Teorema de los amigos y los desconocidos: ¿se resuelve este enigma matemático casi centenario?

La teoría de Ramsey es una rama fascinante de las matemáticas, que se basa en un principio simple, pero desconcertante: en cualquier conjunto lo suficientemente grande, inevitablemente emerge una estructura ordenada. Esta idea, formulada en la década de 1930, ha dado lugar a problemas matemáticos fascinantes conocidos comúnmente como "problemas de Ramsey". Entre estos problemas, el reto r(4,t) ha desafiado a los matemáticos durante mucho tiempo.

Jacques Verstraete y Sam Mattheus, investigadores de la Universidad de California en San Diego, han develado recientemente el misterio de r(4,t), una incógnita matemática que ha resistido su solución durante décadas.


Para comprender el problema r(4,t), primero hay que entender el concepto de grafo en la teoría de grafos. Un grafo consiste en puntos y líneas que los conectan. La teoría de Ramsey propone que a partir de un tamaño determinado, cualquier grafo contendrá una estructura ordenada: bien un conjunto de puntos sin líneas conectándolos (una ausencia de conexión) o un conjunto de puntos con todas las líneas posibles entre ellos.

El ejemplo más famoso es r(3,3), a veces referido como "el teorema de los amigos y los desconocidos". Este propone que en un grupo de seis personas siempre habrá tres personas que se conocen mutuamente o tres que no se conocen. El resultado de r(3,3) es seis. La aparente sencillez de estos problemas esconde una complejidad sorprendente. Por ejemplo, si la solución de r(5,5) está entre 40 y 50, con 45 puntos existirían más de 10²³⁴ grafos posibles.

Verstraete y Mattheus utilizaron grafos pseudorandom para refinar las estimaciones de los números de Ramsey. En 2019, resolvieron r(3,t) utilizando este enfoque. Sin embargo, construir un grafo pseudorandom para r(4,t) fue un gran reto.

Exploraron otros campos matemáticos, como la geometría finita, el álgebra y la probabilidad. Finalmente, su colaboración condujo a una solución: r(4,t) está cerca de una función cúbica de t. Esto significa que para un grupo donde "cuatro personas se conocen todas o t personas no se conocen entre sí", se necesitaría aproximadamente t³ personas. Es importante señalar que esto es una estimación y no una respuesta exacta, pero se acerca mucho a la realidad.

Su descubrimiento está siendo revisado actualmente por los Annals of Mathematics y hay un preprint disponible en arXiv.

Este avance demuestra la importancia de la perseverancia en matemáticas. Como dice Verstraete, un buen problema resiste y no se revela fácilmente. La solución es el resultado de muchos años de trabajo duro, lo que demuestra que incluso los problemas más complejos pueden resolverse con determinación y creatividad.