Moment d'une force, bras de levier, d'où ça viens ?

L'étude des phénomènes naturels...

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lysandre
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Moment d'une force, bras de levier, d'où ça viens ?

Message par lysandre » 29/05/2016 - 17:08:58

Comment fonctionne vraiment un levier ?

Un jour, Archimède a dis « Donnez-moi un point d'appui, et un levier, je soulèverai le monde ». Cool, mais il n'a pas expliqué pourquoi.

Personne n'est choqué par ces situations très simples :

ImageImageImage

Mais vous êtes vous posé la question de pourquoi une telle sorcellerie ? Que ce passe t-il physiquement ? Que se passe t-il dans la matière ? On peut comprendre l'influence de la force, mais pour l'influence de la longueur c'est un peu plus fin.

Une approche mathématique ferait intervenir une quantité appelé moment d'une force, égale pour faire simple au produit du bras de levier (distance force/pivot) par la force (poids). Le moment crée par la personne à droite peut être différent de celui créé par la personne de gauche. Celui qui a le plus fort moment gagne et lève l'autre. En bon scientifique, nous allons écrire l'équation :

Équilibre de la balançoire équivalant à Mdroite * D droite = Mgauche * D gauche

Peut importe si vous ne comprenez pas l'équation ou si vous trouvez qu'elle manque complètement de rigueur, ce n'est pas l'objectif ici. Le message, c'est que ce n'est pas à cause de cette équation que la balançoire tient en équilibre. Cette formule est juste une astuce qui aide les humains à concevoir des trucs, rien de physique. Un couple, ou un moment, ne sont rien d'autre que des mots pour définir un truc qui n'existe pas en vrai.

Mais alors, qu'est ce qui existe en vrai ? (promis, j’arrête les italiques) Question philosophique très large. On ne peut pas intégralement expliquer l’univers, on est obligé de poser ce qu'on appelle des axiomes, c'est à dire des « c'est comme ça et pis c'est tout ». Le moins il y en a, le mieux on comprend le monde. Dans la suite vous aurez besoin d'admettre une seule chose : le principe fondamental de la dynamique d'une particule. Ce principe donne la définition d'une force : c'est un truc qui fait accélérer une particule (atomes si vous préférez). Et quand il y a deux forces qui s'opposent, ben la particule n’accélère pas. En ce qui nous concerne, nous nous intéresseront uniquement aux forces entre atomes dans un solide, c'est à dire la cohésion de la matière. Ça on ne le démontre pas.

Mais déjà on peut voir qu'une force ça existe, mais un moment non. En faits on va montrer que le soit disant théorème du moment d'une force se démontre avec uniquement des efforts, avec des explications physiques (Aurai-je mentis?) Donc à tout les amoureux des équations et des chiffres, oubliez moi ces horreurs ! On ne va parler que de trucs existants pour expliquer la base de la base que peu comprend vraiment.

Vous êtes prêt ? Et ben c'est partis !!

Explication physique :

Une balançoire ça peut ressembler à n'importe quoi tant qu'elle soit rigide, l'astuce du bras de levier fonctionnera toujours. Donc je choisie d'utiliser cette balançoire, elle est volontairement asymétrique pour bien montrer l'influence de la distance dans l'effet bras de levier.

Image

On comprend facilement qu'une personne puisse faire basculer la balançoire. En effet elle crée un effort sur une extrémité et puisque rien d'autre ne gêne alors l’extimité accélère vers le bas et le reste de la balançoire suit. Plus l'effort est grand plus ça va basculer fort, pour l'instant il n'a pas trop de secret. Mais si il y a deux personnes de chaque coté, alors on remarque expérimentalement que la distance entre l'effort et le pivot influe sur l'équilibre, et ça c'est beaucoup moins intuitif quand on y réfléchis bien. Comment la distance entre les personnes et le pivot influe t-elle sur l'équilibre de la balançoire ?

D'abord comprenons ce que veux signifie l'équilibre de la balançoire. Pour ça observons ce qui ce passe sur le sommet de la balançoire :

Image

On admettra facilement que la balançoire penche à droite si le sommet se met à accélérer vers la droite, et pareil pour la gauche. Utilisons alors notre seule carte en main : l'axiome de la dynamique d'une particule. Le sommet accélère à droite si il reçoit plus d'efforts à droite qu'à gauche. On a donc notre condition sur le basculement ou non de la balançoire, il suffit de voir l'ensemble des efforts horizontaux sur le sommet.

Quand une personne se pose sur une extimité de la balançoire, elle tire la barre supérieure et comprime la barre inférieure. Seule la barre supérieure est capable de créer une composante d'effort verticale. Plus elle est à l'horizontale, plus elle doit tirer fort pour maintenir l’extimité à l'équilibre. On peut le voir graphiquement avec une vue d'esprit que sont les vecteurs :

ImageImage

Donc déjà ça veux dire que plus on s'éloigne du pivot de la balançoire, plus on tire fort sur la barres du dessus. On commence à sentir le truc. Mais c'est pas tout, il faut aussi prendre en compte ce qui se passe sur le sommet de notre balançoire, le point où on peut voir l'équilibre de la balançoire.

Et là c'est simple, plus on est éloigné du pivot, plus la barre supérieure est proche de l'horizontale, et plus on tire horizontalement sur le sommet de la balançoire. En vecteur ça donne :

Image

Donc plus on est éloigné de la balançoire, plus on tire efficacement le sommet vers soi. Et si on ajoute le premier phénomène qui va dans le même sens, alors on retrouve d’où viens l'astuce du levier !

Si on reprend la balançoire et qu'on pose deux personnes de même masse, on obtient cette configuration d'efforts :

Image

Comme prévu, la balançoire bascule vers la droite, tout ça grâce à une répartition d'effort dans la balançoire.

Que se passe t-il quand la balançoire est une simple poutre ? Pour ça il faut regarder à l'échelle atomique, et on peu trouver une configuration semblable avec une barre d'atome qui travail uniquement en traction et l'autre uniquement en compression. Juste pour se donner une image visuelle :

Image

Et le phénomène est le même.

Vous avez compris ? Cool ! Si vous voulez on va approfondir un peu plus. En effet ce qui précède n'est en aucun cas une démonstration rigoureuse du phénomène, c'est juste une explication physique pour sentir ce qui se passe quand on créer un bras de levier.

Explication mathématique :

Maintenant on va démontrer la formule citée plus haut, à savoir que la balançoire est en équilibre si les forces multipliées par leur bras de levier sont égales.

Soit cette balançoire, presque la même que la précédente :

Image

La démonstration mathématique qui va suivre est très simple, mais il faut prendre du temps sur les hypothèses.

- Hypothèse 1 : Tout solide rigide sollicité de la sorte peut être ramené à ce modèle. C'est difficile à démontrer, considérer des lignes d'atomes ne travaillant qu'en compression/traction dans la matière peut être délicat à faire correctement. Plus simplement on peut se dire qu'à partir du moment où le levier est rigide il réagit de la même façon que ce modèle car lui aussi rigide.

- Hypothèse 2 : Il s'agit ici d'une structure de poutres dont des liaisons ne transmettent uniquement des efforts (d'où les liaisons pivots). En effet on ne peut pas démontrer le théorème du moment en prenant en compte les moments entres poutres !

- hypothèse 3 : la balançoire est à équilibre, aucune accélération n'est présente donc tout les efforts se compensent.

- Hypothèse 4 : Les poutres travaillent en compression/traction uniquement. En effet puisque la balançoire est à l'équilibre, alors chaque poutre la constituant l'est aussi, donc les efforts aux extrémités se compensent, mais sont aussi colinéaires. En temps normal il faudrait utiliser le théorème du moment pour le montrer, on peut essayer de le monter autrement :

ImageImage accélération des extrémités

Autrement, une fois tout cela dit le reste est une simple projection d’efforts, un jeu d'enfant !

1. On isole l’extimité, soumis à trois efforts dont on connais les directions et une norme, on en déduis l'effort de l'extrémité sur la poutre supérieure.

Image

2. Maintenant on isole le sommet, soumis à trois efforts dont deux connus (opposé de ceux calculés précédemment) et l'autre direction connue. On ne s'intéresse qu'aux projections horizontales.

Image

3. L'équilibre de la balançoire impose
F1'' = F2''
soit F1'.cos(?1) = F2'.cos(?2)
soit F1.cos(?1)/sin(?1) = F2.cos(?2)/sin(?2)
soit F1/tan(?1) = F2/tan(?2)
soit F1* a / h = F2 *b / h

soit F1 * a = F2 * b

CQFD, nous avons démontré le théorème du moment d'une force !

Conclusion :

J’espère avoir bien expliqué à travers cet article ce phénomène ultra-basique. Le moment d'une force est souvent considéré comme admis, comme axiome en fait. Mais en réalité il provient seulement d'une répartition d’effort au seins de la matière, rien de sorcier. Maintenant vous pouvez expliquer ce phénomène à une personne selon son age :
- trop jeune : « un jour tu comprendras... »
- un peu jeune : « c'est à cause de ce qui se passe dans la matière, un jour tu comprendras…»
- jeune : « plus tu t'assoies loin sur la balançoire, plus tu tires horizontalement sur la surface supérieure de la balançoire, mais t’inquiètes un jour tu comprendras... »
- pas assez jeune : « lis cet article, j'ai la flemme d 'expliquer...»

Voilà, mais je sais d'avance que parmi mes lecteurs ils existent des scientifiques pointilleux qui ont commencé à lire cet article avec scepticisme, et qui ont fini de le lire en étant encore plus sceptique. Oui, certaines choses manquent de rigueur. Notamment les hypothèses 1 et 4 méritent d'être plus approfondies. Ça doit pouvoir se faire correctement, mais ce n'est pas l'objectif de cet article. A vrai dire le véritable objectif de la démo est de montrer l'influence de la longueur du bras de levier dans le moment d'une force : pourquoi une dépendance parfaitement linéaire ? Pourquoi pas d'autre paramètres influant ? (du genre h) Et en cela la démonstration ne manque pas de rigueur à mon humble avis.

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Re: Moment d'une force, bras de levier, d'où ça viens ?

Message par Victor » 29/05/2016 - 17:38:05

Un bel effort d'explication de la physique de base
mais je ne comprends toujours pas pourquoi ce post
dans un site où la physique et les sciences dures, sont une culture commune
En ce qui concerne la recherche en sciences, Je dirais : Cherche encore !

lysandre
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Re: Moment d'une force, bras de levier, d'où ça viens ?

Message par lysandre » 29/05/2016 - 18:05:05

Parce que Futura Science n'accepte pas ce genre de texte... :pfff:

Et d'ailleurs je n'ai pas trouvé de tel démo sur le net, j'ai l'impression que le moment d'une force a été posé en tant qu'axiome. Donc si je pense que mon texte a de l’intérêt dans ce forum car j'essaye de montrer que ça n'est pas nécessaire. :)

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Re: Moment d'une force, bras de levier, d'où ça viens ?

Message par cisou9 » 30/05/2016 - 11:37:47

Cette balançoire est le principe même de la balance romaine.
_
Image Wiki : _ Image
Dommage que la photo est mal prise.
Elle devrait être suspendue par l'anneau du haut.
Trouvé sur Google : Image
Un homme est heureux tant qu'il décide de l'être et nul ne peux l'en empêcher.
Alexandre Soljenitsyne.

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Re: Moment d'une force, bras de levier, d'où ça viens ?

Message par bongo1981 » 30/05/2016 - 13:43:37

lysandre a écrit :Parce que Futura Science n'accepte pas ce genre de texte... :pfff:

Et d'ailleurs je n'ai pas trouvé de tel démo sur le net, j'ai l'impression que le moment d'une force a été posé en tant qu'axiome. Donc si je pense que mon texte a de l’intérêt dans ce forum car j'essaye de montrer que ça n'est pas nécessaire. :)
Sans vouloir te vexer, je t'ai déjà répondu sur futura sciences.
Ca découle du principe fondamental de la dynamique. (ou plus exactement on suppose qu'un mouvement radial n'est pas possible, d'où la possibilité d'écrire le PFD différemment en faisant un simple produit vectoriel sur la coordonnée r).

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