Entier naturel - Définition

Introduction

Les entiers naturels permettent de compter (une pomme, deux pommes, trois pommes...).

En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans partie fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre « après la virgule ».

Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre… Mais la liste des entiers naturels est infinie, car chacun d'entre eux a un successeur, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur.

L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition et de multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée « arithmétique ».

L'ensemble des entiers naturels a été axiomatisé pour la première fois par Peano et Dedekind au XIX^e siècle. Il peut être construit de diverses manières, la plus classique étant la méthode de Von Neumann.

Cet ensemble est noté « N », lettre capitale grasse dans les textes dactylographiés, le premier trait vertical étant doublé en écriture manuscrite (notamment au tableau). Le choix pour la police d'écriture blackboard gras a été de doubler plutôt le trait diagonal : . La notation « N* » désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.

Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs, aux nombres rationnels positifs pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1 et plus généralement aux réels positifs de partie fractionnaire nulle.

Conception

De l'énumération à l'abstraction

La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'au XVII^e siècle) toute l'idée de nombre, est probablement issue de la notion de collection. Certains objets ou animaux, tout en étant distincts les uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur rassemblement constitue une collection, tel un troupeau de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.

Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité.

Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de son représentant, c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache. Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité.

Euclide donne au Livre VII des Éléments la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme collection d'unités ».

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Définition par les cardinaux

Les entiers naturels peuvent aussi être définis par abstraction sans passer par la notion d'unité, comme l'a fait Frege (Fondements de l'arithmétique, 1884). Une collection A (ou concept selon sa terminologie) et une collection B sont dites équinumériques si on peut définir une correspondance biunivoque entre les objets de A et les objets de B, c'est-à-dire une correspondance qui associe à tout objet de A un unique objet de B, et à tout objet de B un unique objet de A. Un nombre est alors défini par abstraction des collections équinumériques entre elles, indépendamment de la nature de ces collections.

Construction par les ordinaux

La méthode de Von Neumann propose de définir les entiers naturels comme des ordinaux, c'est-à-dire comme des ensembles bien ordonnés tous comparables par inclusion.