Mesure de Lebesgue
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La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.

Définition formelle de la mesure de Lebesgue

Soit (\R,B(\R)) l'espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) \R muni de sa tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont...). Il existe une unique mesure notée λ sur cet espace mesurable qui possède les deux propriétés suivantes :

  1. \forall a \in \R , \forall A \in B(\R), \lambda(a + A)=\lambda(A) (invariance par translation de la mesure de Lebesgue)
  2. \lambda ( [0;1] )=1 \,.

Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.) sur \R. De plus, on peut montrer qu'elle coïncide avec la notion de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet,...) sur les intervalles, c'est-à-dire que la mesure de Lebesgue d'un intervalle est égale à la longueur de cette intervalle : par exemple, \lambda ( [ 1 ; 9 ] ) =9-1=8\,. De la même manière, \lambda ( ] -4 ;8] )= 8 - (-4) = 12\,. Il est à noter que ce n'est pas de cette façon que Lebesgue a introduit historiquement cette mesure.

Remarque : si a \in \R et A \subset \R , on a noté a + A\, l'ensemble : \{ a + x , x \in A \}

Propriétés de la mesure de Lebesgue

  • La mesure de Lebesgue est finie sur les compacts, ce qui signifie que :
\forall K \, \mbox{compact de }\R, \lambda(K) < + \infty

En particulier, \forall n \in \N , \lambda( [-n;n] ) = 2n < + \infty \,. Et puisque \R est égal à l'union de tous les boréliens [-n;n]\, quand n parcourt \N , on dit que la mesure de Lebesgue est σ-finie.

  • La mesure de Lebesgue est extérieurement régulière, ce qui signifie que :
\forall A \in B(\R), \lambda(A)= \inf \{\lambda(O), O \mbox{ ouvert de }\R,\,A \subset O \} .
  • La mesure de Lebesgue est intérieurement régulière, ce qui signifie que :
\forall A \in B(\R), \lambda(A)= \sup \{\lambda(K), K \mbox{ compact de }\R,\,K \subset A \} .

Tribu de Lebesgue

On vient de voir que la mesure de Lebesgue est une mesure sur la tribu borélienne de \R. Cependant, cette tribu n'est pas la plus grosse sur laquelle on puisse définir cette mesure.

Ensemble négligeable (En théorie de la mesure, un ensemble négligeable ou un ensemble de mesure nulle est une partie d'un ensemble mesuré dont la définition dépend de la...) pour la mesure de Lebesgue

Soit N\, une partie de \R. On dit que N\, est un ensemble négligeable pour la mesure de Lebesgue s'il existe un borélien A \in B(\R) tel que :

  1. N \subset A
  2. \lambda(A)=0 \quad \,

Les parties négligeables de \R sont donc les ensembles inclus dans un borélien de mesure de Lebesgue nulle. On note N_{\lambda}\, l'ensemble des parties négligeables de \R.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la tribu de Lebesgue

Par définition, la tribu de Lebesgue sur \R, notée L(\R), est la tribu engendrée par l'union de B(\R) et de N_{\lambda}\, . On montre en fait qu'elle est égale à :

L(\R) = \sigma ( \{ A \cup N , A \in B(\R) , N \in N_{\lambda} \})

La tribu de Lebesgue est donc la tribu engendrée par les ensembles qui s'écrivent comme l'union d'un borélien et d'un ensemble négligeable. Puisque l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) est de mesure de Lebesgue nulle et que l'union d'un borélien avec l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est égal à ce même borélien, il en résulte que la tribu de Lebesgue contient la tribu borélienne.

Contrairement à ce qu'on pourrait penser, la tribu de Lebesgue n'est pas égale à P(\R) (l'ensemble des parties de \R) et ce résultat s'obtient grâce à l'utilisation de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit...) du choix. En d'autres termes, il existe une partie de \R qui n'est pas dans la tribu de Lebesgue ; voir ensemble non-mesurable.

Extension de la mesure de Lebesgue

Maintenant qu'on a défini la tribu de Lebesgue, on peut voir qu'on peut étendre la mesure de Lebesgue sur cette tribu de telle sorte que la nouvelle mesure obtenue coïncide avec la mesure de Lebesgue sur les boréliens.

On pose, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) borélien A\, et pour tout ensemble négligeable N\, :

\Lambda(A \cup N) = \lambda ( A ) .

On peut montrer que Λ est bien définie et que c'est une mesure sur la tribu de Lebesgue.

L'espace mesuré (\R,L(\R),\Lambda) est alors ce qu'on appelle un espace mesuré complet, ce qui signifie qu'il contient tous ses ensembles négligeables. Autrement dit, si N est une partie de \R telle qu'il existe B \in L(\R) avec \Lambda(B)=0 \quad et N \subset B alors N \in L(\R). On dit aussi que la tribu de Lebesgue est la tribu complétée de la tribu borélienne pour la mesure de Lebesgue.

Cardinal de la tribu de Lebesgue

Intuitivement, on sent bien que la tribu de Lebesgue sur \R est beaucoup plus grosse que la tribu borélienne. On prouve cela rigoureusement en montrant que :

  1. \mbox{card}\,(L(\R)) = \mbox{card}\,( P(\R) )
  2. \mbox{card}\,(B(\R)) = \mbox{card}\,(\R)

Dit autrement, cela signifie que la tribu de Lebesgue est en bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans...) avec l'ensemble des parties de \R (bien qu'elle ne lui soit pas égale lorsqu'on suppose que l'axiome du choix est vrai) alors que la tribu borélienne est simplement en bijection avec \R. Or il est bien connu en théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) que \R n'est pas en bijection avec P(\R) (et plus généralement, cela est vrai pour n'importe quel ensemble). En conséquence, on ne pourra jamais trouver une bijection entre la tribu de Lebesgue et la tribu borélienne, ce qui veut bien dire que la tribu de Lebesgue contient plus d'éléments que la tribu de Borel. Il résulte qu'on a l'inclusion stricte suivante :

B(\R) \subsetneq L(\R)

Mesure de Lebesgue sur \R^{n}

On considère à présent l'espace mesurable (\R^{n},B(\R^{n})), c'est-à-dire l'espace \R^{n} muni de sa tribu borélienne. On va voir qu'on peut définir la mesure de Lebesgue sur cet espace. Plus généralement, on peut définir les mesures de Lebesgue sur les espaces vectoriels euclidiens.

Théorème-définition

Il existe une unique mesure sur l'espace (\R^{n},B(\R^{n})), qu'on notera \lambda_{n}\, telle que :

  1. \forall a \in \R^{n}, \forall A \in B(\R^{n}),\lambda_{n}(a+A)=\lambda_{n}(A)\, (invariance par translation)
  2. \lambda_{n}([0;1]^{n})=1\,

Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue sur (\R^{n},B(\R^{n})).

Explications

Prenons le cas de \R^{2}. La mesure de Lebesgue \lambda_{2}\, sur cet espace coïncide sur les rectangles de la forme [a;b] \times [c;d]\, avec la notion d'aire de ceux-ci. En effet, on prouve qu'on a \lambda_{2}([a;b] \times [c;d])=(b-a)(d-c)\,. Plus généralement, la mesure de Lebesgue \lambda_{2}\, d'un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y...) borélien de \R^{2} correspond à notre définition intuitive de l'aire : par exemple, la mesure de Lebesgue d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) de rayon a \, est égale à : \pi . a^{2}\,. De la même manière, si on considère l'espace \R^{3}, la mesure de Lebesgue \lambda_{3}\, sur cet espace correspond à notre défintion intuitive du volume, et c'est donc sans surprise que la mesure de Lebesgue d'une boule de rayon a \, vaut \frac{4}{3} . \pi . a^{3}.

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