📐 ChatGPT nos sorprende con un enigma griego de 2400 años de antigüedad

Desde la Antigüedad, el problema de la "duplicación del cuadrado" intriga a las mentes curiosas. Platón ya relataba cómo Sócrates desafiaba a sus alumnos a duplicar el área de un cuadrado, un enigma que revela los límites de nuestra intuición geométrica.

Investigadores de la Universidad de Cambridge y de la Universidad Hebrea de Jerusalén eligieron este problema milenario para evaluar las capacidades en geometría de ChatGPT. Consideraron que su solución poco evidente –utilizar la diagonal del cuadrado original en lugar de simplemente alargar sus lados– tenía pocas probabilidades de estar presente en los datos de entrenamiento del modelo, compuestos mayoritariamente por textos.

Este enfoque buscaba determinar si la inteligencia artificial podía deducir una solución por sí misma, sin haber sido programada explícitamente para ello.


Los investigadores plantearon este problema a ChatGPT-4, imitando primero las preguntas de Sócrates, y luego introduciendo deliberadamente errores, consultas y nuevas variantes del problema. Los investigadores esperaban que superara su desafío matemático regurgitando su "conocimiento" preexistente sobre la famosa solución de Sócrates. En cambio, pareció improvisar y, en un momento dado, incluso cometió un error típicamente humano.

Cuando se le pidió a ChatGPT que duplicara el área de un rectángulo, afirmó que no existía ninguna solución geométrica, una respuesta incorrecta. Nadav Marco y Andreas Stylianides, los científicos responsables del estudio, interpretaron este error como una señal de que el modelo improvisaba sus respuestas.

Publicada en la International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, su investigación sugiere que ChatGPT podría funcionar como un aprendiz, generando hipótesis a partir de sus conocimientos previos en lugar de recurrir a una base de datos.

Esta capacidad de "razonar" ante un problema nuevo evoca el concepto educativo de zona de desarrollo próximo, que describe el espacio entre lo que un individuo sabe y lo que puede aprender con una guía adecuada. Los investigadores observan que ChatGPT, al responder de manera creativa a enigmas no encontrados durante su entrenamiento, muestra comportamientos similares a los de un alumno que explora una noción compleja con la ayuda de un profesor.

Las implicaciones de este estudio van más allá del ámbito matemático. Plantea cuestiones fundamentales sobre cómo las inteligencias artificiales procesan la información y resuelven problemas inéditos. Los investigadores advierten contra una interpretación demasiado apresurada: si ChatGPT parece "reflexionar", su proceso sigue siendo una caja negra, cuyos mecanismos internos son difíciles de rastrear. Para Andreas Stylianides, resulta esencial enseñar a los estudiantes a evaluar de manera crítica las pruebas generadas por la IA.

El equipo contempla aplicaciones prácticas, como la integración de ChatGPT en herramientas de geometría dinámica o asistentes de demostración, para crear entornos de aprendizaje más interactivos. Al animar a los alumnos a formular prompts precisos –por ejemplo, "Exploremos este problema juntos" en lugar de "Dame la respuesta"–, se podría fomentar una colaboración fructífera entre el ser humano y la máquina, abriendo el camino a nuevos métodos pedagógicos.

El problema de la duplicación del cuadrado

El problema de la duplicación del cuadrado es un enigma geométrico clásico que se remonta a la Grecia antigua. Consiste en construir un nuevo cuadrado cuya área sea exactamente el doble que la de un cuadrado dado. Muchos piensan intuitivamente que basta con duplicar la longitud de los lados, pero en realidad esto cuadruplica el área.

La solución correcta implica utilizar la diagonal del cuadrado original. En geometría euclidiana, la diagonal de un cuadrado de lado 'a' mide a√2. Si se toma esta diagonal como lado del nuevo cuadrado, su área será (a√2)² = 2a², es decir, exactamente el doble del área inicial a².

Este problema ilustra la diferencia entre la intuición geométrica y el razonamiento matemático riguroso. Muestra cómo conceptos aparentemente simples pueden ocultar complejidades que requieren un enfoque analítico en lugar de empírico.

En la educación matemática, este problema suele utilizarse para enseñar el teorema de Pitágoras y las propiedades de las raíces cuadradas, al mismo tiempo que desarrolla el pensamiento crítico frente a las aproximaciones visuales.

La zona de desarrollo próximo en educación

La zona de desarrollo próximo (ZDP) es un concepto clave desarrollado por el psicólogo Lev Vygotsky. Designa la brecha entre lo que un aprendiz puede lograr por sí solo y lo que puede alcanzar con la ayuda de un profesor o un par más competente. Esta zona representa el potencial de aprendizaje inmediato del individuo.

En un contexto educativo, identificar la ZDP de un alumno permite adaptar la enseñanza para que no sea ni demasiado fácil (lo que conduce al aburrimiento) ni demasiado difícil (lo que provoca frustración). El profesor guía al aprendiz a través de problemas accesibles pero estimulantes, favoreciendo así el progreso.

El concepto también se aplica al aprendizaje colaborativo, donde las interacciones entre pares ayudan a cada uno a superar sus límites actuales. La ZDP enfatiza la importancia del contexto social y del apoyo en la adquisición de nuevas habilidades.

Hoy en día, la ZDP inspira enfoques pedagógicos modernos, incluso en el uso de tecnologías educativas, donde herramientas como la IA pueden desempeñar el papel de tutor personalizado, adaptando los ejercicios al nivel de cada aprendiz.