Solutions analytiques et approximations numériques

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Th_o_m_as
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Solutions analytiques et approximations numériques

Message par Th_o_m_as » 27/12/2021 - 23:58:02

Bonsoir à tous,
Je suis nouveau sur le forum. Je passe par là pour soumettre à la communauté une question que je me suis toujours posée et pour laquelle je n'ai pas encore de réponse satisfaisante (à mes yeux). Mais peut-être que cette question n'en est pas une... Je m'explique :
Mon domaine d'expertise c'est l'électromagnétisme. Pour résoudre un problème d'électromagnétisme, le point de départ est "simple" : on pose les 4 équations de Maxwell. Avec quelques données d'entrée (porteurs de charge, courants, propriétés des matériaux), on peut, en théorie, résoudre le problème : déterminer les champs électrique et magnétique en tous points de l'espace et du temps.
Oui mais voilà : à part dans quelques rares cas "simples", les problèmes d'électromagnétisme n'ont pas de solution analytique : il faut recourir à des simulateurs qui, à l'aide de méthodes numériques parfois sophistiquées, vont nous permettre d'obtenir une approximation des valeurs de champs électriques et magnétiques en tous points de l'espace et du temps.
On peut donc imaginer des wagons d'expérience dans lesquelles on peut générer un champ électromagnétique (mesurable, donc "réel") mais qu'on ne peut pas calculer de façon analytique... Qu'est-ce que cette situation dit de notre physique, ou plutôt de nos mathématiques ? Pourquoi certains problèmes de physiques ont-ils une solution analytique et d'autres pas ? La "frontière" qui sépare l'ensemble des problèmes de physiques calculables (c'est-à-dire ayant des solutions analytiques) de l'ensemble des problèmes de physiques n'ayant que des solutions approchées par des méthodes numériques a-t-elle un sens physique ? Des "outils" mathématiques sont-ils encore à inventer ? Mes questions sont-elles mal formulées ? En gros, pour résumer ce qui s'est passé dans ma tête (d'étudiant, c'était il y a longtemps...) quand j'ai compris ça :
- "N'importe quel problème d'électromagnétisme (de l'aimant permanent à la propagation de la lumière) tient en 4 équations". Génial, c'est puissant !
- "Oui mais bon, la majorité d'entre eux n'ont pas de solution analytique et il faudra apprendre à utiliser un simulateur 3D pour trouver des solutions approchantes". Ah, frustration...
En vous remerciant d'avance pour vos éclaircissements !

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