Danger dérivé!

[Yakamonéyé]

Voila, je me heurte a un problème de dérivées peu banal:
ma fonction f associe a un couple de valeurs de variables (x,y) une valeur z
f(x,y)=z=ax^n+by^m
la représentation grafique est évidemment une surface!
j'aimerai dériver cette fonction....
au début intuitivement j'ai pensé partir de plan tangent a ma surface
mais je me trouve avec une situation ou la tagente est en fait une droite de l'espace, plus précisément l'intersection du plan de la dérivée par rapport a x avec celui de la dérivée par rapport a y.....

j'avoue que je suis complètement perdu, si quelqu'un pouvait m'aider!
je suppose qu'il doit etre facile de généraliser la dérivée pour une fonction a n variables...
(mon véritable problème est de la forme z=aw^3+bx^3+cy^3)
mais je préfère avancer par étapes...

[Michel]

bon euh...

si X,Y,Z sont les coordonnées d' un point générique du plan tangeant à la surface, l'équation de ce plan est :

Z-z = (X-x)(df/dx) + (Y-y)(df/dy)

donc dans le cas présent :

Z-z = na(X-x) x^(n-1) + mb(Y-y) y^(m-1)

je ne sais pas si cela peut t'aider...

[fffred]

on parle, il me semble, soit de dérivées partielles (dérivée par rapport à x ou à y) soit de différentielle.

Les dérivées partielles sont notées

et


la différentielle est définie par :

Mais c'est un peu plus compliqué, par contre c'est très utilisé en physique.

Aucune des deux définitions n'est vraiment une dérivée "totale" de la fonction. Mais si tu veux, par exemple, trouver les extrema de ta fonction, il suffit d'utiliser les dérivées partielles : si toutes les dérivées partielles (il y en a deux dans ton cas) sont nulles en un certain point (x,y), alors la fonction est extrémale (ou stationnaire).
vla une image pour mieux comprendre ton cas :

Tu vois bien que pour que la dérivée de x ET celle de y s'annulent en même temps, il faut être en (0,0). Mais ce n'est pas un minimum ou un maximum. C'est stationnaire.

[Yakamonéyé]

Merci bocoup!!!!

Les dérivées partielles me suffiront!!!!
f'x(x,y)=0 et f'y(x,y)=0 => extrémat, cest ce que je veu....

Et tout cela sera bien utile pour toute personne désireuse d'aller en camping sur une fonction ax^n+by^m: pour savoir ou monter la tente sur un endrois plat!!!!

[Michel]

pour fffred:
il y a une exception pour le cas a=b=m=n=1:
dans ce cas z=f(x,y)= x+y qui est l'equation d'un plan
pour lequel les derivées partielles ne sont jamais nulles (f'x=f'y=1 quelque soient x et y) et qui donc ne possède aucun extrémum.

[fffred]

ce n'est pas du tout le seul cas où la fonction n'a pas d'extremum ! Je ne vois pas où est l'exception

[Michel]

bon
je pensais "extremum" = cas dans lequel soit f'x, soit f'y s'annule;
et si m et n sont positifs, c'est tjrs possible sauf pour m=n = 1.
Maintenant, si m et n peuvent être négatifs, c'est une autre histoire.

[fffred]

ah d'accord, tu parles de son exemple

mais en fait il n'y a pas d'extrema dans son exemple, ce sont juste des points "stationnaires"

[Michel]

Nous sommes d'accord alors