Bonjour,
j'ai une question à propos de la condition sur la composante normale du champ E à l'interface entre 2 diélectriques conducteurs. Je suppose que les deux milieux ne sont pas magnétiques (donc de perméabilité relative égale à 1). Je suppose également dans la suite que je n'ai pas de charges volumiques "réelles" (rho=0).
Voici l'équation de Maxwell-Ampère (en SI) :
rot B=µ0(j+dD/dt)
(avec les notations habituelles)
Si j'utilise
div B=0
j=sigma E
D=epsilon E
et que je suppose que mes champs sont en exp(-i omega t) car je m'intéresse aux ondes qui se propagent dans ces deux milieux, j'obtiens :
rot B=µ0(sigma-i omega epsilon)E
C'est là qu'apparaît mon problème. Si je prends la divergence de cette équation, je trouve qu'à l'interface entre les deux milieux (1 et 2), les composantes normales de E vérifient :
(sigma_2-i omega epsilon_2)(E_2)n-(sigma_1-i omega epsilon_1)(E_1)n=0
Or comme on a déja classiquement que :
epsilon_2(E_2)n-epsilon_1(E_1)n=0
(car div D=div(epsilon E)=0)
ça donne un système dont la solution est E_1=E_2=0 (sauf cas particulier comme sigma_1=sigma_2). Où ai-je fait une erreur de raisonnement ?
Électromagnétisme : interface entre 2 diélectriques conducteurs
Modérateur : Modérateurs
Merci de ton intérêt pour ma question,
Quel que soit le champ A, div rot A=0. Donc a fortiori, ça marche pour A=B...
Plus précisément, il s'agit de div(epsilonE)=0. La relation div E=0 n'est pas valide ici car epsilon n'est pas homogène et on ne peut pas le sortir de la divergence. Mon problème vient du fait que j'ai apparemment une relation supplémentaire provenant de la relation div[(sigma-i omega epsilon)E]=0.
De même qu'on obtient epsilon_2(E_2)n-epsilon_1(E_1)n=0 à partir de div(epsilonE)=0, on obtient (sigma_2-i omega epsilon_2)(E_2)n-(sigma_1-i omega epsilon_1)(E_1)n=0 à partir de div[(sigma-i omega epsilon)E]=0 (On prend un volume chevauchant les deux milieux 1 et 2, et en appliquant le théorème de Gauss, on fait tendre ce volume vers 0).
Ben il doit bien avoir une relation qui lie B_1p et B_2p au courant surfacique et qu'on démontre à partir de cette même équation de Maxwell-Ampère (c'est-à-dire, sans en prendre la divergence), mais bon, c'est pas ce qui m'intéresse ici en particulier.
fffred a écrit :Je ne vois pas comment en prenant la divergence de ton équation tu parviens à éliminer le champ magnétique.
Quel que soit le champ A, div rot A=0. Donc a fortiori, ça marche pour A=B...
fffred a écrit :Il me semble en fait que l'équation à utiliser pour faire apparaitre E1n et E2n est divE=0.
Plus précisément, il s'agit de div(epsilonE)=0. La relation div E=0 n'est pas valide ici car epsilon n'est pas homogène et on ne peut pas le sortir de la divergence. Mon problème vient du fait que j'ai apparemment une relation supplémentaire provenant de la relation div[(sigma-i omega epsilon)E]=0.
De même qu'on obtient epsilon_2(E_2)n-epsilon_1(E_1)n=0 à partir de div(epsilonE)=0, on obtient (sigma_2-i omega epsilon_2)(E_2)n-(sigma_1-i omega epsilon_1)(E_1)n=0 à partir de div[(sigma-i omega epsilon)E]=0 (On prend un volume chevauchant les deux milieux 1 et 2, et en appliquant le théorème de Gauss, on fait tendre ce volume vers 0).
fffred a écrit :Dans ton cas n'y aurait-il pas également B1p et B2p qui interviennent ?
Ben il doit bien avoir une relation qui lie B_1p et B_2p au courant surfacique et qu'on démontre à partir de cette même équation de Maxwell-Ampère (c'est-à-dire, sans en prendre la divergence), mais bon, c'est pas ce qui m'intéresse ici en particulier.
bon en fait j'avais pas bien lu ....
Il me semble que l'erreur vient du fait que tu poses la densité de charge rho nulle : à partir du moment où E varie, alors rho varie forcément.
Cela va revient à dire que ( epsilon1 E1n - epsion2 E2n ) ne va pas être nul mais va dépendre de rho.
Pour faire le lien entre E et rho tu peux supposer qu'ils sont proportionnels l'un à l'autre, ce qui ne marche pas toujours.
Il me semble que l'erreur vient du fait que tu poses la densité de charge rho nulle : à partir du moment où E varie, alors rho varie forcément.
Cela va revient à dire que ( epsilon1 E1n - epsion2 E2n ) ne va pas être nul mais va dépendre de rho.
Pour faire le lien entre E et rho tu peux supposer qu'ils sont proportionnels l'un à l'autre, ce qui ne marche pas toujours.