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Bonjour,

Je suis sismologue et je pointe l'arrivée des ondes P des tremblements de terre enregistées par mes sismomètres. Afin de tenir compte du bruit lors de l'arrivée de l'onde à une station, je me défini un interval de temps dans lequel l'arrivée de l'onde doit se situer. En fonction de cet interval, je défini 5 classes pour mes observations:

classe 0: interval de +/-0.05s
classe 1: interval de +/-0.1s
classe 2: interval de +/-0.2s
classe 3: interval de +/-0.4s
classe 4: interval de + de 0.4s

Maintenant, je cherche à calculer un jeu de données synthetiques. C'est à dire qu'à partir d'un model de vitesse, je calcule le temps de trajet de la source à ma station. J'ai donc une arrivée prédite.
Afin de donner plus de réalité à mon jeu de données synthetiques, j'aimerai introduire un bruit aléatoire à mon arrivée prédite en fonction de la classe attribuée à l'observation.

Une possibilité est de considérer une fonction de Heaviside avec une probabilité de 1 dans l'interval et 0 ailleurs. Par exemple, pour une observation de classe 0, tirer un nombre aléatoire entre -0.05 et 0.05 et l'ajouter à mon arrivée prédite.
Mais pour toujours plus de réalité, je voudrais considérer une fonction de probabilité de type gaussienne centrée en 0 et de sigma égal à mon inerval.

Ma question est la suivante: quelle serait l'équation d'une telle fonction? Quelle serait son maximum par exemple?


Merci d'avance

Salut
tu veux parler d'une loi normale ? decrite a cette adresse:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale par:

Le maximum serait a x=mu=0 (loi centree) et serait egale a 1/ecarttype*racine(2pi)

oui merci, je connais cette équation, mais pour un écart type de 0.05 j'ai un max supérieur à 1. En fait cette équation est un pdf et non un fonction de proba.
D'où ma question...

peuf23 a écrit :En fait cette équation est un pdf et non un fonction de proba. D'où ma question...

La question est d'avoir une fonction aléatoire qui suive la probabilité d'une gaussienne ?

oui, j'ai en tête un fonction gaussienne qui donne pour chaque x en abscisse la probabilité d'avoir cette valeur.

pdf ?

C'est pas l'integrale de la loi normale qui doit etre egale a 1 a tout hasard?

Je ne connais pas trop ce sujet.
Par contre le problème d'avoir une fonction aléatoire avec probabilité uniforme de distribution est informatiquement bien connu.

Personnellement, je tenterais de partir de ces dernières de faire la distribution qui t'intéresse.

Le problème redevient donc à savoir comment.
Voici une proposition:

1/ on se donne un ensemble de valeur qui suit la fonction de probabilité de la gaussienne (les valeurs identiques sont autorisées, ie la valeur 0.42 se retrouve sans doute plusieurs fois).

2/ on pioche aléatoirement dans cet ensemble avec une fonction aléatoire standard avec probabilité uniforme.

Je crois que ça marche. Qu'est ce que vous en pensez ?

oui c'est ce que pense. En effet, si pour chaque x la fonction donne la proba de l'obtenir, l'aire sous la gaussienne doit être égale à 1.

Ca donne quoi en terme d'équation, pour faire un tracé?

Pollux,

Merci. Oui je crois comprendre. En gros tu crées un ensemble de valeur entre -0.05 et 0.05. Par exemple, dans cet ensemble, on trouvera plus de fois la valeur 0.002 que 0.02. Le nombre de fois que l'on trouve la valeur est donné par la valeur de la fonction de proba. Et on pioche de manière aléatoire standard dans cet ensemble. ok...

Mais on en revient au même problème. Il me faut l'équation de la fonction de proba pour savoir combien de fois je mets une valeur dans mon ensemble.

oui, mais cette fonction de probabilité est donné par la fonction gaussienne. (n'est ce pas la formule donné par buck??)

il faut échantillonner (par intervalle régulier) cette fonction gaussienne
et donc avoir un ensemble fini de valeur.

soit la fonction gaussienne échantillonné
f(xi) = pi
xi étant la valeur, pi la valeur la probabilité d'avoir la valeur xi.

On peut transformer la valeur réel pi en un entier (troncation de pi*1000)
f2(xi) = round(pi*1000)
= nombre de fois qu'on trouve xi

L'ensemble construit avec f2 doit être proche d'une gaussienne.

je crois...

le problème que j'ai avec cette formule, c'est que pour un sigma^2 de 0.05, j'ai une valeur de 1.76 pour x=0. Comment une probabilité peut-elle être supérieur à 1?
Donc je pense que c'est l'intégrale de cette fonction qui donne la fonction de proba...

Sinon pour le reste je suis d'accord

La probabilité c'est l'intégrale de surface de la fonction normalisée égale à 1 pour les bornes d'intégration -infini, +infini

la probabilité c'est l'intégrale somme de a à b de la fonction... Et a et b sont les écart par rapport à la valeur moyenne de x, pour calculer F(a) et F(b) en général on donne un diagrammes des valeurs de l'intégrale en fonction de a et b.... P(a,b)= F(a)-F(b) F primitive de la fonction

Et donc concrètement?? Tu peux me donner la probabilité pour que je tire une valeur entre 0.02 et 0.03 pour une fonction gaussienne de probabilité avec un sigma=0.05 et une éspérance nulle?

En gros où je trouve ce diagramme de valeurs?

c'est la fonction de repartition de la loi normale (a toi de trouver la signification de erf

Pour ta proba entre 0.02 et 0.03
c'est egal a F(0.03)-F(0.02)
edit tu aurais du lire le lien sur wiki c'est tire de la bas

peuf23 a écrit :Comment une probabilité peut-elle être supérieur à 1?

Ca je ne sais pas, je ne connais pas assez les fonctions gaussiennes.
Buck doit savoir, je pense...

En théorie, comme dit Victor, si on a f(x) qui n'est pas normé.
il faut utiliser g(x) = f(x) / [f(x)]
avec [f(x)] la norme de la fonction (ie son intégral)

Pollux a écrit :

peuf23 a écrit :Comment une probabilité peut-elle être supérieur à 1?

Ca je ne sais pas, je ne connais pas assez les fonctions gaussiennes.
Buck doit savoir, je pense...

Par ce que ce n'est pas la probalite, la proba comme l'a dit victor c'est l'integrale et elle est egale a 1

Comme le dit Buck, l'intégral de la fonction = 1. Donc normaliser par l'intégral ne change rien.

erf c'est la fonction d'erreur. Elle est égale à l'intégral entre 0 et x de exp(-t^2). Donc ta formule me donne la fonction suivante:
2*(1+int(0,x)(exp(-0.5*(x-mu)^2/sigma^2)). En gros elle varie de 0.5 pour x=0 à 0.75 pour une valeur de l'intégral égale à 0.5. Je ne vois pas trop à quoi ca peut correspondre...

ca ne me donne toujours pas ma fonction, snif...

Pour la fonction, analytiquement, hormis avec la notation erf elle n'existe pas.
En x=0 ta proba sera de 1/2 et sera maximale en +infini (ie =1)

oui j'en suis arrivé à la même conclusion...
comme la probabilité est définie par l'aire du pdf, on ne peut que calculer la proba que la valeur soit dans un certain interval. Or si cet interval tends vers 0 la proba sera de 0. Donc la fonction qui donne la probabilité qu'un certain nombre sorte n'existe tout simplement pas.

Merci pour vos réponses

Tu devrais regarder sur Bruit et fonctions Fractales monodimensionelles

peuf23 a écrit :oui j'en suis arrivé à la même conclusion...
comme la probabilité est définie par l'aire du pdf, on ne peut que calculer la proba que la valeur soit dans un certain interval. Or si cet interval tends vers 0 la proba sera de 0. Donc la fonction qui donne la probabilité qu'un certain nombre sorte n'existe tout simplement pas.

Merci pour vos réponses

En fait, le poid statistique d'une expérience est nul. Si tu veux une fonction qui te donne la probabilité d'avoir un nombre parmis d'autre, c'est vers la loi de poisson qu'il faut te tourner.