Un nouveau filtre à sauts flous pour le débruitage de séries temporelles
Publié par Redbran le 24/07/2019 à 14:00
Source: CNRS INS2I

Comment analyser des séries temporelles de données qui sont imparfaites et incertaines ? Le travail de chercheurs du LIRIS, de SAMOVAR et de Dhofar Université à Oman les a conduit à étudier des séries chronologiques présentant des transitions progressives entre deux états, comme des températures mesurées durant des alternances jour/nuit. Pour répondre à ce type de problème, les chercheurs ont mis au point (Graphie) un nouvel algorithme exact et rapide de la famille des filtres de Kalman qui prend en compte des états flous. Ces travaux sont présentés dans IEEE Transactions on Fuzzy Systems du 10 juin 2019.

Commençons par le commencement: qu'est-ce qu'un filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.) de Kalman ? Le filtre de Kalman est un algorithme d'estimation optimal. Il est principalement utilisé dans deux configurations:

1- Pour estimer l'état d'un système lorsqu'il ne peut pas être mesuré directement. Exemple: comment contrôler la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et...) à l'intérieur de la chambre de combustion (Une chambre de combustion est une enceinte capable de résister à des changements de pression et de température brusques, dans laquelle on déclenche...) d'un moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue ce...) lorsque les températures sont extrêmes ; par des mesures indirectes à l'extérieur de la chambre. Pour estimer l'état d'un système en combinant des observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude...) provenant de différentes sources de données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) imparfaites. Exemple: le capteur (Un capteur est un dispositif transformant l'état d'une grandeur physique observée en une grandeur utilisable exemple : une tension électrique, une hauteur de mercure, une intensité, la déviation d'une...) inertiel d'un smartphone et l'odomètre (Un odomètre est un instrument de mesure, permettant de connaître la distance parcourue par un véhicule. Pour le piéton, il s'agit du podomètre. Ces dispositifs peuvent être électroniques ou mécaniques.) d'un véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un point à un autre.) fournissent des positions relatives et les données GPS une position absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus généralement par chauffe, puis par...). À quelle position se situe un véhicule à l'intérieur d'un tunnel (Un tunnel est une galerie souterraine livrant passage à une voie de communication (chemin de fer, canal, route, chemin piétonnier). Sont apparentés aux tunnels par leur mode...), c'est-à-dire lorsque les données GPS deviennent elles-mêmes approximatives ?

2- Les applications les plus communes du filtre de Kalman concernent les systèmes de navigation (La navigation est la science et l'ensemble des techniques qui permettent de :), le traitement d'images (poursuite d'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné...) dans les vidéos) et le traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis la nuit des...). L'une des toutes premières applications de ce filtre est associée à la mission Apollo et au guidage de la navette (Une navette spatiale, dans le domaine de l'astronautique, est un véhicule aérospatial réutilisable conçu pour assurer la desserte des stations spatiales en orbite basse mais pouvant aussi assurer d'autres missions, telles que le lancement ou...) vers la lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474 km. La distance moyenne séparant...) dans les années 1960.

Ce travail se situe dans le cadre d'une série de travaux commencés dans les années 2000 qui étudie certaines extensions de ce filtre, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) en conservant l'optimalité et la rapidité de l'algorithme obtenu. Lorsque les observations dépendent de plusieurs modes, comme lors de la poursuite de cibles durant une alternance jour/nuit, le filtre est dit à sauts. Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de l'analyse...), l'originalité du travail consiste à intégrer des sauts flous, par le biais de lois de probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...) mixtes discrète / continue, en combinant mesure de Dirac (Une mesure de Dirac ou masse de Dirac est une mesure supportée par un singleton et de masse totale 1. Plus précisément, pour un espace mesurable (X,Ω) et un point a de X, on appelle mesure de Dirac au point a la mesure,...) et mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.). À titre d'illustration, la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) simulée d'une chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) de Markov à sauts flous est représentée dans la figure 1.


Figure 1: Simulation d'une chaîne de Markov à sauts flous de longueur 150 (les sauts durs étant '0.0' et '1.0').

Dans la pratique, il existe de nombreuses situations où une représentation par sauts durs '0' et '1' n'est pas suffisante. Prenons l'exemple suivant, où l'on cherche à expliquer la consommation d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) d'un bâtiment à partir de mesures sur la température extérieure (figure 2). Nous sommes typiquement dans la première configuration d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) des filtres de Kalman.


Figure 2: Puissance électrique consommée par un bâtiment (kiloWatt) et température extérieure (degré Farenheit) durant 7 jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du...).

Le profil journalier typique de la température extérieure présente une forme avec deux paliers: ces paliers sont atteints lors des températures les plus basses et les plus hautes de la journée, typiquement entre 1h et 5h, et entre 13h et 17h. Entre ces paliers les températures augmentent ou diminuent progressivement. Pour traiter ces données avec le filtre proposé, les chercheurs ont considéré que les observations modélisent la température extérieure alors que les états modélisent la consommation d'énergie.

En termes de résultat, le calcul de l'erreur quadratique moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de...), l'un des critères pour lequel le filtre de Kalman est optimal, montre une amélioration notable des résultats par rapport à une modélisation plus classique à sauts durs. La figure 3 illustre la qualité de l'estimation de la consommation d'énergie obtenue par le filtre, par comparaison avec la vérité-terrain.


Figure 3: Comparaison entre l'estimation de la consommation énergétique et la vérité-terrain.

Référence publication:
Z. Bouyahia, S. Derrode and W. Pieczynski, Filtering in Gaussian Linear Systems with Fuzzy Switches, IEEE Trans. on Fuzzy Systems, accepted June 2019.

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