone tel que tu l'as défini ! (ou alors je suis vraiment à la masse :??: )
Le rayon du cercle inscrit c'est (sur ta figure) la hauteur h=cos (72/2)=(sqrt(5)+1)/4
Si j'appelle H le point milieu de CD=CH+HD donc HD=CH=c/2 ; la hauteur c'est OH !

C'est quoi ce OH que tu appelles apothème car ce n'est certainement pas la hauteur ? Il n'atteint même pas le milieu d'un côté de pentagone qui est la définition du rayon du cercle inscrit ! Ce n'est donc pas le rayon du cercle inscrit ! C'est juste ridicule !

L'apothème c'est ça

Image

Ce n'est pas le OH que tu parles.

Edit : bon j'ai compris que ton H est le même que le miens (pas celui sur la figure OK) ... tan COH=c/phi=(c/2)/(phi/2) avec OH=phi/2
phi=Ø=diamètre du cercle inscrit
angle COH=arctan(c/phi)
Et ça N = 180 / arc tan (racine 2 / 2) = 180 / 45 = 4. C'est faux, ça donne N=environ 5,1 et N=5 pas 4 sinon c'est pas un pentagone ... bon stop. La balle est dans ton camp.

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 18/12/2015 - 12:11:28

N=180/arctan(c.sqrt(2)/Øc)=180/arctan(c/Øi) et là peut être seras-tu Ok ? Pour un carré Øc=sqrt(2)Øi sinon Øc²=c²/4+Øi²/4 en toute généralité.

N=180/arctan(2c²/(ز-c²)) est un compromis pour un diamètre intermédiaire entre Øi et Øc (une combinaison des 2) et oui ce n'est pas exactement N mais en arrondissant à l'entier (un côté a valeurs dans |N) on doit trouver un Nmin ou Nmaxi !

J'espère avoir par ce post éclairci ce qui était un peu bizarre ! Et normalement la 1ere ligne c'est ce que tu dis et je suis d'accord, mais sur la 2eme (peut être pas ? C'est la formule pour comprendre la quadrature du cercle qui est "impossible" en raison de la transcendance de pi pour résumer)

+

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 18/12/2015 - 13:17:23

Juste une erreur "sinon que Øc²/4=Øi²/4+c²/4 en toute généralité" et pas Øc²=Øi²/4+c²/4 :larme:

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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 18/12/2015 - 23:22:35

laloicki a écrit :Bonjour, j'ai pas le temps, mais ça :
OH est le rayon du cercle inscrit n’est-ce pas ? (on appelle ça l’apothème)
OH n'est pas le rayon du cercle inscrit au pentagone tel que tu l'as défini ! (ou alors je suis vraiment à la masse :??: )
Le rayon du cercle inscrit c'est (sur ta figure) la hauteur h=cos (72/2)=(sqrt(5)+1)/4
Si j'appelle H le point milieu de CD=CH+HD donc HD=CH=c/2 ; la hauteur c'est OH !
En fait j'ai involontairement confondu rayon du cercle inscrit et rayon du cercle circonscrit.

Dans le cas du carré, évidemment le rayon du cercle inscrit phi = c/2. Es-tu d'accord ?

En utilisant ma formule :

N = 180 / arc tan (c / 2 phi) = 180 / arc tan (c / (2 c/2) = 180 / arc tan (1) = 180 / 45 = 4

J'ai fait une erreur involontaire, mais toi tu as foiré le test. Tu es incapable de reconnaître que ma formule était bonne.

Ca montre que ta façon de voir les choses est peu naturelle. Je préférerais donner le nombre de côtés et calculer la longueur d'un côté.

Je vais rééditer mon message.

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Re: Archimède et pi

Message par laloicki » 19/12/2015 - 1:42:26

Soir,
Je vais rééditer mon message.
Bah justement, j'ai compris ton post avec ta figure, et dessus OH, c'est le point H (là où est marqué 90) et j'avais pas compris sur le coup, que tu parlais bien du même OH que moi, mais pas de la figure que tu as posté (là dessus j'ai voulu réédité et le retirer ce passage car il n'y avait pas de contracdiction, donc je m'excuse :houla2: )

Ensuite, j'ai admis ta formule comme juste (peut être que tu as confondu involontairement inscrit/circonscrit ; surtout que la figure que tu as posté montre un cercle circonscrit au pentagone, et ta démonstration était plutôt tourné sur le cercle inscrit).
Bon donc en fait j'ai fini par être d'accord avec ta formule (sauf petit cafouillage entre diamètre et rayon, phi est pour moi le diamètre et r le rayon et indicés pour signifier que je parle du cercle inscrit ou circonscrit, précaution, que je n'ai pas moi non plus utilisé depuis le début :siffle:).

A part ça, ta formule :
N = 180 / arc tan (c / 2 phi) = 180 / arc tan (c / (2 c/2) = 180 / arc tan (1) = 180 / 45 = 4
est la même que la mienne ! Pour rappelle et vérif :
N=180/arctan(c/Øi)
si tu définis phi=Øi/2 alors oui N=180/arctan(c/(2phi)) c'est la même chose.

Alors stp, ne dis pas :
J'ai fait une erreur involontaire, mais toi tu as foiré le test. Tu es incapable de reconnaître que ma formule était bonne.
Surtout que c'est quoi, cette histoire de "test foiré" ? Que je reconnais pas mes erreurs (bah oui des fois, surtout quand qqlun me dis que tout est n'importe quoi, en une phrase ... sous entendu ton éductation scientifique est à refaire :gueule: si je pouvais m'y investir comme un vrai étudiant, je le ferai ... mais je peux plus, circonstances de la vie, que j'étalerai pas)

Je trouve néanmoins que tu m'as bien accueilli, et pour ça au moins je te remercie. Malheureusement une fois n'est pas coutûme, je crois que je vais disparaitre comme je suis venu, c'est à dire un "one shoot subscribe" car être considéré par ses études uniquement, ce n'est pas ce que j'attendais, d'un forum de science ouvert capable de rivaliser avec FS au moins sur des règles éditoriales trop strictes, et malheureusement, je le constate ici aussi (je pensais à tort, que ça aurait été + "conviviale" et "vivant" que quand un fofo devient trop "visible dans les stats googlesques").

Bon et pis vous perdez pas grand chose, puisque même si j'avais pu l'écrire au format "scientifique", on aurait tôt fait de s'attribuer mon petit calcul pour se l'approprier (c'est trop facile, du coup, puisque seul un scientifique de métier peut le faire).

Et donc dénigrer (pour faire causer l'auteur et en savoir + sur l'obtention du résultat, s'il n'y a pas de fautes rédhibitoires), personne n'aide un inventeur (génial ou non, d'ailleurs) car ce n'est pas un métier, qu'il faut déjà être riche pour faire un brevet digne de ce nom (d'ailleurs les maths ne sont pas brevetables, mais le vivant oui :rD on marche sur la tête) sans se louper.
Mais les rapias des gros groupes font tout pour breveter en masse afin de faire correspondre avec un vrai brevet (couvert par un prototype fonctionnel) pour le poser devant la justice et donc l'utiliser sans même un peu de reconnaissance/gratitude pour l'auteur (en fait c'était juste ça que je cherchais, au moins un peu), car c'est sûr, la justice aussi est "financière" !

Je crois que j'ai ma réponse là dessus. Et attention je parle pas de toi bongo1981 dans mon dernier paragraphe, mais des scruteurs de fofos, qui passent pomper (et oui les géants industrielles pompent les idées, comme les étudiants doivent ne pas pomper ... vous voyez le malaise ?) :porte:

Donc Bye bye ! ;)

Qqlpart, je pense que c'est comme dans ce manga "death note" ; et le proverbe "la bourse ou la vie". Si dans l'un on te propose d'avoir + de pouvoir tout en réduisant ta durée de vie restante par 2, alors les 2 sont équivalents (puisque c'est avec the $$$ la bourse qui assure une bonne partie de notre durée de vie), c'est tout le paradoxe d'Achille et la tortue, le fractionnement de la "durée de vie".

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Re: Archimède et pi

Message par bongo1981 » 19/12/2015 - 11:09:40

laloicki a écrit :A part ça, ta formule :
N = 180 / arc tan (c / 2 phi) = 180 / arc tan (c / (2 c/2) = 180 / arc tan (1) = 180 / 45 = 4
est la même que la mienne ! Pour rappelle et vérif :
N=180/arctan(c/Øi)
si tu définis phi=Øi/2 alors oui N=180/arctan(c/(2phi)) c'est la même chose.
Non dans ta formule tu avais des carrés qui traînent.

Je ne sais pas si tu connais Lindemann ? (non non ce n'est pas la marque de bière aux sirop), il a démontré la transcendance de pi.

Après je ne vois pas pourquoi tu parles de pompage par les industriels. Quelle application tu veux faire avec la transcendance ou non de pi ?? Franchement ? tu es drôle toi.

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