La topologie pour résoudre les problèmes physiques complexes

L'étude des systèmes complexes, tels que les déplacements de robots sur le sol d'une usine, le mouvement de l'air autour d'une aile, ou l'efficacité d'un réseau de sécurité, peut représenter des défis énormes. Le mathématicien Robert Ghrist de l'université de l'Illinois à Urbana-Champaign a développé des outils mathématiques avancés pour simplifier de telles tâches.


Ghrist utilise la branche des mathématiques appelée topologie pour étudier des espaces abstraits pourvus de nombreuses dimensions et pour résoudre des problèmes qui ne peuvent pas être visualisés normalement. Il doit décrire sa technique lors d'une conférence au Congrès International des Mathématiciens, qui se tiendra du 23 au 30 août 2006 à Madrid.

Le chercheur substitue, à un système physique complexe, un espace abstrait possédant une représentation géométrique particulière. "Pour suivre un robot, par exemple, nous surveillons ses coordonnées x et y dans un espace bidimensionnel", explique-t-il. "Chaque robot supplémentaire exige deux informations, ou dimensions, supplémentaires. Ainsi suivre trois robots exige six dimensions. Le problème est que nous ne pouvons pas visualiser un espace à six dimensions".

Cependant, les mathématiciens ont depuis plus d'un siècle développé des outils pour tenter de représenter ces espaces abstraits multidimensionnels. "Nous utilisons l'algèbre et l'analyse pour découper ces espaces abstraits en morceaux et imaginer ce à quoi ses morceaux ressemblent, pour ensuite les rassembler et obtenir une image globale de ce que le système physique fait réellement", continue Ghrist.

La technique mathématique de Ghrist fonctionne sur des systèmes fortement complexes, tels que les réseaux nomades de capteurs des systèmes de sécurité. Se composant d'un grand nombre de capteurs fixes ou mobiles, les réseaux doivent demeurer exempts de zones d'ombre et de brèches de sécurité. La surveillance de l'emplacement et de l'état de fonctionnement de chaque capteur serait extrêmement difficile, indique Ghrist. "Mais à l'aide d'outils topologiques, on peut plus facilement relier entre elles les informations de l'ensemble des capteurs afin de détecter et de 'boucher' tous les trous dans le réseau et garantir la sûreté du système entier".

Selon le chercheur, alors qu'il peut sembler contraire à l'intuition de traduire initialement des systèmes de ce type en des problèmes de géométrie, d'algèbre ou d'analyse, cette manière de procéder produit finalement un résultat qui revient au système physique. "C'est ce que les mathématiques appliquées doivent offrir", dit-il, "car plus les systèmes deviendront complexes, plus les outils topologiques deviendront appropriés".