Projection vecteurs 3D sur un axe

[gzav]

Bonjour,

Je me pose une question que je pense etre de niveau terminale maths, mais je coince et cela m'a empeche de dormir hier.

Considerant un ensemble de vecteurs uniformement repartis dans toutes les directions et de normes identiques (prenons 1), quelle est la proportion de leur norme qui est projetee sur un axe ?

Deja c'est pas facile d'exprimer mon probleme

Je sens bien que cela pourrait se resoudre avec des integrales mais j'ai meme pas de calculatrice a disposition. Il s'agirait plutot d'une "moyenne" d'integrale, puisque je rapporte la norme a 1.

Prenons en 2D, axes X,Y et angle(vecteur/X) = alpha
La projection d'un vecteur de norme 1 sur X est cosinus(alpha)

Vu que je ne m'en sortais pas avec les integrales, j'ai fait rapidos la moyenne des cosinus entre 0 et 90 degres, j'ai pas trouve de convergence mais ca m'a l'air de tourner autour 65%. C'est juste pour avoir une idee et expliquer ma demarche :
Considerant un ensemble de vecteurs repartis uniformement (ou aleatoire avec un grand nombre) en 2D, je mesure 2/3 de leur norme sur un axe quelconque.

Mais quand je passe en 3D c'est beaucoup plus complique pour moi. Car mon angle(vecteur/Z) = beta ne varie pas de la meme facon suivant la valeur de alpha. Et je veux que mes vecteurs soient repartis uniformement en direction, un peu comme des points equidistants a la surface d'une sphere, dont le centre serait l'origine des vecteurs.
Lorsque alpha = 90, je fais varier beta de 0 a 360, mais lorsque alpha = 0, beta ne varie pas car je n'ai qu'un seul vecteur aligne avec X.

Bref je sais c pas tres clair surtout sans dessin, mais je suis un peu demuni dans les cybercafes du bout de monde. C'est peut-etre un truc archi-classique en astro, je sais pas.

Si quelqu'un pouvait m'aider, merci !

[bongo1981]

Bonjour,

Je me pose une question que je pense etre de niveau terminale maths, mais je coince et cela m'a empeche de dormir hier.

Considerant un ensemble de vecteurs uniformement repartis dans toutes les directions et de normes identiques (prenons 1), quelle est la proportion de leur norme qui est projetee sur un axe ?

J'ai pas trop compris cette phrase.

Deja c'est pas facile d'exprimer mon probleme

Je sens bien que cela pourrait se resoudre avec des integrales mais j'ai meme pas de calculatrice a disposition. Il s'agirait plutot d'une "moyenne" d'integrale, puisque je rapporte la norme a 1.

Prenons en 2D, axes X,Y et angle(vecteur/X) = alpha
La projection d'un vecteur de norme 1 sur X est cosinus(alpha)

voui, mais c'est pour un vecteur particulier. Je n'ai pas trop compris l'ensemble des vecteurs ...

Vu que je ne m'en sortais pas avec les integrales, j'ai fait rapidos la moyenne des cosinus entre 0 et 90 degres, j'ai pas trouve de convergence mais ca m'a l'air de tourner autour 65%. C'est juste pour avoir une idee et expliquer ma demarche :

Tu voulais calculer quoi ?

Considerant un ensemble de vecteurs repartis uniformement (ou aleatoire avec un grand nombre) en 2D, je mesure 2/3 de leur norme sur un axe quelconque.

je n'ai pas non plus compris cette phrase.

Mais quand je passe en 3D c'est beaucoup plus complique pour moi. Car mon angle(vecteur/Z) = beta ne varie pas de la meme facon suivant la valeur de alpha.

Tu parles de variation par rapport à quoi ? Pour un vecteur 3D, de norme 1, il te faut deux paramètres : theta et phi.

Et je veux que mes vecteurs soient repartis uniformement en direction, un peu comme des points equidistants a la surface d'une sphere, dont le centre serait l'origine des vecteurs.
Lorsque alpha = 90, je fais varier beta de 0 a 360, mais lorsque alpha = 0, beta ne varie pas car je n'ai qu'un seul vecteur aligne avec X.

bah non beta peut toujours décrire les valeurs entre 0 et 360

Bref je sais c pas tres clair surtout sans dessin, mais je suis un peu demuni dans les cybercafes du bout de monde. C'est peut-etre un truc archi-classique en astro, je sais pas.

Si quelqu'un pouvait m'aider, merci !

Ben pas trop clair non, mais je pense que la solution se trouve dans le système de coordonnée sphérique :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/phys ... iques.html

[gzav]

Hum, j'affiche pas la page dans ce cyber je vais voir ca ailleurs.

J'ai trouve une image un peu plus parlante.

Imagine que je ne puisse mesurer l'effet doppler et que je veuille determiner la vitesse moyenne des galaxies ou de quelconques objets celestes. Oublions egalement la relativite restreinte, on reste en meca classique.

Je mesure leur vitesse apparente, inferieure a leur vitesse reelle, au mieux egale. La on a un vecteur vitesse en 3D projete en 2D.
On ne connait pas l'angle de deplacement de ces galaxies par rapport a notre plan d'observation, donc le coefficient que j'applique est statistique, avec un grand nombre d'observations, et je definis une vitesse moyenne.
En fait l'integrale ce serait plutot cos(t).(dt)^2

Mais je ne pense pas pouvoir appliquer ce raisonnement avec une integrale double en projettant un vecteur 3D sur 1D.
Car je veux une repartition homogene en <i>direction</i> dans l'espace.

[bongo1981]

J'ai trouve une image un peu plus parlante.

Imagine que je ne puisse mesurer l'effet doppler et que je veuille determiner la vitesse moyenne des galaxies ou de quelconques objets celestes. Oublions egalement la relativite restreinte, on reste en meca classique.

Ok.
En 3D, tu dois prendre 3 coordonnées :
- r distance radiale
- theta angle par rapport à Oz
- phi, angle du vecteur projeté sur le plan Oxy par rapport à l'axe Ox

Et donc, pour la vitesse c'est pareil :
- dr/dt
- d theta/dt
- d phi / dt

Si tu ne peux mesurer l'effet doppler, tu ne peux mesurer dr/dt.
Tu ne peux mesurer que les deux autres.

Est-ce que tu me suis jusque là ?

Je mesure leur vitesse apparente, inferieure a leur vitesse reelle, au mieux egale.

Ch'uis pas trop d'accord, tu mesures une vitesse projetée sur la voûte céleste, mais tu ne mesures pas de vitesse à proprement parlé.

La on a un vecteur vitesse en 3D projette en 2D.
On ne connait pas l'angle de deplacement de ces galaxies par rapport a notre plan d'observation, donc le coefficient que j'applique est statistique, avec un grand nombre d'observations, et je definis une vitesse moyenne.
En fait l'integrale ce serait plutot cos(t).(dt)^2

Je ne suis pas sûr de te suivre là.

Mais je ne pense pas pouvoir appliquer ce raisonnement avec une integrale double en projettant un vecteur 3D sur 1D.

[gzav]

Merci, je peux maintenant mieux formuler ma question :

Je cherche la moyenne des projections de vecteurs 3D sur un axe donne, en valeur absolue. Prenons tes coordonnees spheriques, r=1 et Z l'axe sur lequel je projette les vecteurs (J'ecris pi = TT).

Commencons en 2D sur le plan (OXZ).
La projection sur Z c'est cos(theta). En fait je prends abs(cos(theta))
J'integre de 0 a TT/2 pour simplifier, ca fait 1, la moyenne c'est 2/TT.

Moyenne = 1 / (TT/2 - 0) * INT(0 a TT/2) cos(theta).d(theta) = 2/TT

Mon soucis c'est quand je pase en 3D.

Je fais la moyenne avec une double integrale sur theta et phi de 0 a TT/2 (mais la je me dechire peut-etre dans la formule) :

Moyenne = (1/(TT/2-0))^2 * INT(0 a TT/2) . INT(0 a TT/2) cos(theta).d(theta).d(phi) = 2/TT !!!

Intuitivement ma moyenne doit baisser, j'attendais plutot un truc du genre (2/TT)^2.

Car je souhaite une moyenne pour une repartition des directions uniforme, un d(angle solide) constant.

Lorsque j'integre une deuxieme fois sur phi, la valeur de theta est importante.
Lorsque theta = TT/2, je fais un quart de cadran lorsque phi varie de 0 a TT/2.
Lorsque theta = 0, je ne veux considerer qu'une seule fois ce vecteur. L'integrale sur-estime les valeurs de cos(theta) elevees.
Pour mieux comprendre si j'assimile l'integrale a une somme, lorsque theta -> 0 je ne peux pas prendre le meme d(phi) que lorsque theta=TT/2, car mes vecteurs sont beaucoup plus resserres.

A moins que je ne me sois simplement plante dans la formule.

[Oswald_le_fort]

Salut,
Ben deja, je ne sais pas si c'est une faute de frappe, mais ton integrale sur theta et phi n'as pas de dependance en phi, du coup, c'est comme si tu n'integrais pas sur phi...

[bongo1981]

Un vecteur dans l'espace s'écrit en coordonnées sphériques :


Sur le cercle unité l'on a r=1.
La projection sur l'axe Oz donne effectivement un cosinus.

La moyenne est alors donnée par l'équation suivante :


Le calcul est juste (à moins que je me sois planté).
Quelle est ta question ?

Si c'est pour savoir pourquoi tu obtiens la même valeur, l'on peut voir ça de la manière suivante :
- l'intégration sur un cercle donne 2/pi, sur les autres cercles tu obtiens la même chose, donc moyennant une valeur constante tu obtiens forcément la même chose.

Oswald> je ne vois pas où est le problème de la dépendance.

[gzav]

Ben oui c'est ca le probleme, la projection d'un vecteur sur Oz c'est cos(theta) et ca ne depend pas de phi. Du coup sur d(phi) j'integre une constante et je retrouve 2/TT en moyenne.

C'est comme pour un quartier de mandarine, mes vecteurs se "resserrent" pour un meme d(phi) lorsque theta -> 0

Le truc c'est que je veux une repartition uniforme des directions dans l'espace. Il ne faut peut-etre pas que j'integre en coordonnees spheriques.
Il faudrait que j'integre en d(omega) et pas d(theta).d(phi), mais la...

Je vais utiliser une autre image :

C'est comme si en astronomie, je voulais faire une cartographie du ciel avec un angle solide constant, ou bien des elements de surface constant (projetes sur la sphere celeste), sans que ceux-ci se recouvrent. Imagine que mon detecteur ait un angle d'observation 1'' * 1''
Imagine que je fasse varier l'ascension droite et la declinaison par increments fixes de 2'', mes zones seront bien tangeantes sur l'equateur celeste, mais des que ma declinaison augmente, si je fais varier l'ascension droite de 2'' mes zones vont se recouvrir.

C'est pour ca que je pense que c'est peut-etre un classique en astro.

[bongo1981]

Ben oui c'est ca le probleme, la projection d'un vecteur sur Oz c'est cos(theta) et ca ne depend pas de phi. Du coup sur d(phi) j'integre une constante et je retrouve 2/TT en moyenne.

Ch'uis pas d'accord ici, tu intègres une constante 1 sur un intervalle, la valeur moyenne est bien 1.

C'est comme pour un quartier de mandarine, mes vecteurs se "resserrent" pour un meme d(phi) lorsque theta -> 0

tout dépend quels vecteurs tu considères.

Le truc c'est que je veux une repartition uniforme des directions dans l'espace. Il ne faut peut-etre pas que j'integre en coordonnees spheriques.

Ou bien il faut intégrer sur un intervalle plus large ?

Il faudrait que j'integre en d(omega) et pas d(theta).d(phi), mais la...

C'est sûrement un classique en astronomie... mais je ne visualise pas vraiment ton problème (et je ne sais pas ce que sont les défférents).

L'angle solide est donné par :

Je vais utiliser une autre image :

C'est comme si en astronomie, je voulais faire une cartographie du ciel avec un angle solide constant, ou bien des elements de surface constant (projetes sur la sphere celeste), sans que ceux-ci se recouvrent. Imagine que mon detecteur ait un angle d'observation 1'' * 1''
Imagine que je fasse varier l'ascension droite et la declinaison par increments fixes de 2'', mes zones seront bien tangeantes sur l'equateur celeste, mais des que ma declinaison augmente, si je fais varier l'ascension droite de 2'' mes zones vont se recouvrir.

C'est pour ca que je pense que c'est peut-etre un classique en astro.

Tu cherches à trouver une trajectoire pour theta et phi afin d'observer le ciel entièrement ?

Si c'est ça, ça revient à paver un espace courbe, avec un carré euclidien ? (donc c'est plutôt un problème de géométrie différentielle ?)

[gzav]

Oui, y'a de l'idee, mais on n'a pas besoin d'aller jusque la je pense. Je veux une "densite de vecteurs" constante, ce qui me fait penser a la lumiere.

J'ai trouve une image pour te faire comprendre ma problematique (pas facile sans image) et qui va, je suis sur, nous faire franchir le rubicon.

Je suis toujours dans le referentiel spherique que tu as decris plus haut (Oxyz, r, theta, phi)

Je mets a l'origine du repere une source ponctuelle de neutrons qui emet dans toutes les directions.

Je place une demi-sphere solide (un bol d'epaisseur negligeable), dont le centre est egalement a l'origine (une sphere creuse centree sur O et coupee dans le plan Oxy). J'ai une symetrie axiale par rapport a Oz.

Tous les points (ou elements de surface) de la demi-sphere sont equidistants de la source. Les neutrons transmettent tous la meme impulsion a la surface, la "pression" de neutron est constante sur toute la demi-sphere.

On peut decomposer chaque vecteur impulsion en 2 composantes P = Pz + Pxy. Vu que j'ai une symetrie de revolution la somme des composantes de P dans le plan Oxy s'annulent.

Ma question est :

Quelle l'impulsion totale resultante par a rapport a l'impulsion totale transmise a ma demi-sphere ?

Normalement le resultat est sans dimension. On a vu qu'en 2D ca donne 2/TT.
Je suis tente de faire le rapport des surfaces (un genre de "section efficace") mais je ne sais pas si le raisonnement est juste : ca donne 2/TT en 2D et 1/2 en 3D.

[bongo1981]

Ok,
Tu es bien d'accord qu'en raisonnant sur un élément de surface l'on obtient une force de ce genre :


Comme tu l'as dit vues les symétries, il suffit de projeter sur l'axe des Oz donnant :


Soit :


L'intégrale sur phi est triviale. Je détaille l'intégration sur theta :


Obtenant alors :

[gzav]

Ta derniere egalite a un peu seme le trouble en moi.

Mais je crois que ca y est, nous y sommes, merci pour ton aide :

Je pars de tes 2 definitions de dS et dSz.

J'integre comme une brute dS ce qui me donne F = 2 TT P r^2

Apres tout c'est normal, la force totale qui s'exerce sur la demi-sphere c'est F=P*S.

Puis j'integre dSz (ta derniere equation) et je trouve Fz = TT P r^2

J'en deduis que Fz/F = 1/2

La moitie de l'impulsion totale transmise a la sphere s'annule.

Tu es d'accord avec cette affirmation ?

[bongo1981]

Autant pour moi j'ai fait une grosse erreur d'intégrale, maintenant je retrouve un résultat plus juste (un facteur 2 en trop).

[gzav]

Ben mince alors moi qui me suis pris la tete avec u'v+uv'=(uv)' et des cos2+sin2=1 (et oui la R&D dans le prive c'est la regle de 3)
Enfin bref l'essentiel est qu'on trouve la meme chose !

Merci BEAUCOUP

Soit un ensemble de vecteurs normes V repartis uniformement dans les 3 directions de l'espace, que je projette sur un axe quelconque Z.
La somme des normes Vz = V/2

Enfin, je vais pouvoir lacher les cybercafes et me faire des ptites visites archeologiques

[bongo1981]

je trouve plutôt un rapport de 1...

[gzav]

Ben....

L'axe Z est quelconque mais fixe.

Vz = V . cos(theta)

Pour moi le probleme de la source ponctuelle et la demi sphere est equivalent a une repartition uniforme dans l'espace de vecteurs projetes sur un axe.

[bongo1981]

et donc ?

[gzav]

Je reformule suite a la remarque de Ze Venerable.

Soit un ensemble infini de vecteurs V repartis uniformement dans les 3 directions de l'espace, que je projette sur un axe quelconque Z fixe.
La moyenne des normes des vecteurs Vz = V/2

Ben rien, c'est tout, c'est que je voulais savoir. C'est la reponse a ma question, merci de t'etre accroche. Pourquoi tu me dis que tu trouves un rapport de 1 ?

[bongo1981]

Je reformule suite a la remarque de Ze Venerable.

Soit un ensemble infini de vecteurs V repartis uniformement dans les 3 directions de l'espace, que je projette sur un axe quelconque Z fixe.

Tu t'intéresses à des vecteurs de norme 1 ou pas ?

La moyenne des normes des vecteurs Vz = V/2

Tu veux parler d'espérance ? Si c'est le cas, tes vecteurs de norme 1 ont autant de chance de pointer vers le haut que vers le bas, et donc la valeur moyenne de Vz doit être nulle.

Ben rien, c'est tout, c'est que je voulais savoir. C'est la reponse a ma question, merci de t'etre accroche. Pourquoi tu me dis que tu trouves un rapport de 1 ?

J'ai calculé la contribution de tous les vecteurs normaux à une surface hémisphérique, et j'ai trouvé que leur contribution était équivalente à la contribution de vecteurs à travers la surface d'appui (le disque qui appuie la surface hémisphérique).

[gzav]

Oups j'ai oublie un detail important je considere les valeurs absolues des normes, sinon il n'y aurait pas de probleme

Tu t'intéresses à des vecteurs de norme 1 ou pas ?

Oui disons norme 1. Si j'ai une infinite de vecteurs de differentes normes, il me semble que le raisonnement reste valable.

Tu veux parler d'espérance ?

Oui on peut parler d'esperance de Vz je pense, pour autant que je comprenne ce mot.

J'ai calculé la contribution de tous les vecteurs normaux à une surface hémisphérique, et j'ai trouvé que leur contribution était équivalente à la contribution de vecteurs à travers la surface d'appui.

Je suis tente de faire le rapport des surfaces (un genre de "section efficace") mais je ne sais pas si le raisonnement est juste : ca donne 2/TT en 2D et 1/2 en 3D.

Je suis d'accord avec toi.

[bongo1981]

Si tu calcules la valeur absolue tu obtiens :

[yaaa]

Est-ce que c'est reelement du niveau terminale S tout sa?

[gzav]

Quel suspens !

Tes images de artofproblemsolving.com ne s'affichent plus, ca vient de chez moi ?

[bongo1981]

Ben... j'avais la flemme de les importer et de les mettre sur un hébergeur, dépasser un délai elles s'effacent automatiquement.

[gzav]

Ah oki

Mais celle que tu as mise hier elle est meme pas reste 1/2 heure