Therm des Freundes und des Fremden: Wurde dieses fast hundertjährige mathematische Rätsel gelöst?

Die Ramsey-Theorie ist ein faszinierendes Gebiet der Mathematik, das auf einem einfachen, aber verwirrenden Prinzip beruht: In jeder genügend großen Menge entsteht zwangsläufig eine geordnete Struktur. Diese Idee, die in den 1930er Jahren formuliert wurde, hat zu faszinierenden mathematischen Problemstellungen geführt, die oft als "Ramsey-Probleme" bezeichnet werden. Zu diesen zählt das Problem r(4,t), das Mathematiker lange Zeit vor Herausforderungen gestellt hat.

Jacques Verstraete und Sam Mattheus, Forscher an der University of California in San Diego, haben kürzlich das Rätsel von r(4,t) gelöst, ein mathematisches Problem, das über Jahrzehnte ungelöst blieb.


Um das Problem r(4,t) zu verstehen, muss man zunächst den Begriff eines Graphen in der Graphentheorie erfassen. Ein Graph besteht aus Punkten und Linien, die sie verbinden. Die Ramsey-Theorie legt nahe, dass ab einer gewissen Größe jeder Graph eine geordnete Struktur enthalten wird: entweder eine Menge von Punkten ohne verbindende Linien (keine Verbindung) oder eine Menge von Punkten mit allen zwischen ihnen möglichen Linien.

Das bekannteste Beispiel ist r(3,3), manchmal beschrieben als "der Therm des Freundes und des Fremden". Es besagt, dass man in einer Gruppe von sechs Personen immer drei Personen finden wird, die sich alle kennen oder drei, die sich nicht kennen. Das Ergebnis von r(3,3) ist sechs. Die scheinbare Einfachheit dieser Probleme verbirgt eine erstaunliche Komplexität. Nehmen wir an, die Lösung zu r(5,5) liegt zwischen 40 und 50. Bei 45 Punkten gäbe es mehr als 10²³⁴ mögliche Graphen.

Verstraete und Mattheus haben pseudorandomisierte Graphen verwendet, um die Schätzungen der Ramsey-Zahlen zu verfeinern. Im Jahr 2019 lösten sie r(3,t) mit diesem Ansatz. Allerdings war der Aufbau eines pseudorandomisierten Graphen für r(4,t) eine große Herausforderung.

Sie mussten andere Bereiche der Mathematik erforschen, wie endliche Geometrie, Algebra und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Schließlich führte ihre Zusammenarbeit zu einer Lösung: r(4,t) liegt nahe einer kubischen Funktion von t. Das bedeutet, für eine Gruppe, in der "vier Personen sich alle kennen oder t Personen sich nicht kennen", wäre etwa t³ Personen erforderlich. Es ist wichtig zu beachten, dass dies eine Schätzung und keine exakte Antwort ist, aber sie kommt der Wahrheit näher.

Ihre Entdeckung wird derzeit von den Annals of Mathematics überprüft und ist als Preprint auf arXiv verfügbar.

Dieser Durchbruch zeigt die Bedeutung von Ausdauer in der Mathematik. Wie Verstraete sagt, widersteht ein gutes Problem und gibt sich nicht leicht zu erkennen. Diese Lösung ist das Ergebnis vieler Jahre harter Arbeit und betont, dass selbst die komplexesten Probleme mit Entschlossenheit und Kreativität gelöst werden können.