L'étude du pouvoir de vote a été réalisée, pour la majeure partie, en se fondant sur la théorie des jeux coopératifs. Ce sont donc les notions et les outils de ce théorie qu'utilisent les indices de pouvoir (Un indice de pouvoir est un outil utilisé en politique microéconomique, une branche de...). Le but de cette partie est de d'expliquer les notations employées et présenter les éléments de théorie des jeux (La théorie des jeux constitue une approche mathématique de problèmes de...) qui seront utiles.
Un jeu de vote (ou jeu de contrôle) est un couple (N,v) où N={1,...,i,...,n} représente l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des "joueurs" (ici les votants) et v une valeur appartenant à {0,1} telle qu'à chaque groupe d'individus on associe à chaque fois un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...).
Une coalition S est dite gagnante si v(S)=1 et perdante si v(S)=0. On note s le nombre de joueurs dans S, Gi(v) l'ensemble des coalitions gagnantes et Gi(v) l'ensemble des coalitions gagnantes contenant le joueur i.
Remarque n°1: Si l'on considère l'ensemble des joueurs comme un ensemble d'individus prenant part à un processus de décision collective, on peut généralement modéliser ce processus par un jeu de vote. Un coalition gagnante est alors définie comme un ensemble de votants tels que s'ils votent à l'unanimité pour une proposition, celle-ci est adoptée. On peut définir cette coalition comme une majorité généralisée.
Remarque n°2: La valeur v indique alors le statut de chaque coalition et par conséquent autorise la formalisation du processus de décision collective. Dans cette configuration l'abstention est exclue: devant une proposition, le joueur n'a le choix de voter qu'entre "oui" et "non".
Un individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux...) i est dit décisif pour une coalition gagnante S si le retrait de ce participant rend la coalition S perdante, c'est-à-dire si v(S) = 1 et v(S\{i})=0. On note d(S) le nombre de joueurs décisifs dans la coalition S, Di(v) l'ensemble des coalitions pour lesquelles le joueur i est décisif.
Une coalition est dite minimale gagnante si c'est une coalition gagnante dont tous les joueurs sont décisifs. On note M(v) l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale (c'est-à-dire où chaque individu est décisif) et Mi(v) l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale auquel le joueuri appartient.
Un jeux de vote remplissant la condition suivante:
est alors dit monotone.
Un jeux simple est dit pondéré si il existe un quota q et un poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...) wi > 0 pour chaque joueur tel que:
Le jeux se note [q; w1,...,wn]
Le jeu de vote pour la Communauté Européenne en 1952 s'écrit:
Un jeux simple est supposé propre si pour une coalition gagnante, le complémentaire de celle-ci est perdant:
Un jeux simple est supposé fort si:
Remarque: Cette condition est plus contraignante que celle de la définition n°7. En effet un jeu pondéré est propre si q > w / 2, avec:
Si l'on suppose w impaire, un jeu pondéré est fort si q = (w + 1) / 2.
Voici un jeux important à quatre joueurs, où les calculs sont élémentaires, qui sert de référence:
On a un quota de 3 et le jeux suivant: [3;2,1,1,1].
On a quatre individus a, b, c et d, où a dispose d'un poids de 2 et les trois autres d'un poids de 1.
On peut écrire les coalitions gagnantes dans le tableau suivant:
Tableau n°1
Coalitions gagnantes | a | b | c | d | d(S) = nombre de joueurs décisifs | s = taille de la coalition |
---|---|---|---|---|---|---|
a,b | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 | 2 |
a,c | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 |
a,d | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 |
a,b,c | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 |
a,b,d | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 |
a,c,d | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 |
b,c,d | 0 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 |
a,b,c,d | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 |
On peut ensuite écrire le tableau des coalitions minimales gagnantes:
Tableau n°2
Coalitions gagnantes | a | b | c | d | d(S) = nombre de joueurs décisifs | s = taille de la coalition |
---|---|---|---|---|---|---|
a,b | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 | 2 |
a,c | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 |
a,d | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 |
b,c,d | 0 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 |