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quelqu'unpourrait il m'expliquer en détail en quoi consiste cette conjecture qui fut l'objet d'une découverte récente de la part d'un mathématicien russe?
merci d'avance

En détail ? non !!
C'est un théorème de topologie. Poincaré s'est demandé comment caractériser des variétés, et il s'est posé une question :

Se peut-il que le groupe fondamental d'une variété se réduise à l'identité mais que cette variété ne soit pas homéomorphe à la sphère ?

La conjecture de Poincaré répond à la question par la négative. Grigori Perelman a réussi à démontrer cette conjecture en 2006, en publiant des articles sur arxiv.org, puis en donnant une conférence très attendue au MIT.

Beaucoup de mathématiciens se sont cassés les dents sur cette conjecture vieille d'un siècle. Ses travaux lui ont valu la médaille Fields en 2006 (qu'il a refusé), et le million de dollars octroyé par l'institut Clay (qu'il a également refusé).

Pour expliquer le texte :

Se peut-il que le groupe fondamental d'une variété se réduise à l'identité mais que cette variété ne soit pas homéomorphe à la sphère ?

Il faut que je définisse plusieurs termes :

Variété : ensemble ressemblant localement à l'espace euclidien
homéomorphe : deux espaces sont dit homéomorphes s'il existe une bijection transformant un point et son voisinage en un point et son voisinage (en gros est-ce que l'on peut déformer un solide en un autre sans les déchirer en imaginant qu'ils sont en caochouc, un cube en une boule oui, une bouée en une boule non)

Le groupe fondamental défini par Poincaré est l'ensemble des lacets en un point. Si on veut c'est une boucle. (une ligne courbe qui revient à son point de départ).
L'identité c'est un point.

Traduit en langage courant la conjecture de Poincaré est :
"Soit une boucle quelconque, si l'on peut réduire cette boucle en un point par des transformations continues (sans déchirer la boucle), est-ce que cette espace est une sphère et rien d'autre (ou un cube, ou un ballon de rugby, mais c'est homéomorphe à une sphère) ??"

La réponse est oui.

c'est bijectif?
Car j'ai l'impression qu'on peut transformer une boule en une bouee (suffit de l'etaler et de la mettre en forme)

buck a écrit :c'est bijectif?
Car j'ai l'impression qu'on peut transformer une boule en une bouee (suffit de l'etaler et de la mettre en forme)

Bijectif, mais non homéomorphe. Quoique... pour la bijection je suis pas trop sûr (pour la boule en bouée).

En effet, il faut que tu déchires la boule sinon c'est pas possible.

On ne peut pas toujours mettre en bijection 2 volumes finis quels qu'ils soient ? La conditions suffisante c'est que ce soient deux "infinis du même ordre" (ce qui est le cas avec 2 vol finis) non?

Ze Venerable a écrit :On ne peut pas toujours mettre en bijection 2 volumes finis quels qu'ils soient ?

Il me semble que non.
Si on se ramène en 1D, je pense pas qu'il soit possible d'établir une bijection entre l'intervalle ]0,1[ et la réunion ]0,1/2[U]1/2,1

Ze Venerable a écrit :re la boule unité, et la boule unité avec un trou, par exemple en enlevant son centre ?

Ze Venerable a écrit :La conditions suffisante c'est que ce soient deux "infinis du même ordre" (ce qui est le cas avec 2 vol finis) non?

En tout cas je ne vois pas de bijection triviale, mais il se peut qu'il y ait une bijection bizarre possible.
Par contre cette bijection f transformant le point en A en un point B, ne transformera pas le voinage de A en un voisinage de B (et ça j'en suis sûr, un tore n'est pas homéomorphe à une sphère).

pour ( ]0;1/2]U]1/2;1[ ) et ]0;1[ - {1/2} c'est possible. Ca revient à trouver une bijection entre ]0;1/2] et ]0;1/2[ et j'ai trouvé un lien qui explique comment faire ça au paragraphe 3.1. Bon au final ça ne répond pas positivement à la question que j'ai posée sur les volumes (existence d'une bijection quelconque).

Merci pour le lien, c'est très intéressant.
Finalement je résume un peu la technique pour ceux qui ne veulent pas lire.

Comment établir une bijection entre un ensemble A et un enseble B ?

Tout d'abord une bijection est une application qui à chaque élément de A fait correspondre un élément de B et vice versa.
Ceci veut dire qu'il existe une fonction inverse qui fait correspondre un élément de B avec un élément de A.
Ceci veut également dire que A et B ont même cardinal (même nombre d'éléments, ce qui a emmené Cantor aux transfinis).

Il existe une bijection de ]0,1[ sur [0,1[

pour cela il suffit de prendre f cette fonction, telle que :
f(1/2)=0
f(1/4)=1/2
f(1/2^n) = 1/2^(n-1)

Sinon tous les autres nombres sont renvoyés sur eux-même : f(1/3)=1/3

Par contre ]0,1[ et [0,1[ ne sont pas homéomorphes, en effet, l'on a bien :
f(1/4)=1/2
mais f(B(1/4)) = B(1/4)

Avec B(1/4) la boule centrée sur 1/4 de rayon r<1/8 bien sûr

La technique est très bien résumée je trouve(dans mon cas c'est la suite 1/4^n qu'il doit falloir prendre).
Par contre je peux me tromper, mais ta fonction f n'est définie que sur l'ensemble ("non dense") des valeurs prises par la suite Un (cf mon lien), cad {1/2 1/4 ...}. Donc tu ne peux parler de "f(B(1/4)) ".

Et puis même, ce n'est pas parce qu'il existe une bijection non continue entre les 2 ensembles qu'il n'est pas possible d'en trouver une qui elle le soit (continue).

Ze Venerable a écrit :je peux me tromper, mais ta fonction f n'est définie que sur l'ensemble ("non dense") des valeurs prises par la suite Un (cf mon lien), cad {1/2 1/4 ...}. Donc tu ne peux parler de "f(B(1/4)) ".

Il me semblait que si :

Les nombres restants ont pour images eux-mêmes.

Sinon on pourrait pas parler de bijection entre [0,1[ et ]0,1

Ze Venerable a écrit :quot;]Et quand bien même, ce n'est pas parce que qu'il existe une bijection non continue entre les 2 ensembles qu'il n'est pas possible d'en trouver une qui elle le soit (continue).

Tu as raison d'être rigoureux, cela ne prouve effectivement pas qu'il n'en existe pas. Je pense que pour la démonstration c'est un peu plus compliqué (et repoes sur des arguments de topologie).

Il me semblait que si :

scuzi
encore raté ...