loi de composition interne

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n03767720221Robert
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loi de composition interne

Message par n03767720221Robert » 20/01/2023 - 11:30:43

Bonjour!!! Besoin d'aide !!!
on munie l'ensemble IR de la loi* définie par :
x*y=x[racine(1+y^2)]+y[racine(1+x^2)]
Montrer que cette loi est une loi de composition interne , associative, admet un élément neutre, admet un élément inverse.
Merci!!!

steev
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Re: loi de composition interne

Message par steev » 02/03/2023 - 8:50:59

Bonjour!

Pour montrer que la loi définie par xy=x[racine(1+y^2)]+y[racine(1+x^2)] est une loi de composition interne, il faut vérifier que pour tous les éléments x et y de l'ensemble IR, xy appartient également à IR.

On peut constater que la racine carrée d'un nombre réel positif est toujours un nombre réel positif ou nul. Par conséquent, puisque 1+y^2 et 1+x^2 sont tous deux positifs ou nuls, les racines carrées correspondantes sont également positives ou nulles. Ainsi, x[racine(1+y^2)] et y[racine(1+x^2)] sont tous deux des nombres réels, et leur somme est également un nombre réel. On peut donc conclure que x*y est bien un élément de l'ensemble IR, ce qui montre que la loi est bien une loi de composition interne.

Pour montrer que la loi est associative, il faut vérifier que pour tous les éléments x, y, et z de l'ensemble IR, on a (xy)z = x(yz). Cela peut se faire en utilisant les propriétés algébriques des racines carrées, mais les calculs peuvent être assez fastidieux.

Pour démontrer l'existence d'un élément neutre, il faut trouver un élément e de l'ensemble IR tel que pour tout élément x de IR, ex = xe = x. Il est souvent plus facile de chercher un tel élément en résolvant une équation. Ici, on peut chercher un élément neutre sous la forme e = ar pour une certaine constante a, où r est un élément quelconque de IR. En résolvant l'équation ex = x*e = x, on obtient a = 1/racine(1+r^2). On peut donc conclure que l'élément neutre est e = r/racine(1+r^2).

Pour montrer que chaque élément de IR a un inverse, il faut trouver pour chaque élément x de IR un élément y de IR tel que xy = yx = e, où e est l'élément neutre trouvé précédemment. On peut chercher cet élément sous la forme y = br pour une certaine constante b. En résolvant l'équation xy = yx = e, on obtient b = 1/[rracine(1+x^2)] ou b = -1/[rracine(1+x^2)]. Ainsi, pour chaque élément x de IR, il existe un élément inverse y = ±r/[rracine(1+x^2)] tel que xy = yx = e.

Inseecm1
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Re: loi de composition interne

Message par Inseecm1 » 25/03/2023 - 18:40:38

Tout d’abord, pour montrer que cette loi est une loi de composition interne, il faut montrer que xy est un nombre réel pour tout x et y réels. Cela peut être fait en utilisant la propriété de la racine carrée qui est toujours positive ou nulle. Ainsi, xy est un nombre réel.

Pour montrer que cette loi est associative, il faut montrer que (xy)z = x(yz) pour tout x, y et z réels. Cela peut être fait en utilisant les propriétés de la racine carrée et de la multiplication. Je vous laisse le soin de vérifier cela.

Pour montrer que cette loi admet un élément neutre, il faut trouver un nombre réel e tel que xe = ex = x pour tout x réel. Cela peut être fait en résolvant l’équation xe = ex = x pour e. Je vous laisse le soin de vérifier cela.

Enfin, pour montrer que cette loi admet un élément inverse, il faut trouver un nombre réel y tel que xy = yx = e pour tout x réel où e est l’élément neutre trouvé précédemment. Cela peut être fait en résolvant l’équation xy = yx = e pour y. Je vous laisse le soin de vérifier cela.

Ric
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Re: loi de composition interne

Message par Ric » 27/03/2023 - 13:05:51

Bonjour! Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne satisfaisant aux trois conditions suivantes :
la loi est associative ;
il existe un élément neutre ;
tout élément a un inverse.
Si de plus la loi est commutative, le groupe est dit abélien.
En prépa, le prof nous avait donné un moyen mnémotechnique pour s’en rappeler, fatigué en espagnol se dit cansado. On enlève le o et ça donne cansad: Commutativité, Associativité, élément Neutre, Symétrie, distributivité. Il y a deux propriétés en plus, alors ça doit être un groupe particulier. Il y a si longtemps, je ne m’en rappelle plus.
Salut à tous!

Inseecm1
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Re: loi de composition interne

Message par Inseecm1 » 28/03/2023 - 9:34:14

Inseecm1 a écrit :
25/03/2023 - 18:40:38
Tout d’abord, pour montrer que cette loi est une loi de composition interne, il faut montrer que xy est un nombre réel pour tout x et y réels. Cela peut être fait en utilisant la propriété de la racine carrée qui est toujours positive ou nulle. Ainsi, xy le jeu play-to-earn est un nombre réel.

Pour montrer que cette loi est associative, il faut montrer que (xy)z = x(yz) pour tout x, y et z réels. Cela peut être fait en utilisant les propriétés de la racine carrée et de la multiplication. Je vous laisse le soin de vérifier cela.

Pour montrer que cette loi admet un élément neutre, il faut trouver un nombre réel e tel que xe = ex = x pour tout x réel. Cela peut être fait en résolvant l’équation xe = ex = x pour e. Je vous laisse le soin de vérifier cela.

Enfin, pour montrer que cette loi admet un élément inverse, il faut trouver un nombre réel y tel que xy = yx = e pour tout x réel où e est l’élément neutre trouvé précédemment. Cela peut être fait en résolvant l’équation xy = yx = e pour y. Je vous laisse le soin de vérifier cela.
UPDATE : Le texte parle de la vérification des propriétés d'une loi de composition interne en utilisant les propriétés de la racine carrée et de la multiplication. Pour montrer que cette loi est associative, il faut vérifier que (xy)z = x(yz) pour tout x, y et z réels. Il est également important de trouver un élément neutre et un élément inverse pour cette loi. Tout cela peut être fait en utilisant des équations et des calculs mathématiques.

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bongo1981
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Re: loi de composition interne

Message par bongo1981 » 20/11/2023 - 15:09:28

Ric a écrit :
27/03/2023 - 13:05:51
Bonjour! Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne satisfaisant aux trois conditions suivantes :
la loi est associative ;
il existe un élément neutre ;
tout élément a un inverse.
Si de plus la loi est commutative, le groupe est dit abélien.
En prépa, le prof nous avait donné un moyen mnémotechnique pour s’en rappeler, fatigué en espagnol se dit cansado. On enlève le o et ça donne cansad: Commutativité, Associativité, élément Neutre, Symétrie, distributivité. Il y a deux propriétés en plus, alors ça doit être un groupe particulier. Il y a si longtemps, je ne m’en rappelle plus.
En fait les 4 propriétés pour un groupe c'est :
loi de composition interne
existence d'un neutre
existence d'un inverse
associativité

La commutativité c'est une propriété en plus pour les groupes abéliens ou non abéliens.
La distributivité c'est avec une deuxième loi (généralement par rapport à la multiplication, et c'est dans le cadre d'un anneau).
La symétrie c'est plutôt pour définir des relations binaires (symétrie, réflexivité, transitivité).

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