Gravité et Durée

[gzav]

Salut,

Malgré le titre ronflant pour attirer du monde, c'est une question toute bête que je me pose :

Supposons dans un référentiel isolé 2 pièces de monnaie de 5g chacune espacées de 10 cm. Combien de temps avant qu'elles ne se touchent par la gravité ?

C'est juste pour avoir un ordre de grandeur, faites toutes les approximations que vous voulez. Merci.

[Oswald_le_fort]

ton acceleration dependante du temps est donnee par :
a(t) = G m / r(t)^2
Il faut integrer 2 fois suivant t... Une fois que tu as r en fonction de tout les parametres dont t, tu peux renverser l'equation et avoir t en fonction de r. Il sufffit de regarder a quel moment r =0. Pour le calcul est tant que tel, je suis malade en ce moment, donc je passe mon tour.

[fffred]

je trouve quelques heures, mais je ne suis pas certain ...

[lambda0]

Sauf erreur de ma part : t = (Pi/8)*Racine(d^3/(GM))
soit environ 6h
(sans se compliquer la vie avec des intégrales)

[bongo1981]

joli calcul lambda0, je pensais pas qu'il y avait une solution analytique

J'étais prêt à sortir la hache, utiliser la masse réduite, et résoudre des équa diff (ch'uis un bourrin )

[lambda0]

J'ai simplement récupéré la loi de Kepler pour une étoile double (valable aussi bien si on fait tendre un des axes de l'ellipse vers 0, en mécanique du point). Le temps recherché ici est le quart de cette période.

La question était bien à sa place en section Astrophysique

[bongo1981]

Finalement j'ai fait le bourrin, et j'obtiens une douzaine d'heures
(en appliquant la masse réduite, sans triturer les équations de Newton, parce que je crois qu'il n'y a pas de solution analytique, et faisant tout ça sur une feuille excel, avec un pas d'échantillonnage de 1h )

[lambda0]

Finalement j'ai fait le bourrin, et j'obtiens une douzaine d'heures
(en appliquant la masse réduite, sans triturer les équations de Newton, parce que je crois qu'il n'y a pas de solution analytique, et faisant tout ça sur une feuille excel, avec un pas d'échantillonnage de 1h )

Possible que je me sois planté d'un facteur 2, j'ai griffoné ça en 5 min.
Par contre, tu devrais trouver une solution analytique de la forme donnée plus haut, puisque ça revient à redémontrer la loi de Kepler généralisée (masses non négligeables l'une par rapport à l'autre) et à considérer qu'on fait tendre un des axes de l'ellipse vers zéro, si mon raisonnement est correct.
Le mouvement est périodique (si les pièces pouvaient se croiser évidemment), et le temps recherché le quart de la période donnée par la 3ème loi de Kepler.

A+

[Oswald_le_fort]

Tu as raison, mais pour ca tu as besoin que tes deux pieces soient en rotations l'une autour de l'autre... Ici, les conditions initiales sont que les deux pieces sont au repos. Donc le mouvement qui en decoule est un segment de droite passant par les centres des deux pieces. Kepler n'est pas la bonne approche selon moi...

[lambda0]

Tu as raison, mais pour ca tu as besoin que tes deux pieces soient en rotations l'une autour de l'autre... Ici, les conditions initiales sont que les deux pieces sont au repos. Donc le mouvement qui en decoule est un segment de droite passant par les centres des deux pieces. Kepler n'est pas la bonne approche selon moi...

Si on veut absolument écrire un système d'équations, on a bien le système d'équations pour deux corps ponctuels en interaction gravitationnelle, et les trajectoires solutions sont des coniques, quelles que soient les conditions initiales.
Un segment de droite est une conique dégénérée.
Les vitesses initiales étant nulles, l'énergie du système est négative et cette conique est une ellipse (dont un axe est nul), ce qui correspond à un mouvement périodique, pour lequel on peut appliquer une loi de Kepler, la distance initiale correspondant au grand axe de l'ellipse.
Pour le passage à la limite quand le petit axe tend vers 0, je suppose seulement un prolongement par continuité pour pouvoir utiliser directement cette formule (le moment cinétique étant nul, je n'aurais normalement pas le droit...).

A+

[Oswald_le_fort]

Seul soucis pour moi, c'est que l'aire est nulle... Ca m'ennuie un peu de faire ce prolongement... Mais bon, ca doit marcher quand meme... Ok... Bien vu.

[gzav]

Je ne savais pas qu'il n'y avait pas de solution exacte (j'ai jamais aimé l'analyse :-)
En tout cas une dizaine d'heures c'est super rapide par rapport à ce que j'imaginais. Merci d'avoir sucé le crayon pour cette question