Valeur propre, vecteur propre et espace propre - Définition

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Applications en dimension finie

Équation linéaire et valeur propre

Beaucoup de problèmes finissent par se présenter sous la forme de la résolution d'un système d'équations linéaires. C’est-à-dire dans un cas simple à un système de la forme:

\left\{\begin{matrix} 4x + 2y &=& -1 \\ 3x - y &=& 2 \end{matrix}\right.

et dans le cas général:

\left\{\begin{matrix}  a_{1,1}.x_1+a_{1,2}.x_2+\cdots+a_{1,n}.x_{n} &=& b_1 \\ a_{2,1}.x_1+a_{2,2}.x_2+\cdots+a_{2,n}.x_{n} &=& b_2 \\ \vdots & & \vdots \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m,1}.x_{1}+a_{m,2}.x_{2}+\cdots+a_{m,n}.x_{n} &=& b_m\end{matrix}\right.

On peut citer comme exemple la mécanique statique avec l'étude du cas d'un pavé sur une surface en pente.

Pave en equilibre.jpg

On trouvera alors trois équations linéaires décrivant les forces de haut en bas, de droite à gauche et d'avant en arrière. Si en revanche, on considère l'équilibre statique d'une plate-forme pétrolière, plusieurs centaines d'équations linéaires sont nécessaires au calcul.

S'il est théoriquement possible de résoudre ces systèmes d'équations avec des calculs de déterminants et de comatrices, il n'est pas envisageable d'utiliser pratiquement cette méthode. Elle débouche rapidement sur une complexité et une longueur de calcul qui n'est de loin pas traitable par les ordinateurs les plus puissants d'aujourd'hui. Ceci est particulièrement vrai dans le cas d'une plateforme pétrolière par exemple.

Les mathématiciens analysent le problème sous un autre angle, le système d'équations est considéré comme la recherche d'un vecteur x dont l'image par l'application linéaire u est égale à b.

u, x et b sont décrits par une matrice et deux jeux de coordonnées:

u: \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} x: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} b: \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

Il suffit alors de comprendre l'application u pour résoudre plus simplement la question posée. Cette application est une application linéaire d'un ensemble dans lui-même. On appelle endomorphisme une telle application. L'espace vectoriel est décomposé en sous-espaces stables par u, c’est-à-dire que leurs images par u sont incluses dans eux-mêmes. Ils disposent de propriétés bien particulières. À eux tous ils génèrent l'espace vectoriel tout entier, mais l'endomorphisme restreint à ces sous-espaces est particulièrement simple. Un bon exemple est donné par le cas du miroir. Sur la surface du miroir l'application est simple : elle ne modifie rien ; sur la droite perpendiculaire un vecteur a pour image le vecteur opposé, et tout vecteur est bien la somme d'une composante sur le miroir et d'une composante perpendiculaire.

Illustration par un exemple numérique

Soit une équation linéaire dont la matrice A est donnée ci-dessous. La résolution par inversion impose des calculs longs et complexes. Une approche fondée par les valeurs et les vecteurs propres, la réduction de Jordan (l'article contient le traitement numérique en exemple n° 2), montre que cette matrice est semblable à la matrice J:

A = P.J.P^{-1} \begin{pmatrix}  5 &  4 &  2 &  1 \\  0 &  1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 &  3 &  0 \\   1 &  1 & -1 &  2 \end{pmatrix} \; J=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \; et \;   P=\begin{pmatrix} -1 &  0 &  1 & -1\\  0 &  0 & -1 &  1\\   1 & -1 &  0 &  0\\ -1 &  1 &  1 &  0\end{pmatrix}

Le problème, portant initialement sur la matrice A est alors ramené à la matrice J, et est donc largement simplifié. Dans cet exemple, les valeurs propres de A et de J sont les coefficients diagonaux de J : 4,2,1 ; à chacune de ces valeurs propres est associé un sous-espace propre, il est ici de dimension 1 pour chacune : la raison, pour 1 et 2, est que ces coefficients n'apparaissent qu'une fois sur la diagonale de J ; pour 4, bien qu'il apparaisse deux fois, la dimension du sous-espace propre associé ne peut être 2, à cause de la présence du coefficient 1 au-dessus de la diagonale.

Il est toutefois à noter que cette problématique, même si elle est la première à être apparue en algèbre linéaire, n'a pas ouvert la voie de la notion développée dans cet article.

Méthode générale de résolution en dynamique

Article détaillé : Systèmes oscillants à un degré de liberté

Fig. 3. Une masse oscillante, attachée à un ressort, et avec un frottement visqueux.

Si la problématique précédente n'a pas suffi, c'est essentiellement à cause d'une absence de concept de base. La géométrie d'alors est formalisée par le concept de point. Les points ne s'additionnent pas, ils ne possèdent pas de propriétés algébriques. La notion d'espace vectoriel actuel, n'existait pas. Hamilton, le mathématicien anglais s'est penché sur un problème où l'addition et la multiplication scalaire sont naturelles. Ce problème lui a été fourni par la physique: les systèmes oscillants.

Le cas de la figure 3 illustre cette situation. La masse est attachée à un ressort et subit un amortissement visqueux (ce qui signifie que la dissipation due aux frottements est proportionnelle à la vitesse). Il n'existe aucune force extérieure, et le système oscillant vérifie l'équation différentielle linéaire suivante avec les notations de l'article Systèmes oscillants à un degré de liberté :

(1)\quad M \ddot{x} + B \dot{x} + K x \; =\; 0

Cette équation utilise les dérivées secondes, c'est la raison pour laquelle on appelle ce type d'équation, une Équation différentielle linéaire d'ordre deux. Cependant, il est possible de ramener une équation d'ordre deux, à une équation d'ordre un à condition de doubler la dimension de l'espace (cf Équation différentielle linéaire). Ici, l'espace vectoriel devient de dimension 2 avec un premier axe correspondant à la vitesse, noté v, et un deuxième à la position, noté x. Si l'analyse du mouvement commence par convention à l'instant t0 = 0, l'équation (1) s'écrit alors sous la forme:

Fig. 4. Trajectoire en fonction de l'amortissement.

\frac{d}{dt}\phi \; = \;a.\phi \quad et \quad \phi (0)=\phi_0 \;

avec  \qquad \phi : \begin{pmatrix} v \\ x \end{pmatrix}\quad a : M^{-1}\begin{pmatrix} -B & -K \\ M & 0 \end{pmatrix}\quad \phi_0:\begin{pmatrix} v_0 \\ x_0 \end{pmatrix}

La solution d'une telle équation est connue, et s'écrit de la manière suivante:

\phi (t) = \exp (ta)(\phi_0)\; avec \; \exp (ta)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n a^n}{n!} \;

La preuve du fait que l'exponentielle est bien la solution est donnée dans l'article Matrice diagonalisable. Il apparaît nécessaire de calculer une exponentielle d'endomorphisme, qui dépend de toutes les puissances de cet endomorphisme. Ce problème est résolu par Hamilton grâce à la notion de valeurs et vecteurs propres : en effet, s'il existe une base de vecteurs propres pour l'endomorphisme a, avec pour valeurs propres λ1 et λ2 et si A est l'écriture matricielle de a ; c'est-à-dire s'il existe une matrice de passage P telle que:

 A=P^{-1}\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}P\;

alors :

\exp(tA)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n P^{-1}A^nP}{n!}=P^{-1}\left(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}\begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix}\right)P=P^{-1} \begin{pmatrix} \ e^{\lambda_1 t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t} \end{pmatrix} P\;

La solution, tant pour la position que pour la vitesse est donc une combinaison linéaire d'exponentielles. Le calcul général de l'exponentielle d'un endomorphisme, ainsi que les justifications théoriques sont traités dans l'article Réduction d'endomorphisme.

S'il existe deux valeurs propres réelles, alors la solution est de même nature que la courbe bleue sur la figure 4. L'amortissement ramène sans oscillation la masse à sa position d'équilibre. En revanche, s'il n'existe pas de valeur propre réelle, il est nécessaire d'en trouver dans les nombres complexes. La solution est alors donnée par la partie réelle de la matrice, et on obtient une trajectoire de même nature que la courbe rouge, avec des oscillations avant d'atteindre le point d'équilibre. La physique est source de nombreux exemples de problèmes linéaires de dimension finie où les valeurs propres représentent la bonne approche pour la résolution. On les trouve par exemple dans l'analyse des circuits électriques.

Principe d'inertie de Sylvester

Formulation du principe d'inertie de Sylvester

Fig 6. Axe des moments d'inertie.

Sylvester analyse l'énergie que l'on doit transmettre à un solide pour lui donner une vitesse de rotation vr. Il remarque que le vecteur propre représente dans ce contexte un axe de rotation privilégié. La valeur propre correspond à la grandeur appelée en physique moment d'inertie, elle est inversement proportionnelle à l'énergie à fournir pour atteindre une vitesse de rotation vr. Pour atteindre cette vitesse avec le moins d'énergie, il est nécessaire de choisir l'axe ayant le plus faible moment d'inertie, c’est-à-dire celui où l'ellipsoïde de la figure 5 est le plus aplati. La théorie montre que l'axe où l'inertie est la plus forte est toujours perpendiculaire à celui du plus faible moment d'inertie. Cette perpendicularité correspond à l'existence d'une base orthonormale de vecteurs propres.

Le cas du balai de la figure 6, illustre par un exemple le phénomène. L'axe de plus faible moment d'inertie est indiqué par la flèche 1. Il est intuitif que l'énergie nécessaire pour obtenir la même vitesse de rotation selon l'axe de la flèche 2 sera largement supérieure. Les vecteurs propres et les valeurs propres apparaissent comme des caractéristiques propres de la géométrie de l'objet, dans ce cas les axes privilégiés de rotations, (il est possible de prendre un axe de rotation au hasard, mais les autres axes imposeront des tensions sur l'axe) et les valeurs propres les moments d'inertie associés.

Une approche similaire s'applique en mécanique des milieux continus pour l'analyse des déformations élastiques comme la torsion, on parle alors de tenseur des contraintes.

Application en statistique

Article détaillé Analyse en composantes principales

L'approche de Sylvester est utilisée dans de nombreux domaines pour comprendre la géométrie d'un phénomène. Les techniques statistiques de dépouillements de sondage en sont un parfait exemple. Soit un sondage, réalisé sur un échantillon de cent personnes et contenant six critères. S'il est possible d'évaluer chaque question par un critère numérique, alors une analyse en composante principale est possible. Elle permet d'interpréter les résultats du sondage.

Les résultats du sondage, sont dans un premier temps normalisés pour qu'un critère, qui par exemple prend des valeurs entre un et cent ne soit pas dix fois plus important qu'un autre prenant des valeurs de un à dix. Le résultat du sondage est alors considéré comme un solide dans un espace comportant autant de dimensions que de critères.

Figure 7. Résultat du sondage
ACP Réussie, l'axe principal est explicatif.
Exemple de deux questions aux réponses corrélées.
Exemple de deux questions aux réponses non corrélées.

La première figure représente l'ACP sur les deux premiers vecteurs propres, qu'on appelle en statistiques composantes principales. Les valeurs sont rassemblées autour de cet axe, ce qui signifie qu'il est le plus explicatif. Ce caractère explicatif est donné par le carré de la valeur propre. Dans l'exemple fictif, il est dû à deux critères fortement corrélés. Ce phénomème est visible sur la deuxième figure, les deux critères corrélés sont représentés. Là encore ces critères se rassemblent autour d'une droite, dans l'exemple cette droite est la droite de la composante principale (celle à la valeur propre la plus forte). Ces coordonnées sur ses deux critères sont respectivement 0,506 et -0,491. Si les critères sont revenu et surcharge pondérale, alors le sondage indique que l'obésité frappe en priorité les revenus les plus faibles. La troisième figure illustre un cas, ou la corrélation entre deux critères est faible. Si les critères sont taille et niveau d'étude, alors un tel graphique indique que la taille n'est pas un critère différenciant pour le niveau d'étude.

Cet exemple illustre encore que dans le cas analysé par Sylvester, les valeurs et vecteurs propres ne sont pas uniquement des méthodes de calculs, mais aussi des éléments constitutifs de la géométrie du problème considéré.

Application en relativité

Fig 7'. Le principe d'inertie de Sylvester en relativité

Article détaillé: Relativité restreinte

A travers les moments d'inertie d'un solide, Sylvester ne s'est pas trompé sur le titre de son article de 1852 Théorie des invariants algébriques. Les valeurs propres, qui sont les invariants, dépassent de loin le cadre des moments d'inertie. La géométrie de l'espace-temps relativiste est un autre exemple. Ici la forme bilinéaire ne décrit plus le moment d'inertie d'un solide indéformable, mais une modélisation de la géométrie même de notre univers.

La figure 7' représentative de cette géométrie est néanmoins fort différente des illustrations précédentes. Il existe un axe particulier, où le carré de la distance possède une propriété spéciale: il est négatif. La bonne distance de cette théorie n'est plus toujours positive. Un vecteur de coordonnées (x, y,z, t) a pour image x2+y2+z2-c2.t2. Hermann Minkowski 1864-1909 développe une approche mathématique fondée sur ces principes en 1907 dans un article intitulé Espace-temps, et l'applique à la relativité l'année suivante.

Le cône d'inertie de la figure 7 représente l'univers pour un observateur au point A. Le point C possède une distance négative, pour l'atteindre il faudrait une vitesse supérieure à la lumière, ce qui, dans le contexte de cette théorie n'est pas réalisable. Il est donc inobservable et n'a aucune influence directe ou indirecte sur l'observateur. Le point B est dans ce que l'on appelle le cône de lumière, c'est un point possible, il pourra interagir avec l'observateur.

Dans le cas qui intéresse Minkowski, les endomorphismes qui traduisent les lois physiques d'un observateur à un autre observateur, jouent un rôle important ; ce sont ceux qui vérifient l'équation < u(x),u(y) > = < x,y > , où < , > est la forme bilinéaire qui décrit la géométrie considérée. Ces endomorphismes laissent la géométrie invariante, ils correspondent dans une modélisation euclidienne aux isométries. Dans la géométrie de la relativité, 1 est valeur propre et son espace propre associé est de dimension 3 et i.c est valeur propre de sous-espace propre associé de dimension 1, où i désigne le nombre imaginaire et c la célérité de la lumière. On parle de signature de Sylvester (3,1). Toutes les lois physiques doivent être invariantes par ces endomorphismes. Ces endomorphismes forment une structure de groupe, appelé groupe spécial unitaire, la relativité revient à réécrire la physique en lois laissées invariantes par le groupe spécial unitaire de dimension 4 et de signature (3,1).

Représentation des groupes

Article détaillé: Représentation des groupes

Fig. 8. Exemple d'application linéaire: une symétrie par rapport à l'axe horizontal central

L'analyse par vecteurs et valeurs propres possède aussi comme domaine d'application la représentation des groupes. Une structure de groupe est parmi celles dont la définition algèbrique est la plus simple, c'est un ensemble muni d'une seule opération notée souvent comme la multiplication. Si la définition est simple, en revanche, ces structures s'avèrent parfois suffisamment complexes pour que leur théorie ne soit pas encore complètement connue. Comme exemple de groupe, il est possible de citer celui des rotations du cube qui laissent son enveloppe invariante. La figure 8 montre que ce groupe est généré par trois permutations, celle qui place la face 1 en position 2, représentée par la flèche rouge, celle représentée par la verte et enfin la bleue. Au total ce groupe comporte 24 éléments. Une représentation d'un groupe consiste à une identification de ses éléments avec des endomorphismes de telle manière à ce que l'opération du groupe corresponde à la composition d'endomorphisme. Ainsi dans l'exemple de la figure, il existe une identification naturelle entre le groupe abstrait des 24 rotations du cube avec un groupe de rotations dans un espace de dimension 3.

Cette approche permet alors de disposer des outils comme les vecteurs ou valeurs propres pour l'analyse de la structure des groupes. La théorie montre que les espaces propres d'une représentation correspondent à la partie commutative du groupe. Dans le cas d'un groupe entièrement commutatif, il existe une base de vecteurs propres pour toute la représentation. Cette approche démontre, par exemple que les groupes commutatifs finis sont des produits de groupes cycliques. La démonstration est esquissée dans l'article Matrice diagonalisable.

La représentation des groupes finis (c’est-à-dire ayant un nombre fini d'éléments) joue un rôle important dans la théorie des vecteurs propres. Elle a permis à Jordan, dans un contexte relativement général, de comprendre totalement le champ d'application et les limites d'une approche par vecteurs propres. Des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de vecteurs propres ou de bases de vecteurs propres sont alors connues. De plus, les cas où il n'existe pas de base de vecteurs propres sont élucidés ainsi que la structure exacte des endomorphismes entrant dans cette catégorie et la proportion d'endomorphismes de cette nature dans l'ensemble de tous les endomorphismes.

Si le contexte est relativement général, il ne couvre pas tous les cas d'espaces vectoriels connus. La théorie de Jordan se limite à la dimension finie avec un corps de nombre algébriquement clos. Un corps est dit algébriquement clos si tous ses polynômes ont au moins une racine. Ce contexte est néanmoins suffisamment général pour couvrir toutes les applications citées dans ce chapitre.

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