La somme des chiffres des nombres premiers est bien répartie
Publié par Michel le 11/05/2010 à 00:00
Source: CNRS
Il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire. Cette hypothèse formulée en 1968 vient d'être démontrée par des chercheurs de l'Institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est habituellement une institution de recherche. Par exemple, le Perimeter Institute for Theoretical Physics est un tel institut.) de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) de Luminy.

Un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif....) est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs entiers sont 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11,..., 1789,... sont des nombres premiers, alors que 9, divisible par 3, n'est pas un nombre premier.

De nombreux problèmes arithmétiques concernent les nombres premiers et la plupart d'entre eux sont sans réponse, parfois depuis plusieurs siècles. Par exemple, on sait depuis Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie)...) que la suite des nombres premiers est infinie, mais on ne sait toujours pas s'il existe une infinité de nombres premiers p tels que p+2 est aussi un nombre premier (problème des nombres premiers jumeaux). De même on ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers dont la représentation décimale n'utilise pas le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) 7.

Deux chercheurs de l'Institut de mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée) viennent de faire une percée importante sur une conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) formulée en 1968 par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) russe Alexandre Gelfond concernant la somme des chiffres des nombres premiers. Ils ont démontré en particulier qu'il y a en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient...) autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire.

Les méthodes mises en oeuvre pour obtenir ce résultat, issues de la combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.), de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) analytique des nombres et de l'analyse harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les...), sont très novatrices et devraient ouvrir la voie à la résolution d'autres questions difficiles concernant la représentation de certaines suites de nombres entiers.

En complément de leur intérêt théorique, ces questions sont directement liées à la construction de suites de nombres pseudo-aléatoires et ont des applications importantes en simulation numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) et en cryptographie (La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages (assurant confidentialité, authenticité et intégrité) en s'aidant souvent de secrets ou clés.).
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