Force portante d'un électroaimant de manière stricte

[Rodrigue]

Bonjour,

Je souhaiterais calculer le force portante d'un électroaimant de manière stricte (donc sans utiliser la formule F = B^2 S / (2µ0))

Je suis arrivé à la conclusion, après avoir écrit le bilan énergétique, que le vecteur force était égal au gradient de l'énergie magnétique (cf. ci-dessous pour la "démonstration"):
F = (d/dx Wmag, d/dy Wmag, d/dz Wmag)

Sachant que l'énergie magnétique est égale à:
Wmag = intégrale_volume[B . dH]

Je pense que je peux dire que le vecteur force est égal, en faisant passer les termes différentiels sous l'intégrale, à:
F = (intégrale_volume[dB/dx . dH], intégrale_volume[dB/dy . dH], intégrale_volume[dB/dz . dH])

Est-ce que cela vous paraît correct?
Ce qui me turlupinne, c'est qu'on dirait qu'il s'agit d'une force globale ...

---
Bilan énergétique:

L'énergie apparaît sous forme électrique We, magnétique Wmag ou mécanique Wmec.

L'énergie électrique est égale à:
dWe = u(t) i(t) dt
u(t) = Ndphi/dt
dWe = N i dphi

L'énergie mécanique est égale au travail d'une force de translation:
dWmec = Fx dx + Fy dy + Fz dz

L'énergie électrique est convertie en énergie magnétique et mécanique:
dWe = dWmag + dWmec
dWmag = N i dphi + Fx dx + Fy dy + Fz dz

De manière générale:
dWmag = DWmag/Dphi dphi+ DWmag/Dx dx+ DWmag/Dy dy+ DWmag/Dz dz
D := rho (dérivée partielle)

Donc par association:
Fx = dWmag/dx
Fy = dWmag/dy
Fz = dWmag/dz

[fffred]

Quand tu parles de portance, je vois pas très bien ce dont tu veux parler : action d'un côté de l'électroaimant sur l'autre ? action de l'électroaimant sur un matériau ferromagnétique ?

En tous cas le passage de la dérivée dans l'intégrale me paraît très bizarre. A mon avis le problème est de bien définir sur quel volume on intègre. Il faut peut-être raisonner sur un volume infinitésimal de matière à "porter".

[Rodrigue]

Quand tu parles de portance, je vois pas très bien ce dont tu veux parler : action d'un côté de l'électroaimant sur l'autre ? action de l'électroaimant sur un matériau ferromagnétique ?

Voici un exemple d'électroaimant (il ne s'agit pas de la dernière génération ):

Il est composé d'une partie fixe et d'une partie mobile à laquelle est accroché un poids. Avec ce type d'électroaimant on peut soulever tout type de poids, pas seulement des ferreux!
Donc, pour répondre à ta question, je pense que c'est l'action d'un électroaimant sur un matériau ferromagnétique mais ce matériau fait lui-même partie de l'électroaimant!

En tous cas le passage de la dérivée dans l'intégrale me paraît très bizarre.

Pour pourvoir faire passer la dérivée sous le signe intégrale, il suffit que le champ magnétique B soit continu et mesurable. Bon mesurable c'est le cas, continu je ne sais pas
http://www.meca.unicaen.fr/Enseignement/Licence/Math/cours/node107.html . Est-ce qu'il est continu lorsqu'on passe d'un milieu à l'autre?

A mon avis le problème est de bien définir sur quel volume on intègre. Il faut peut-être raisonner sur un volume infinitésimal de matière à "porter".

Peut-être que je dois faire le calcul sur le volume de l'entrefer: la surface de contact multiplié par un accroissement infinitésimal dz?

[fffred]

- je ne comprend pas ton schéma : où est la partie mobile ? et l'entrefer ?
- ton passage dans l'intégrale est clairement faux. Dans le lien que tu donnes, l'intégrale n'est pas sur un volume !

[Rodrigue]

- je ne comprend pas ton schéma : où est la partie mobile ? et l'entrefer ?

Voici un schéma un peu plus clair:

- ton passage dans l'intégrale est clairement faux. Dans le lien que tu donnes, l'intégrale n'est pas sur un volume !

Oups ! Euh je ne vois pas pourquoi c'est illégal de faire ça ... Je passe le signe en dessous de la première intégrale, puis de la deuxième, puis de la troisième , non? Aïe, aïe pas trop fort sur la tête

[fffred]

ok merci pour le schéma.
A propos de l'intégrale le problème est que la dérivée a l'extérieur de l'intégrale est sur la même variable que la variable sur laquelle on intègre. Bon pour me faire mieux comprendre, l'intégrale ne dépend pas de x, vu qu'on a déjà intégrer selon x. Et c'est normal : l'énergie magnétique ne dépend pas de x,y,z. Donc dériver par rapport à x n'a pas de sens.

J'espère que tu vois ce que je veux dire.

Bref, je pense que ton erreur vient du fait que tu as confondu énergie magnétique et densité d'énergie magnétique. C'est la même chose, sauf que l'intégration de B.dH doit se faire sur un volume infinitésimal dV centré autour de (x,y,z) et non pas sur tout l'espace.

Au final, ta force risque beaucoup de s'écrire : { int( BdH dx dy) |z=0 } - { int( BdH dx dy) |z=L }

où L est la longueur de l'entrefer. Mais j'en suis pas sur du tout.

[Rodrigue]

J'espère que tu vois ce que je veux dire.

Ok, je vois! C'est vrai que c'était un peu stupide, d'ailleurs ça aurait fait zéro (vu que je dérive une variable en fonction de x qui elle même n'est pas fonction de x).

Bref, je pense que ton erreur vient du fait que tu as confondu énergie magnétique et densité d'énergie magnétique.
C'est la même chose, sauf que l'intégration de B.dH doit se faire sur un volume infinitésimal dV centré autour de (x,y,z) et non pas sur tout l'espace.

C'est vrai que je m'y perd un peu entre:
- la densité d'énergie magnétique int(B dH)
- l'énergie magnétisante int(H dB)
- et une autre définition, je pense, de l'énergie magnétique 1/2 int_volume(B.H dV)

déjà est-ce que int(B dH) = 1/2 int_volume(B.H dv) ? Quand on remplace B par µH on retombe sur les mêmes formules mais bon, ce n'est pas vraiment une preuve !

Au final, ta force risque beaucoup de s'écrire : { int( BdH dx dy) |z=0 } - { int( BdH dx dy) |z=L }

où L est la longueur de l'entrefer. Mais j'en suis pas sur du tout.

En partant de Wmag = 1/2 int_volume_de_l_entrefer(B.H dV)
Je peux écrire que:
Wmag = 1/2 int_x(xmin;xmax){int_y(ymin;ymax){int_z(0,dz) B.H dx dy dz}}
= 1/2 int_z(0,dz){ dz {int_Surface_entrefer{ B.H dx dy}}}
= 1/2 dz int_Surface_entrefer{ B.H dS}}

La force est égale à la dérivée de Wmag par rapport à z
donc F=dWmag/dz = 1/2 int_Surface_entrefer{ B.H dS}
(c'est pas très beau de simplifier des différentielles comme ça je sais , j'ai pas trouvé de moyen de faire plus propre)

Alors, si on remplace H = B/µ0, on obtient:
F = 1/2 int_Surface_entrefer{ B.B/µ0 dS}
= B² S/(2µ0)

On retombe sur la formule obtenue par les reluctances!!! Donc je pense que ma méthode, même si elle est un peu scabreuse, est correcte

En conclusion pour calculer la force de portance, je n'ai qu'à connaître les champs magnétiques et d'excitation (qui pour le Fer sont colinéaires), dans le plan de l'entrefer et appliquer la formule:
F = 1/2 int_Surface_entrefer{ B.B/µ0 dS}

Purée, je n'y serais jamais arrivé sans toi. Tu as vraiment d'excellents conseils! Un vrai guide spirituel lol

Pourrais-tu tout de même m'expliquer la différence entre les différentes énergies magnétiques, stp?

[fffred]

d'abord une petite différence dans ton calcul :

Wmag = 1/2 int_x(xmin;xmax){int_y(ymin;ymax){int_z(0,L) B.H dx dy dz}}
= 1/2 int_z(0,L){ dz {int_Surface_entrefer{ B.H dx dy}}}
= 1/2 L int_Surface_entrefer{ B.H dS}}
où L est la taille de l'entrefer.

puis je pense que F = ( Wmag(L) - Wmag(0) ) / L
mais ca reste à redémontrer.
Donc on obtient la même chose, mais ta méthode fait intervenir deux fois dz et ca me parait illégitime.

A propos de l'énergie magnétique :
c'est simplement B.H.dV pour moi, de la même façon que E.D.dV est l'énergie électrique. Je ne sais pas d'où tu sors le B.dH, même si c'est une densité d'énergie, je ne sais pas ce qu'elle représente, idem pour le H.dB. Mais je vais regarder ca bientot
je te tiens au courant...

[fffred]

Ok bon voila ce que j'ai compris :

B.H c'est l'énergie magnétique volumique : celle qui est contenue dans un volume unitaire. Càd que B.H.dV est l'énergie magnétique contenue dans dV. Ca c'est pas compliqué.

donc on peut noter W = B.H /2 = B^2 / 2µ = µ/2 * H^2
On en déduit alors que :
DW/DB dB = H dB
et
DW/DH dH = B dH

où les "D" sont des dérivées partielles.

Donc :
H dB est l'énergie volumique apportée lorsque B augmente de dB.
B dH est l'énergie volumique apportée lorsque H augmente de dH.

On comprend donc pourquoi cela s'appelle l'énergie magnétisante (énergie correspondant à telle augmentation du champ magnétique).

Ces deux énergies, lorsqu'on suppose que la fonction µ(H) est fixée, sont tout à fait équivalentes (il n'y a aucun degré de liberté supplémentaire).

En tous cas on a :
int(0->B) H.DB = int(0->B) DW/DB dB = W(B) - W( B=0) = W(B) = B^2 / 2µ

Bref ce que tu avais dit au tout début (que l'énergie magnétique est H.dB) est à revoir. La vraie expression de l'énergie volumique à utiliser est B.H /2.

[fffred]

Purée, je n'y serais jamais arrivé sans toi.

Merci mais j'en profite aussi : j'ai appris pas mal de choses au passage

[Rodrigue]

d'abord une petite différence dans ton calcul :

Wmag = 1/2 int_x(xmin;xmax){int_y(ymin;ymax){int_z(0,L) B.H dx dy dz}}
= 1/2 int_z(0,L){ dz {int_Surface_entrefer{ B.H dx dy}}}
= 1/2 L int_Surface_entrefer{ B.H dS}}
où L est la taille de l'entrefer.

puis je pense que F = ( Wmag(L) - Wmag(0) ) / L

Oui ça revient à la même chose:
Wmag(0) = 0
Wmag(L) = 1/2 L int_Surface_entrefer{ B.H dS}}
donc la force:
F = ( Wmag(L) - Wmag(0) ) / L = 1/2 int_Surface_entrefer{ B.H dS}}

Merci mais j'en profite aussi : j'ai appris pas mal de choses au passage

Tant mieux si tout le monde y trouve son compte ! Partageons la connaissance

Merci d'avoir clarifier la notion d'énergie. C'est beaucoup plus clair. Sur quel livre te bases-tu pour avoir tous ses renseignements?

[fffred]

euh là pour l'énergie magnétisante j'ai fait une recherche rapidos sur internet, mais c'était pas très clair. Sinon d'habitude je prends mes cours.

[Rodrigue]

euh là pour l'énergie magnétisante j'ai fait une recherche rapidos sur internet, mais c'était pas très clair. Sinon d'habitude je prends mes cours.

Tu fais des études dans quelle matière si ce n'est pas indiscret?

J'ai encore une question (et oui je ne m'arrête jamais!), à propos de la formule que nous avons trouvé:
F = 1/2 int_Surface_entrefer{ B.H dS}}
Il faut réaliser un produit scalaire entre d'une part le champ magnétique B et d'autre part le champ d'excitation H qui sont tout deux colinéaires si le matériau est isotrope: B=µ0 H.
Mais en ce qui concerne la surface, j'ai également l'impression qu'il faut faire produit scalaire... Qu'en penses-tu?

[fffred]

non non pour la surface ce n'est pas un produit scalaire : comment peut-tu faire un produit scalaire entre un scalaire (B.H) et un vecteur (dS) ? C'est simplement que la force dF créée par l'élément dS est colinéaire au vecteur dS.

Autre chose, je pense que ton expression est fausse. En effet ce serait plutot ce que j'avais dit la dernière fois :
F = ( Wmag(L) - Wmag(0) ) / L

En effet, sur quelle surface compte-tu faire ton intégration ? il y a en fait deux surface : une en z=0 et l'autre en z=L.
Je pense que cela devrait mieux convenir.

Autres problèmes : tu connais l'intégrale en z=0 mais pas celle en z=L car cette dernière se situe sur la barre à soulever, or tu ne sais rien sur cette barre. D'autre part il y a deux entrefers, donc une surface de plus à intégrer.

bref encore un peu de réflexion pour terminer cela !

tu me demandes mes études : je suis en M2 de physique des lasers et de leur interaction avec la matière.

[Rodrigue]

non non pour la surface ce n'est pas un produit scalaire : comment peut-tu faire un produit scalaire entre un scalaire (B.H) et un vecteur (dS) ? C'est simplement que la force dF créée par l'élément dS est colinéaire au vecteur dS.

Ok, c'est vrai ça me semble logique comme ça !

Autre chose, je pense que ton expression est fausse. En effet ce serait plutot ce que j'avais dit la dernière fois :
F = ( Wmag(L) - Wmag(0) ) / L

En effet, sur quelle surface compte-tu faire ton intégration ? il y a en fait deux surface : une en z=0 et l'autre en z=L.
Je pense que cela devrait mieux convenir.

Autres problèmes : tu connais l'intégrale en z=0 mais pas celle en z=L car cette dernière se situe sur la barre à soulever, or tu ne sais rien sur cette barre. D'autre part il y a deux entrefers, donc une surface de plus à intégrer.

Je considère à chaque fois que L tend vers 0 . Il n'y a pas vraiment de distance d'entrefer (cf. schéma). Les parties fixe et mobile de l'aimant se touchent.
De plus, je connais très bien les propriétés de la "barre à soulever": il s'agit de la partie mobile du schéma (cette barre fait partie de l'électroaimant). Sur cette partie est fixé un crochet auquel je peux accrocher ce que je souhaite: du beurre, des cacahuètes, du chocolotat, etc.

bref encore un peu de réflexion pour terminer cela !
tu me demandes mes études : je suis en M2 de physique des lasers et de leur interaction avec la matière.

Je me disais aussi que niveau mathématique/physique, tu suivais la route !

[Rodrigue]

En fait, ce qui me chiffonne c'est que la force de portance ne dépend pas de la géométrie de l'électroaimant!
Dans l'entrefer, B = µ0 H
donc, F = 1/2 int_S(B.H ds)
= µ0/2 int_S(H² ds)

Or pour calculer H, il suffit d'appliquer la loi de Biot-Savart. Le champ d'excitation ne dépend que de la forme de la bobine et du courant qui passe dedans. Il ne dépend pas de la géométrie de l'électroaimant ni même du matériau utilisé!!! Il y a donc une erreur quelque part...

[Rodrigue]

En terme de reluctance, le flux phi est égale à:
phi(x) = NI/R(x)
N:=nombre de spire
I:=intensité du courant qui passe à travers le bobine
R:=la reluctance totale du circuit magnétique

L'énergie magnétique est égale à:
Wmag = 1/2 R(x) phi²

En substituant phi:
Wmag = 1/2 N²I²/R(x)

La force portante est égale à (cf démo dans le 1er post):
F = dWmag/dx
= N²I²/2 dR(x/)dx 1/R(x)²
= 1/2 N²I²/R(x)² dR(x)/dx
= 1/2 phi² dR(x)/dx

La reluctance du circuit magnétique est composée d'un terme fixe, la reluctance de l'electroaimant Rf, et d'un terme variable, la reluctance de l'entrefer Re(x):
R(x) = Rf + Re(x)

En substituant la valeur de la reluctance dans l'expression de la force:
F = 1/2 {NI/R(x)}² dR(x)/dx
= 1/2 {NI/[Rf + Re(x)]}² dRe(x)/dx
= 1/2 phi(x)² dRe(x)/dx

On voit bien que la force dépend de la géométrie de l'électroaimant via le terme de reluctance qui détermine le flux (en diminuant la reluctance de µr fois le circuit magnétique de l'électroaimant permet d'augmenter le flux drastiquement):
Rf= 1/(µ0 µr) L_moyenne/Section_moyenne

qui prend en compte le coefficient de perméabilité du métal utilisé...

[fffred]

j'ai l'impression que tu t'es répondu tout seul
la géométrie intervient en fait dans le calcul de Wmag qui dépend de (x,y,z) et de la géométrie du système.
En négligeant les effets de bord, Wmag ne dépend que de x (ce que tu as fait).

[Rodrigue]

Oui mais je souhaiterais faire le parallèle avec la formule que nous avons trouvé parce que je n'ai pas envie d'approximer les reluctances ni les effets de bord!

Si je repars de la formule:
F = 1/2 int_S(B.H ds)
= µ0/2 int_S(H² ds)

en supposant que le champ d'excitation est constant sur toute la surface, ou en prenant la moyenne de ce champ d'excitation sur toute la surface, je retombe sur les formules bien connues:
F = µ0H²S/2
et comme H = µ0 B
F = B²S/2µ0 = phi²/2µ0S

en fait tout ce que j'ai à faire c'est de calculer le flux passant à travers les entrefers et supposer qu'il y a conservation du flux:
phi = intégrale_surface_entrefer{B.ds}

je calcule H par Biot-Savart et B=µ0 µr H

Ca m'embête un peu de devoir supposer qu'il y a conversation du flux, car en fait je n'en sais rien ...

[LuckyGuitar]

bonjour,
je suis ingénieur à la retraite et je ne comprend pas bien ceci
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Sachant que l'énergie magnétique est égale à:
Wmag = intégrale_volume[B . dH]
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pourriez vous m'indiquer un cours , un tuto YouTube ou c'est surement expliquer.

merci

jean-luc