Paradoxe des jumeaux

gzav · Message par **gzav** » 27/11/2007 - 18:04:52

J'ai une question basique qui va je l'espere vous sortir de votre torpeur hivernale.
C'est l'histoire de Georges et son super vaisseau qui monte a c/V2 (racine de 2 pour simplifier les calculs), et de son frere jumeau Gregoire dans son observatoire du pole nord.

Soit R le referentiel du pole nord et R' le vaisseau a v = 0.7*c
R n'est pas vraiment inertiel mais je suppose qu'on l'assimile a ? Sinon prenons la station spatiale Basileus aux confins du systeme solaire.
Chacun a son horloge qui emet des flashes lumineux etc...

En deplacement lateral, j'applique les equations de Lorentz et on obtient : dx = 0.7 dx' et dt = 1.4 dt'

Que du classique, c'est la que vient ma question a deux balles : que voit Georges de son vaisseau ?
Je ne pense pas que l'on puisse inverser les eq. de Lorentz pour exprimer dx'=f(dx), en relativite c'est tres facile de dire des betises si on defini mal le probleme.

Georges coupe son moteur loin de toute attraction gravitationnelle, il est lui-meme un refentiel inertiel, donc lui aussi, en observant le pole nord, voit une contraction des distances et une dilatation du temps.
Pourtant quand il revient a l'observatoire Gregoire est plus vieux que lui ! Quand se fait le "rattrapage", pendant les phases d'acceleration et decceleration, ou pendant le deplacement non lateral ?

Oswald_le_fort · Message par **Oswald_le_fort** » 27/11/2007 - 19:08:22

C'est vachement interessant comme question...
Et ton interpretation est correcte : george vois les contraction des longueurs et la dilatation du temps.
Et c'est pendant les phases d'acceleration que les rattrapages se font, par contre, je suis pas assez en forme pour resortir les equations de tete....

Victor · Message par **Victor** » 27/11/2007 - 19:17:48

Il me semble que le cas de l'accélération = racine 2 n'est jamais observé durectement et reste un cas d'école mais en considérant des particules a courtes durée de vie on oberve cette dilatation, sinon pour moi le georges voit l'univers avec des effets doppler importants donc des effets energétiques sur lui-même...

Message par **bongo1981** » 27/11/2007 - 21:15:44

gzav a écrit :En deplacement lateral, j'applique les equations de Lorentz et on obtient : dx = 0.7 dx' et dt = 1.4 dt'

Petit souci dans les transformations, tu constateras que si tu écris dx'/dt' tu obtiens une vitesse qui peut dépasser c.
La différentielle correcte est donnée par :

Obtenant les différentiations des transformations de Lorentz :

gzav a écrit :Que du classique, c'est la que vient ma question a deux balles : que voit Georges de son vaisseau ?
Je ne pense pas que l'on puisse inverser les eq. de Lorentz pour exprimer dx'=f(dx), en relativite c'est tres facile de dire des betises si on defini mal le probleme.

ah si si on peut très bien les inverser (puisque les deux référentiels jouent des rôles symétriques, aucun ne peut être privilégier, cela confère un caractère inversible aux transformations de Lorentz [en fait ça donne une structure de groupe]).

gzav a écrit :Georges coupe son moteur loin de toute attraction gravitationnelle, il est lui-meme un refentiel inertiel, donc lui aussi, en observant le pole nord, voit une contraction des distances et une dilatation du temps.
Pourtant quand il revient a l'observatoire Gregoire est plus vieux que lui ! Quand se fait le "rattrapage", pendant les phases d'acceleration et decceleration, ou pendant le deplacement non lateral ?

Pendant les accélérations comme ça a été dit plus haut.

En effet, lorsque les référentiels ne sont pas accélérés, rien ne dit lequel est en mouvement et lequel ne l'est pas, donc les observateurs doivent observer la même chose.
A partir du moment où il y a une accélération les référentiels ne sont plus équivalents.

Message par **bongo1981** » 27/11/2007 - 21:30:24

Oswald_le_fort a écrit :C'est vachement interessant comme question...
Et ton interpretation est correcte : george vois les contraction des longueurs et la dilatation du temps.
Et c'est pendant les phases d'acceleration que les rattrapages se font, par contre, je suis pas assez en forme pour resortir les equations de tete....

Pour le calcul, ça doit être une intégrale sur le temps propre

Aldebaran · Message par **Aldebaran** » 28/11/2007 - 11:03:23

Désolé d'intervenir, je pourrais pas vous aider, j'ai laissé les maths loin derrière moi depuis longtemps... :sarcastic:

J'avais juste une petite question destinée à bongo, comment fais tu pour écrire comme ça ? (je parles des calculs biensure ^^)

buck · Message par **buck** » 28/11/2007 - 11:08:40

ce sont des images.
Soit il les trouve sur le net (pas sur) soit il les genere (plus sur, et a priori c'est ca)

Aldebaran · Message par **Aldebaran** » 28/11/2007 - 11:24:08

Ha d'accord... Je cherchais sur TS ou était l'option calculs scientifiques, mais je crois avoir compris :sol:

A tous les coups il pique tout sur le forum de futura-science :bon:

buck · Message par **buck** » 28/11/2007 - 11:27:46

A t'il besoin de les piquer?
j'en doute fortement(en plus le lien envoie sur imageshacks qui permet de stocker ces petites images)

Sinon je n'ai pas vu la possibilite de coder les equations comme sous latex (doit pas eter evident pour adrien a faire)

Oswald_le_fort · Message par **Oswald_le_fort** » 28/11/2007 - 11:30:14

Non, il existe cette page :
http://www.artofproblemsolving.com/LaTe ... _TeXer.php

Aldebaran · Message par **Aldebaran** » 28/11/2007 - 11:31:59

Quand je dis piquer, c'est juste qu'il les génère sous latex (peut-être). Il fait sa formule et l'upload sur imagehack... je ne sais point ! Enfin bref, reprenez à vos moutons, je ne faisais que passer

Oswald_le_fort · Message par **Oswald_le_fort** » 28/11/2007 - 11:40:10

Il utilise le lien que j'ai donne... C'est lui meme qui l'avait donne il y a quelques temps.

Message par **bongo1981** » 28/11/2007 - 11:52:24

Effectivement je les génère, avec ce lien
http://www.artofproblemsolving.com/LaTe ... _TeXer.php

J'en avais parlé dans ce poste
viewtopic.php?p=54731#54731

Mais il faut connaître le LaTeX

buck · Message par **buck** » 28/11/2007 - 12:04:24

ouinnn le lien est bloque par le proxy ouinnnnn

merci a vous 2
et desole pour la pollution

Message par **bongo1981** » 28/11/2007 - 13:31:11

bongo1981 a écrit :Pour le calcul, ça doit être une intégrale sur le temps propre

On peut voir ça en traçant le diagramme d'espace-temps.

Pour le jumeau resté sur terre (A), sa ligne d'univers est la droite x=cste.

La ligne d'univers du jumeau voyageur est une courbe partant de l'origine en biais puis revenant vers le point où se trouvera l'autre jumeau. (dans le diagramme c'est le chemin B, une ligne brisée).

La pseudo-norme de la ligne d'univers courbe est plus petite que la pseudo-norme de la ligne droite, ie, le temps écoulé dans le référentiel du jumeau voyageur (qui n'est pas un référentiel inertiel) est plus court.

Selon une norme euclidienne, le trajet B est plus long que le trajet A.

Mais l'espace-temps est Lorentzien (ou Minkowskien), et donc d'après la pseudo-norme définie, le trajet B est bien plus court que le trajet A.

Maulus · Message par **Maulus** » 28/11/2007 - 13:55:52

le temps racoursis lorsque j'accélère mais ne s'alonge pas lorsque je décélère ?
la somme des accélèrations dans un voyage départ arreté arrivé arreté proche de la vitesse de la lumière influence irrémédiablement sur notre propre espace temps.

si je pars de la terre, que je fais une boucle à une vitesse proche de la lumière et que je reviens, mon temps relatif aura été plus court que sur terre.

si je m'était observé depuis la terre pendant mon trajet, je me serait vu tout lent, et très gros.
mais j'aurais pu m'observer pendant des années alors que je suis resté dans le vaisseau que quelques heures

Message par **bongo1981** » 28/11/2007 - 15:42:21

Maulus a écrit :le temps racoursis lorsque j'accélère mais ne s'alonge pas lorsque je décélère ?

Euh...
Le temps est ralenti dès que l'on a affaire à des mouvements accélérés (par rapport à des référentiels inertiels).

J'entends par mouvement accéléré, toute variation du vecteur vitesse :
- que ce soit des variations de la norme, augmentation (correspondant à une augmentation de la vitesse, ou accélération dans le sens courant), diminution (décélération dans le sens courant)
- que ce soit des variations de la direction du vecteur (mouvement circulaire uniforme)
- ou les deux en même temps

Maulus a écrit :la somme des accélèrations dans un voyage départ arreté arrivé arreté proche de la vitesse de la lumière influence irrémédiablement sur notre propre espace temps.

Je n'ai pas trop compris cette phrase.

Maulus a écrit :si je pars de la terre, que je fais une boucle à une vitesse proche de la lumière et que je reviens, mon temps relatif aura été plus court que sur terre.

si je m'était observé depuis la terre pendant mon trajet, je me serait vu tout lent, et très gros.

pourquoi gros ?

Maulus a écrit :mais j'aurais pu m'observer pendant des années alors que je suis resté dans le vaisseau que quelques heures

Euh... comment tu fais pour t'observer ? avec un miroir ? :siffle:

gzav · Message par **gzav** » 29/11/2007 - 22:23:11

bongo1981 a écrit :Petit souci dans les transformations, tu constateras que si tu écris dx'/dt' tu obtiens une vitesse qui peut dépasser c.

Je ne vois pas tres bien a quoi peut correspondre physiquement dx'/dt'. J'ai peut-etre mal defini le probleme.
dx et dt ne sont pas lies. dx' c'est la distance entre 2 hublots de la navette (mesuree avec dt'=0) et dt' le temps entre 2 flashes de l'anticoll sur la queue de la navette (dx'=0). dx/dt et dx'/dt' n'expriment pas une vitesse physique.

C'est pour ca que je disais qu'on ne peut pas inverser les equations sinon dx' = 1.4 dx or Georges voit lui aussi une contraction du pole nord.

***

Le "rattrapage" se fait donc pendant les phases d'acceleration (=decceleration), ou Georges va voir l'horloge de Gregoire battre tres vite (car n'oublions pas qu'a la fin Georges aura vu plus de battements d'horloge chez Gregoire que pour lui).

Mais suppose que les phases d'accelerations durent 10 jours. Quel que soit le temps de voyage en vitesse de croisiere, Georges va compter disons X battements sur l'horloge de Gregoire alors qu'il y a eu en meme temps Y battements sur l'horloge de la navette (X>>Y).

Or pendant la vitesse de croisiere, Georges voit l'horloge de Gregoire battre plus lentement que la sienne (X<Y)

Vous voyez ou je veux en venir ? A la fin du voyage, Georges est plus jeune que Gregoire donc il a forcement compte au total X>Y.
Le probleme c'est que la periode de croisiere est longue, plus la difference d'age est importante entre les 2 freres, alors que X-Y diminue.

Message par **bongo1981** » 30/11/2007 - 9:39:06

gzav a écrit :Je ne vois pas tres bien a quoi peut correspondre physiquement dx'/dt'.

Bah... c'est une vitesse mesurée dans le référentiel primé. Le mobile se déplace d'une distance dx' mesurée dans le référentiel R', pendant une durée dt'. C'est une vitesse.

gzav a écrit :J'ai peut-etre mal defini le probleme.
dx et dt ne sont pas lies.

attention à ne pas manier n'importe comment des différentielles.

gzav a écrit :dx' c'est la distance entre 2 hublots de la navette (mesuree avec dt'=0) et dt' le temps entre 2 flashes de l'anticoll sur la queue de la navette (dx'=0). dx/dt et dx'/dt' n'expriment pas une vitesse physique.

ce sont les notations qui ne conviennent pas, et tu ne peux pas non plus utiliser n'importe comment les tranformations de Lorentz.

gzav a écrit :C'est pour ca que je disais qu'on ne peut pas inverser les equations sinon dx' = 1.4 dx or Georges voit lui aussi une contraction du pole nord.

Attention, tu utilises des différentielles totales (et justement la structure mathématique correspondant dit explicitement que tu peux les inverser [je ne sais plus le terme exact, mais c'est un difféomorphisme sur une variété différentielle un truc comme ça]).

gzav a écrit :Le "rattrapage" se fait donc pendant les phases d'acceleration (=decceleration), ou Georges va voir l'horloge de Gregoire battre tres vite (car n'oublions pas qu'a la fin Georges aura vu plus de battements d'horloge chez Gregoire que pour lui).

Mais suppose que les phases d'accelerations durent 10 jours. Quel que soit le temps de voyage en vitesse de croisiere, Georges va compter disons X battements sur l'horloge de Gregoire alors qu'il y a eu en meme temps Y battements sur l'horloge de la navette (X>>Y).

Or pendant la vitesse de croisiere, Georges voit l'horloge de Gregoire battre plus lentement que la sienne (X<Y)

tous les deux voient l'horloge de l'autre battre plus lentement.

gzav a écrit :Vous voyez ou je veux en venir ? A la fin du voyage, Georges est plus jeune que Gregoire donc il a forcement compte au total X>Y.
Le probleme c'est que la periode de croisiere est longue, plus la difference d'age est importante entre les 2 freres, alors que X-Y diminue.

comment ça X-Y diminue ?

Maulus · Message par **Maulus** » 30/11/2007 - 11:51:59

en fait ma question bongo c'était : est ce que la décéleration inverse l'effet de l'accélèration sur le temps relatif du voyageur ?

si je fais une boucle avec accéleration et décéleration égale, il y a aussi le paradoxe du jumeau ?

Victor · Message par **Victor** » 30/11/2007 - 14:03:21

Permettez moi un doute sur la symétrie des opérateurs de Lorentz en effet si je prends l'energie ben les références d'énergies liées aux référentiels sont totalement différente, en effet si je prend Georges et Grégoire, les références d'énergies ne sont pas les mêmes George ayant accumulé une énergie potentielle ou cinétique très importante comment en tient on compte dans les bilans énergétiques, liés aux transformées de Lorentz

Message par **bongo1981** » 30/11/2007 - 14:28:37

Maulus, j'avais déjà répondu

bongo1981 a écrit :Euh...
Le temps est ralenti dès que l'on a affaire à des mouvements accélérés (par rapport à des référentiels inertiels).

J'entends par mouvement accéléré, toute variation du vecteur vitesse :
- que ce soit des variations de la norme, augmentation (correspondant à une augmentation de la vitesse, ou accélération dans le sens courant), diminution (décélération dans le sens courant)
- que ce soit des variations de la direction du vecteur (mouvement circulaire uniforme)
- ou les deux en même temps

Victor a écrit :Permettez moi un doute sur la symétrie des opérateurs de Lorentz

Transformation de Lorentz

Victor a écrit :en effet si je prends l'energie ben les références d'énergies liées aux référentiels sont totalement différente, en effet si je prend Georges et Grégoire, les références d'énergies ne sont pas les mêmes George ayant accumulé une énergie potentielle ou cinétique très importante comment en tient on compte dans les bilans énergétiques, liés aux transformées de Lorentz

Le calcul est une approximation, l'on n'a pas tenu compte de la gravitation.
D'ailleurs dans cette situation physique il n'y a absolument pas équivalence des référentiels, puisque l'un est inertiel, l'autre non.

gzav · Message par **gzav** » 30/11/2007 - 19:11:56

bongo1981 a écrit :Le mobile se déplace d'une distance dx' mesurée dans le référentiel R', pendant une durée dt'.

Oui c'est bien ca on s'est mal compris. Mon dx est un DELTA (x1-x2), j'ai note "d" par simplicite, desole. La definition de mes Delta X et t n'ont rien a voir avec la vitesse v du referentiel.

Delta(x) = la distance entre 2 hublots pour Delta(t)=0
Delta(t) = le temps entre 2 evenements pour Delta(x) = 0

C'est la-dessus que j'applique les transformations de Lorentz (qui expriment des coordonnees d'un repere R en fonction des coordonnees dans un repere R')
J'ai donc Delta(x) = 0.7 * Delta(x') et Delta(t) = 1.4 * Delta(t')
Pour Gregoire le vaisseau de Georges se contracte et son horloge ralentit mais le vaisseau va toujours a la vitesse v. En vitesse de croisiere Georges constate la meme chose, la station spatiale se contracte et son temps ralentit.

***

Concentrons-nous sur Georges et son vaisseau. Il compte la totalite des battements de son horloge (S) et de celle de Gregoire (T). En arrivant a la base il constate que son frere jumeau est plus vieux que lui, il a donc compte au total T>S n'est-ce pas ?

Message par **bongo1981** » 02/12/2007 - 14:06:41

euh... voui

gzav · Message par **gzav** » 03/12/2007 - 16:07:09

OK, restons avec Georges.

Il s'eloigne de la station spatiale de Gregoire en acceleration (phase a), puis dans la meme direction en vitesse de croisiere (phase c), un demi tour (phase 1/2), puis revient vers la base en vitesse de croisiere (phase c) et decceleration (phase d).
Le parcours est parfaitement symetrique, ce qui annule les variations de vitesse d'horloge dus a l'effet Doppler.

Georges compte les battements de son horloge (S) et ceux de Gregoire (T), qui valent au total :
S = Sa + Sc + S1/2 + Sd et idem pour T

Vu que je ne sais pas trop ce qui se passe dans un referentiel accelere (ton integrale du temps propre est tout le temps valable ?), imagine que le temps de croisiere soit tres long par rapport aux phases d'acceleration, on aurait alors :

Sc>> Sa, Sd et S1/2 et donc S=Sc et T=Tc

Or pendant la vitesse de croisiere, meme si le temps propre de Georges est ralenti, il voit quand meme que l'horloge de Gregoire bat plus lentement (les referentiels sont equivalents), c'est-a-dire que Georges compte S = 1.4 * T alors que normalement au final du point de vue de Georges S < T