fonction sinus

[pilot's wings]

Question plutot difficile:

prouver que sin(x) inférieur ou égal a x lorsque x supérieur ou égale a 0
prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0

[Michel]

Applique le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [0, x]

[pilot's wings]

le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [0, x], je ne connais pas du tout

[cyrille]

Si je me souviens bien tu fait la derivée de sinx-x et tu cherche les valeurs extremes. Je crois que c est comme ca qu on fait

[pilot's wings]

J'ai pensé a faire ça, mais est ce suffisant pour demonntrer cela ?
Sacahnt que si on prend un valeur très petite 0.00001, f(0.00001) environ égale a 0.00000999987, donc comment prouver ça ?

[cyrille]

Ca n ' a pas besoin d'etre prouvé par des valeurs num.

Il faut les valeurs en 0 et 1 (ou -1)

Tu regarde suivant le signe de la deriv si ca croit ou pas et en tenant compte des valeurs en 1 et 0 tu en deduit si sinx<x ou pas

[Michel]

le th. des accr. finis dit que comme sin est continue et dérivable sur 0,x alors il existe D tel que:

sin (x) - sin (0) = (x - 0) . sin' (D.x) avec 0 < D < 1

c'est à dire

sin (x) = x . cos (D.x)

Comme 0 < D < 1 , alors | cos(D.x) | < 1

et donc

| sin(x) | < | x|

ce qui est ce que tu voulais démontrer.

[Michel]

Sinon, sans ce théoreme, il faut étudier le signe de
f(x) = x - sin(x) en établissant le tableau de variation de f entre par exemple -PI/2 et +PI/2. Là où f(x) sera positive, x sera au dessus de sin(x) et vice-versa.

[fffred]

plus intuitivement,
la dérivée de sin x est cos x.
Or cos x < 1
Donc sin x croît moins vite que x.
Et comme ces deux fonctions partent du point 0, alors sin x reste forcément en dessous de x.

C'est la même chose que le th des accroissements finis.

[Illuminatus]

J'ai eut la premiere question dans mon controlesur les derivees. Voilala methode:

Soit f(x) def par f(x)=x-sin x. f est derivable sur R et f'(x)=1-cos x.
De plus cos x est compris entre -1 et 1 . -cos x aussi entre -1 et 1 donc 1-cos x est positif ou nul donc f'(x) est positif ou nul donc f est croissante sur [0;+infini]. De plus f(0)=0-sin 0=0 donc f(x)est croissante pour x appartient a [0:+infini] donc x-sin x positif ou nul donc :
x sup ou egal a sin x (pou r tt x positif ou nul)

Bon, ce parait car je ne peut pas mettre trop de symboles.
Pour prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0" ca doit etre pareil...
Ok a vous mnt

[sensor]

je pense que les développements limités te seraient utiles dans ce cas mais je peux me tromper.

[DerYcK]

f(x) = x - sin x
f est dérivable sur R car elle est composée de fonctions dérivables
f'(x) = 1 - cos x

or :
-1< cos x < 1
-1 < -cos x < 1
1 - cos x = f(x) > 0 donc la fonction est croissante sur ]-inf ; +inf[

f(x) = 0
x - sin x = 0
x = sin x
x=0 (et par conséquent aussi f(0) = 0)

comme f(x) est croissante sur ]-inf ; +inf[ et nulle ssi x=0 si x<0 on a f(x) < 0 donc sin > x

[DerYcK]

C'est juste ou pas ?

[bongo1981]

Il faut raisonner sur x>0
Ensuite utiliser la parite de la fonction pour x<0

(desole je suis aux USA, donc pas d'accent)

[DerYcK]

donc c'est faux ce que j'ai fait?

[fffred]

non c'est juste.
Mais c'est presque trop compliqué.

La méthode des accroissements finis, comme proposait michel, revient exactement à la même chose, mais en plus simple.

[DerYcK]

Ok mais bon je la connais pas cette méthode XD

[Ze Venerable]

tu l'as sans doute remarqué mais ton inégalité stricte sur le cos est pas top rigoureuse

[DerYcK]

A cause des "supérieur ou egal" ou "strictement supérieur" ? Oui je sais que c'est pas tiptop mais c'est chiant a bien ecrire avec le pc :/