suite "exponentielle"

[CIRDEC]

Bonjour,
Soit f(x)=exp(-x) ; g(x)=x et d(x)=exp(-x)-x
1) faire une figure (pas de problème)représentant f et g
2)étudier les variations de d (pas de problème : sa dérivée est strictement négative donc d est strictement décroissante sur R)
3) montrer que d(x)=0 admet une unique solution a dans l'intervalle [0,1] (pas de problème : application du théorème des valeurs intermédiaires à la fonction d strictement décroissante et continue sur [0,1] sachant que d(0)>0 et d(1)<0)
4)déterminer les coordonnées du point d'intersection A de la courbe de f et de g (pas de problème : A(a;a))

On considère la suite (Un) telle que U0=0 et U(n+1)=f(Un)
5) montrer que (Un) converge vers une limite L
6) montrer que L=a (pas de problème : sachant que f est CONTINUE sur R et par passage à la limite dans l'égalité, on a :
L=f(L) c'est-à-dire que L=a)

MON SOUCI concerne la question 5) : j'ai essayé de voir si la suite est monotone et majorée ou minorée mais elle n'est pas monotone , je ne peux donc pas appliquer le théorème de convergence monotone ....
Pourriez-vous me donner une piste ?
Merci
Cordialement
Cédric

[CIRDEC]

Bonjour,
en réflichissant, j'ai peut-être une piste :
La suite des rangs pairs est croissante et la suite des rangs impairs est décroissante, mais il faut le prouver. Si l'on peut prouver que ces deux suites sont adjacentes, donc de montrer que U(n+1)-U(n) a pour limite 0, on aura montré que la suite de rang pair et celle de rang impair convergent vers la même limite, qui est aussi la limite de U.

C'est une piste, mais je suis étonné de ne rien voir de plus simple.
Pourriez-vous m'aider à la concrétiser ?
MERCI
Cédric

[pougatchev]

Bonjour CIRDEC. T'aider ne t'aideras pas. Tout ce que tu trouveras par toi-même restera incrusté en toi de façon beaucoup plus durable que si on te l'offre sur un plateau. Si je n'avais pas l'impression que tu aimes les maths, je ne te dirais pas ça ! Serre les dents et cherche les certitudes en toi !

[CIRDEC]

L'idée consiste à utiliser l'inégalité des accroissements finis (la fonction exp(-x) étant strictement bornée par 1 pour tout intervalle ouvert contenu dans ]1;+infini[
Cordialement
Cédric