De la complexité grandissante des démonstrations mathématiques
Publié par Michel le 22/02/2006 à 00:00
Source: News Scientist
Illustration: Techno-Science.net
Une preuve mathématique est vraie sans conteste, c'est une manifestation de logique pure. Mais, selon des experts dans ce domaine, un nombre croissant de démonstrations mathématiques sont désormais impossibles à vérifier avec une certitude absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température...).

"Il est indéniable qu'à notre époque certains grands énoncés de mathématiques sont devenus si complexes que nous ne pouvons plus déterminer avec certitude s'ils sont vrais ou faux", fait remarquer Keith Devlin de l'université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission...) de Stanford en Californie. "Cela nous met dans le même bateau (Un bateau est une construction humaine capable de flotter sur l'eau et de s'y déplacer, dirigé ou non par ses occupants. Il répond aux besoins du transport maritime ou fluvial, et permet diverses activités...) que tous les autres scientifiques".

Delvin cite en exemple la Classification des groupes simples finis, une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) annoncée en 1980 résultant d'un travail collaboratif (Le travail est souvent naturellement collectif et collaboratif, c'est-à-dire qu'il fait interagir plusieurs acteurs pour la réalisation de tâches qui visent à atteindre un but commun....) dans lequel de nombreux mathématiciens ont apporté chacun leur contribution. "Vingt-cinq ans plus tard nous ne sommes toujours pas sûrs qu'elle soit correcte. Nous pensons qu'elle l'est, mais personne n'a jamais rédigé la démonstration complète", indique-t-il.

"Une partie de la difficulté provient de l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) intensif qui est fait de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit...) de l'informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le...) pour construire des preuves", ajoute Thomas Hales, de l'université de Pittsburgh en Pennsylvanie, "car cela rend les démonstrations moins accessibles, même aux experts".

Comment empiler des oranges ?

En 1998 Hales a proposé une démonstration assistée par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de...) de la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Kepler, un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) remontant à 1611. Elle décrit la façon la plus efficace d'entasser des sphères dans une boite, en perdant le moins d'espace possible. Il apparaît que le meilleur agencement ressemble aux étalages d'oranges d'une épicerie ordinaire.

La démonstration de Hales fait plus de 300 pages de long et nécessite 40.000 lignes de code machine. Quand il a voulu la publier dans un journal scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.), douze vérificateurs ont été affectés pour la contrôler. "Un an plus tard, ces personnes m'ont affirmé qu'ils étaient sûrs à 99% que la démonstration était correcte", indique Hales. Mais ils ont demandé à poursuivre leur évaluation.

Cette incertitude minime n'a cependant pas disparu avec le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.). Quatre ans plus tard, les inspecteurs sont revenus vers Hales, leur certitude était toujours de 99% mais cette fois ils lui ont indiqué qu'ils avaient épuisé leurs possibilités de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.). En conséquence, la revue a pris la mesure exceptionnelle de publier l'article sans une certification totale des correcteurs.

Contrôle automatisé

Même la vérification des démonstrations est désormais sous contrôle de l'informatique, selon Devlin: "pour certaines parties de la vérification, nous nous en remettons aux ordinateurs". Cette façon de procéder a connu une certaine réussite, comme pour le théorème des quatre couleurs. Cette complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par...) accrue n'est pas forcément complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la...) mauvaise. Selon Hales, il est logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...) d'utiliser un ordinateur pour résoudre un problème impossible à dénouer autrement.

Devlin et Hales participaient au meeting 2006 de l'AAAS (American Association for the Advancement of Science) de St Louis dans le Missouri.

Page générée en 0.154 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique