Bonjour,
Comment pourrais-je calculer les lignes de champ magnétique d'un aimant (ex.: morceau de fer magnétisé)?
Je sais qu'au sein d'un matériau le champ d'excitation est toujours donné par le théorème d'Ampère... mais je ne vois pas comment faire!
Merci d'avance!
Calculer les lignes de champ d'un aimant
Modérateur : Modérateurs
!
H B et M ne sont pas tout le temps colinéaires : cela dépend du milieu.
Pour calculer les champs il te faut une donnée de base : par exemple la densité de dipoles magnétiques dans le milieu. Donc en intégrant sur tout le volume tu peux en déduire les champs d'après le champ créé par un dipole magnétique. Mais c'est analyiquement impossible (ou très très difficile) si tu n'a pas des relations de symétrie basique. Sinon il faut faire par ordi.
Pour calculer les champs il te faut une donnée de base : par exemple la densité de dipoles magnétiques dans le milieu. Donc en intégrant sur tout le volume tu peux en déduire les champs d'après le champ créé par un dipole magnétique. Mais c'est analyiquement impossible (ou très très difficile) si tu n'a pas des relations de symétrie basique. Sinon il faut faire par ordi.
fffred a écrit :H B et M ne sont pas tout le temps colinéaires : cela dépend du milieu.
D'accord! Mais je pense qu'on fait tout le temps l'approximation qu'ils le sont, non? Notamment, lors de la définition du coefficient de perméabilité magnétique: mu_r = 1+ x_m.
Dans le cas de la magnétostatique, les équations de Maxwell se réduisent à:
rotB = mu_0 (J + rotM)
divB = 0
divJ = 0
et,
rho=0
E=P=0
dB/dt=0
Partant de la définition du champ magnétique B = mu_o (H-M); [H = B/mu_o - M], on obtient:
rot(H-M) = J + rot(M)
Bon pour moi, H et M sont tout le temps colinéaires vu que M a été créé par H: une barre de Fer est aimantée par un champ d'excitation. A moins que cette barre ait été aimantée préalablement par un autre champ d'excitation? Cela pourrait expliquer qu'ils puissent ne pas être colinéaires. Mais bon, ma vision n'est pas claire! Pour moi lorsque je soumet à nouveau une barre de Fer préalablement aimantée à un autre champ d'excitation, le vecteur d'aimantation de celle-ci change et prend le pli du nouveau champ d'excitation H... Est-ce que c'est incorrect?
fffred a écrit :Pour calculer les champs il te faut une donnée de base: par exemple la densité de dipoles magnétiques dans le milieu. Donc en intégrant sur tout le volume tu peux en déduire les champs d'après le champ créé par un dipole magnétique. Mais c'est analyiquement impossible (ou très très difficile) si tu n'a pas des relations de symétrie basique. Sinon il faut faire par ordi.
Je voudrais justement créer un logiciel informatique (pour cela pas de problème, c'est en électromagnétisme que j'ai des lacunes
). En fait je voudrais simuler le fonctionnement d'un électroaimant. Je l'ai déjà calculé approximativement (reluctance équivalente, loi d'Hopkinson, etc.). Je souhaiterais être plus précis. C'est juste pour apprendre... Comprendre réellement comment cela fonctionne parce que je dois l'avouer quand je regarde les équations de Maxwell, j'ai beau avoir lu quelques bouquins (très vite fait) sur le sujet, ça me semble toujours obscur 
Mettons que j'ai à ma disposition, la géométrie de la pièce et la direction du vecteur d'aimantation, est-ce suffisant?
J'ai lu que le potentiel vecteur créé par l'aimantation (donc on ne parle plus vraiment d'électroaimant - je m'intéresse à l'aimantation car je voudrais en tenir compte dans ma simulation) est identique à celui d'une distribution de courants de densité volumique:
jvf = rot(M)
et de densité surface:
jsf = M^n, où n est un vecteur unitaire normal, en chaque point, à la surface fermée (sur laquelle on fait le calcul) orientée vers l'extérieur.
Ce qui nous donne:
A(P) = mu_0/(4pi) ( \int_V rot(M)/r dV + \int_S (M^n)/r dS
Donc je pense que cela rejoint ton idée de connaître à l'avance la densité de dipoles magnétiques dans le milieu. Je dois connaître au préalable le champ de vecteur M? Qui est coliénaire au champ d'excitatio qui l'a créé. Est-ce que j'ai bien compris?
Bon allez, j'arrête là, j'ai assez de question pour écrire un bouquin
Merci d'éclairer mes pensées troubles
En fait tes deux questions reviennent à se poser la question de ce qu'est un milieu magnétique. En gros pour différentes raisons il peut y avoir des dipoles magnétiques dans la matière (électrons tournant autour du noyau, électrons libres, ...) qui peuvent être induits ou permanents. S'ils sont tous dans le même sens (ou à peu près), cela va faire que macroscopiquement le matériau produit un champ magnétique. Sinon les dipoles s'annulent et il n'y a pas de champ macroscopique.
- S'il existe des dipoles permanents algnés dans le même sens, alors on obtient un aimant.
- S'il existe des dipoles permanents ou induits (par la présence d'un aimant) qui ne sont pas alignés, mais qui le deviennent lorsqu'on approche un aimant, alors le matériau est attiré par l'aimant : c'est un matériau ferromagnétique.
- Si les dipoles permanents ou induits ne sont pas alignés malgré la présence d'un aimant, alors ce matériau n'est pas attiré par l'aimant : c'es un matériau paramagnétique.
- Il y a d'autres cas.
Peut-être que tu sais déjà tout ca mais ca fai du bien de se le rappeller.
Bon, là où je veux en venir c'est que tous les types de matériaux magnétiques ne vont pas "répondre" à une excitation extérieure de la même façon. Ici, l'excitation est H et la réponse est M (ou B au choix).
- Si le matériau est identique dans toute direction, il est dit "isotrope". Cela a pour effet de rendre H et M colinéaires.
- Si le matériau est identique en tout point, il est dit "homogène". Cela implique que chaque point contribue de la même façon à créer B.
- Si le matériau produit M proportionnellement à H, on dit qu'il est "linéaire". Ca simplifie pas mal les calculs !
Mais les matériaux n'ont pas forcéments ces propriétés. En fait c'est encore plus compliqué : ces propriétés changent en fonction du champ H appliqué.
Donc finalement, l'approximation linéaire homogène isotrope (lhi) n'est pas forcément bonne. Pour aller plus loin il faut, dans les différents cas :
- cas non isotrope : remplacer le khi par une matrice non diagonale (ou un tenseur pour être plus général),
- cas non homogène : remplacer khi par khi(r),
- cas non linéaire : remplacer khi par khi(H). Souvent on peut développer khi en puissances de H : khi(H) = khi0 + khi1*H + khi2*H^2 + ...
Bref cela peut devenir très compliqué, mais je ne sais pas du tout si cela intevient dans ton cas.
Ceci répond à ta première question.
En ce qui concerne l'aimantation d'un barreau de fer déjà aimanté, il me semble que le fer ne possède pas de moments magnétiques permanents : dès que tu l'éloignes d'un aimant, il perd toute sa structure magnétique. C'est pour cela qu'il est directement attiré par un second aimant, même si c'est dans une autre direction. Donc ta façon d'expliquer le fait que H et M puissent être colinéaire ne tient pas la route. C'est dû en fait à ce que j'ai dit plus haut : des effets microscopiques très compliqués (lorsque H est élevé) permettent d'avoir H et M non colinéaires microscopiquement et a fortiori macroscopiquement.
Pour ta deuxième question, j'ai du mal à saisir tes calculs ( et il est tard ^^) mais en gros connaitre la densité de dipoles magnétiques n'est pas suffisant dans le cas général. En effet il te faut connaitre la "fonction réponse" de ton matériau, c'est-à-dire M=f(H). Le seul moyen est de trouver des valeurs tabulées.
Sinon tu peux toujours supposer lhi, mais faut voir si c'est valable pour un électroaimant.
Juste pour te dire, je m'y connais pas en milieux magnétiques : je fais juste l'analogie avec les milieux diélectriques que je connais un peu.
- S'il existe des dipoles permanents algnés dans le même sens, alors on obtient un aimant.
- S'il existe des dipoles permanents ou induits (par la présence d'un aimant) qui ne sont pas alignés, mais qui le deviennent lorsqu'on approche un aimant, alors le matériau est attiré par l'aimant : c'est un matériau ferromagnétique.
- Si les dipoles permanents ou induits ne sont pas alignés malgré la présence d'un aimant, alors ce matériau n'est pas attiré par l'aimant : c'es un matériau paramagnétique.
- Il y a d'autres cas.
Peut-être que tu sais déjà tout ca mais ca fai du bien de se le rappeller.
Bon, là où je veux en venir c'est que tous les types de matériaux magnétiques ne vont pas "répondre" à une excitation extérieure de la même façon. Ici, l'excitation est H et la réponse est M (ou B au choix).
- Si le matériau est identique dans toute direction, il est dit "isotrope". Cela a pour effet de rendre H et M colinéaires.
- Si le matériau est identique en tout point, il est dit "homogène". Cela implique que chaque point contribue de la même façon à créer B.
- Si le matériau produit M proportionnellement à H, on dit qu'il est "linéaire". Ca simplifie pas mal les calculs !
Mais les matériaux n'ont pas forcéments ces propriétés. En fait c'est encore plus compliqué : ces propriétés changent en fonction du champ H appliqué.
Donc finalement, l'approximation linéaire homogène isotrope (lhi) n'est pas forcément bonne. Pour aller plus loin il faut, dans les différents cas :
- cas non isotrope : remplacer le khi par une matrice non diagonale (ou un tenseur pour être plus général),
- cas non homogène : remplacer khi par khi(r),
- cas non linéaire : remplacer khi par khi(H). Souvent on peut développer khi en puissances de H : khi(H) = khi0 + khi1*H + khi2*H^2 + ...
Bref cela peut devenir très compliqué, mais je ne sais pas du tout si cela intevient dans ton cas.
Ceci répond à ta première question.
En ce qui concerne l'aimantation d'un barreau de fer déjà aimanté, il me semble que le fer ne possède pas de moments magnétiques permanents : dès que tu l'éloignes d'un aimant, il perd toute sa structure magnétique. C'est pour cela qu'il est directement attiré par un second aimant, même si c'est dans une autre direction. Donc ta façon d'expliquer le fait que H et M puissent être colinéaire ne tient pas la route. C'est dû en fait à ce que j'ai dit plus haut : des effets microscopiques très compliqués (lorsque H est élevé) permettent d'avoir H et M non colinéaires microscopiquement et a fortiori macroscopiquement.
Pour ta deuxième question, j'ai du mal à saisir tes calculs ( et il est tard ^^) mais en gros connaitre la densité de dipoles magnétiques n'est pas suffisant dans le cas général. En effet il te faut connaitre la "fonction réponse" de ton matériau, c'est-à-dire M=f(H). Le seul moyen est de trouver des valeurs tabulées.
Sinon tu peux toujours supposer lhi, mais faut voir si c'est valable pour un électroaimant.
Juste pour te dire, je m'y connais pas en milieux magnétiques : je fais juste l'analogie avec les milieux diélectriques que je connais un peu.
Tout d'abord, je te remercie par la qualité de ta réponse! Je crois que je pense que j'ai presque tout compris
Il est vrai que je ne m'étais jamais rendu compte, honte sur moi, qu'un matériau n'était pas forcément isotrope, voilà pourquoi je ne m'expliquais pas comment H et M pouvaient ne pas être colinéaires...
En ce qui concerne l'homogénéïté du matériau, je pense que, en absence de bobine, celle-ci dépend du champ magnétique que l'on a appliqué au matériau pour l'aimanter: son champ rémanent. Lorsqu'une bobine est présente, je pense que le barreau magnétique perd son champ rémanent et prend celui du champ magnétique qui lui est appliqué.
Je souhaiterais utiliser un noyau de Fer qui est, je pense, isotrope et non-linéaire. Je pourrais m'appuyer sur le cycle d'hystérésis du Fer développé en série de Mc-Laurin pour ma caractéristique M=f(H).
En ce qui concerne les calculs, ils sont disponibles notamment à l'adresse http://www.sciences.univ-nantes.fr/phys ... 4macma.htm
à la section "3.3. Potentiel vecteur créé par une aimantation. Distribution équivalente de courants"
Il est vrai que je ne m'étais jamais rendu compte, honte sur moi, qu'un matériau n'était pas forcément isotrope, voilà pourquoi je ne m'expliquais pas comment H et M pouvaient ne pas être colinéaires...
En ce qui concerne l'homogénéïté du matériau, je pense que, en absence de bobine, celle-ci dépend du champ magnétique que l'on a appliqué au matériau pour l'aimanter: son champ rémanent. Lorsqu'une bobine est présente, je pense que le barreau magnétique perd son champ rémanent et prend celui du champ magnétique qui lui est appliqué.
Je souhaiterais utiliser un noyau de Fer qui est, je pense, isotrope et non-linéaire. Je pourrais m'appuyer sur le cycle d'hystérésis du Fer développé en série de Mc-Laurin pour ma caractéristique M=f(H).
En ce qui concerne les calculs, ils sont disponibles notamment à l'adresse http://www.sciences.univ-nantes.fr/phys ... 4macma.htm
à la section "3.3. Potentiel vecteur créé par une aimantation. Distribution équivalente de courants"
Oh la la! Tes conseils me sont vraiment précieux... Encore merci!
En ce qui concerne les matériaux non-isotropes, on peut p-e les caractériser par 3 coefficients de perméabilités: µr_x, µr_y et µr_z. Les relations entre le champ magnétique B et le champ d'excitation H deviendraient dès lors:
Bx = µ0 µr_x Hx
By = µ0 µr_y Hy
Bz = µ0 µr_z Hz
Sous forme matricielle ça ferait une belle matrice diagonale 3x3 pour représenter la perméabilité du milieu.
Pourquoi avoir plus de trois coefficients?
En ce qui concerne les matériaux non-isotropes, on peut p-e les caractériser par 3 coefficients de perméabilités: µr_x, µr_y et µr_z. Les relations entre le champ magnétique B et le champ d'excitation H deviendraient dès lors:
Bx = µ0 µr_x Hx
By = µ0 µr_y Hy
Bz = µ0 µr_z Hz
Sous forme matricielle ça ferait une belle matrice diagonale 3x3 pour représenter la perméabilité du milieu.
- cas non isotrope : remplacer le khi par une matrice non diagonale (ou un tenseur pour être plus général),
Pourquoi avoir plus de trois coefficients?
en fait de facon générale on a :
Bx = µxx Hx + µxy Hy + µxz Hy
By = µyx Hx + µyy Hy + µyz Hy
Bz = µzx Hx + uzy Hy + µzz Hy
D'où une matrice 3x3 non diagonale.
Mais il est vrai qu'on peut toujours trouver 3 axes différents de xyz qui permettent de diagonaliser cette matrice. Par contre ces axes ne sont pas forcément les mêmes que ceux que tu as défini dans ton problème.
Mais au fond tu as raison, il n'y a que trois coefficients de base. Les autres en sont des combinaisons.
Bx = µxx Hx + µxy Hy + µxz Hy
By = µyx Hx + µyy Hy + µyz Hy
Bz = µzx Hx + uzy Hy + µzz Hy
D'où une matrice 3x3 non diagonale.
Mais il est vrai qu'on peut toujours trouver 3 axes différents de xyz qui permettent de diagonaliser cette matrice. Par contre ces axes ne sont pas forcément les mêmes que ceux que tu as défini dans ton problème.
Mais au fond tu as raison, il n'y a que trois coefficients de base. Les autres en sont des combinaisons.
