Anneau de Dedekind - Définition
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Introduction
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En mathématiques, un anneau de Dedekind est un anneau disposant de propriétés particulières. Sa formalisation initiale a pour objectif la description d'un ensemble d'entiers algébriques, ce concept est aussi utilisé en géométrie algébrique.
Un anneau de Dedekind doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre des équations comme celle du dernier théorème de Fermat, l'anneau des entiers relatifs s'avère mal commode. Il est parfois plus simple de considérer d'autres anneaux, comme celui des entiers de Gauss, d'Eisenstein ou de Dirichlet. Le théorème des deux carrés de Fermat ou encore l'équation de Pell-Fermat illustre l'utilité d'une telle structure. Leurs études se fondent sur le cas particulier des entiers quadratiques, plus simple que le cas général.
Cette formulation est l'œuvre de Richard Dedekind et date de la fin du XIXe siècle.
Définitions
Quatre définitions sont nécessaires pour aborder celle de l'article.
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- Soient K un corps commutatif et A un anneau unitaire inclus dans K. Un élément k de K est dit entier sur A s'il est annulé par un polynôme unitaire à coefficients dans A.
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- L'ensemble des éléments de K qui sont entiers sur A forme alors un anneau contenant A, appelé la fermeture intégrale de A dans K.
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- Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. Il se plonge dans son corps des fractions. (La méthode est l'analogue de celle permettant de construire l'ensemble des nombres rationnels à partir des entiers relatifs.) L'anneau A est dit intégralement clos s'il est égal à sa fermeture intégrale dans son corps des fractions.
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- Un anneau commutatif unitaire est dit noethérien si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang.
Définition — Un anneau est dit de Dedekind s'il vérifie les propriétés suivantes :
- il est commutatif, unitaire, intègre,
- il est noethérien,
- il est intégralement clos, et
- tous ses idéaux premiers non nuls sont maximaux.
Exemples
Entier algébrique
Le premier exemple est donné par l'ensemble des entiers algébriques d'une extension finie du corps des rationnels. Une première famille d'anneau de cette nature est celle des entiers quadratiques correspondant aux entiers d'une extension quadratique. Deux cas particuliers simples sont les entiers de Gauss et ceux d'Eisenstein. Ces deux anneaux sont euclidiens et le groupe des unités est fini, et même cyclique. Les entiers de Dirichlet mettent en évidence une obstruction, le groupe des unités est infini. Les anneaux d'entiers quadratiques permettent d'analyser les deux obstructions et d'en comprendre leur nature à l'aide d'une étude plus simple que celle du cas général.
Un exemple très étudié est celui de la fermeture intégrale d'une extension cyclotomique, c'est-à-dire d'une extension contenant toutes les racines d'un polynôme cyclotomique. La théorie de Galois est particulièrement riche pour les corps de cette nature. Les extensions sont non seulement galoisiennes, mais aussi abéliennes.
Dans un cas un peu plus général, soit L une extension finie du corps Q des rationnels :
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- La fermeture intégrale B de Z dans L (c'est-à-dire l'intersection de L avec l'anneau des entiers algébriques) est un anneau de Dedekind, et son corps des fractions est L.
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- L'anneau B est commutatif unitaire intègre et intégralement clos et son corps des fractions est L :
Ces propriétés sont démontrées dans un cadre général dans l'article Élément entier.
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- L'anneau B est noethérien :
Une démonstration dans un cadre plus général est proposée dans l'article Anneau noethérien. Elle utilise les outils de la théorie de Galois ainsi que la forme trace et le polynôme minimal.
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- Le quotient de B par un idéal non nul P est de cardinal fini :
Remarquons dans un premier temps que P contient un entier relatif a non nul. En effet, soient p un élément non nul de P et a le coefficient constant de son polynôme minimal sur Z, alors a appartient à P. Ainsi, B/P est un quotient de B/(a). Comme le groupe additif de B est isomorphe à Zn (où n désigne la dimension de L sur Q), celui de B/(a) est isomorphe à (Z/aZ)n, donc est fini. Il en résulte que B/P est également fini.
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- Tout idéal premier non nul P de B est maximal :
Le quotient de B par P est un anneau intègre si P est premier. Tout anneau intègre fini est un corps, ce qui montre que P est maximal.
Géométrie algébrique
Si les extensions finies des nombres rationnels contiennent des fermetures intégrales jouissant des propriétés d'un anneau de Dedekind, il en est de même pour les extensions finis de F(X). Ici F désigne un corps fini et F(X) le corps des fractions rationnelles. Cet ensemble est le corps des fractions des polynômes formels à coefficients dans F.
Une extension finie de F(X) est appelé un corps de fonctions. Il est possible d'y étudier les fermetures intégrales. Si les analogies sont nombreuses, l'arithmétique sur un corps de fonctions est souvent plus facile que sur un corps de nombres. Plusieurs raisons sont à l'origine de la simplification. Les valeurs absolues sur les corps de fonctions sont toutes ultramétrique, en revanche il en existe une archimédienne sur les nombres rationnels. Les corps de fonctions disposent d'un outil bien utile, la dérivation, qui n'existe pas pour les corps de nombres. Enfin, il est possible de considérer le produit tensoriel ![\scriptstyle {F[X]\otimes F[X]}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/b/b57c78bca904fd4628c0f7db242a56c8_aebc4fabf0c29f9ad5ee42d660ec2165.png){kind=small}
, qui n'a pas d'équivalent intéressant sur les corps de nombres.