Teorema dos amigos e estranhos: este enigma matemático quase centenário resolvido?

A teoria de Ramsey, uma fascinante área das matemáticas, baseia-se num princípio simples mas desconcertante: em qualquer conjunto suficientemente grande, uma estrutura ordenada emerge inevitavelmente. Esta noção, formulada na década de 1930, gerou problemas matemáticos intrigantes, frequentemente referidos como "problemas de Ramsey". Entre eles, o problema r(4,t) tem desafiado os matemáticos por muito tempo.

Jacques Verstraete e Sam Mattheus, pesquisadores da Universidade da Califórnia em San Diego, conseguiram recentemente desvendar o mistério do r(4,t), um enigma matemático que resistia à solução durante décadas.


Para entender o problema r(4,t), é necessário primeiro compreender o conceito de grafo na teoria dos grafos. Um grafo é composto por vértices e arestas que os conectam. A teoria de Ramsey sugere que a partir de um certo tamanho, todo o grafo conterá uma estrutura ordenada: seja um conjunto de vértices sem arestas os conectando (ausência de conexão), seja um conjunto de vértices com todas as arestas possíveis entre eles.

O exemplo mais famoso é o r(3,3), por vezes descrito como "o teorema dos amigos e dos estranhos". Este afirma que num grupo de seis pessoas, sempre encontraremos três pessoas que se conhecem todas ou três que não se conhecem. O resultado de r(3,3) é seis. A simplicidade aparente destes problemas esconde uma complexidade incrível. Imaginemos que a solução para r(5,5) esteja entre 40 e 50. Com 45 pontos, existiriam mais de 10²³⁴ grafos possíveis.

Verstraete e Mattheus utilizaram grafos pseudorrandom para refinar as estimativas dos números de Ramsey. Em 2019, resolveram r(3,t) usando esta abordagem. No entanto, construir um grafo pseudorrandom para r(4,t) revelou-se um enorme desafio.

Eles tiveram que explorar outros campos das matemáticas, como geometria finita, álgebra e probabilidade. Finalmente, a sua colaboração levou a uma solução: r(4,t) está próxima de uma função cúbica de t. Isso significa que para um grupo onde "quatro pessoas se conhecem todas ou t pessoas não se conhecem", seria necessário aproximadamente t³ pessoas. É importante notar que esta é uma estimativa e não uma resposta exata, mas aproxima-se da verdade.

A sua descoberta está atualmente sob revisão nos Annals of Mathematics e um pré-artigo está disponível em arXiv.

Este avanço demonstra a importância da perseverança nas matemáticas. Como Verstraete diz, um bom problema é resistente e não se revela facilmente. Esta resolução é o resultado de muitos anos de trabalho árduo, enfatizando que até os problemas mais complexos podem ser resolvidos com determinação e criatividade.