Intégration par parties

En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où f et g sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition.

ou encore

où u représente une partie de l'intégrande et dv représente l'autre partie ainsi que la variable d'intégration

Démonstration

La démonstration de cette formule est très simple : en effet, elle découle directement de la propriété de dérivation d'un produit de fonctions u et v : $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$. On a donc :

Ce qui donne bien la propriété énoncée ci-dessus.

Cette démonstration peut également être faite à l'aide de la notation de Leibniz. Soit deux fonctions dérivables u et v. La règle de la dérivation d'un produit nous donne :

En multipliant par dx on obtient :

d(u**v) = udv + vdu

On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :

udv = d(u**v) − vdu

Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :

On obtient alors :

On peut généraliser cette formule aux fonctions de classe C

Il est à noter que la règle employée pour dériver est l'ordre LPET. L'on commence par les fonctions logarithmiques puis polynomiales, exponentielles et enfin trigonométriques.

Effectuons le calcul de :

grâce à une intégration par parties. Pour cela, nous posons :

f(x) = x, de telle sorte que f'(x) = 1,

g'(x) = cos(x), de telle sorte que g(x) = sin(x), par exemple.

Il vient :

Effectuons le calcul de l'intégrale indéfinie suivante :

Pour l'intégration par parties posons :

u = x et d**v = edx

Nous avons donc :

d**u = d**x et v = e

Utilisons la formule de l'intégration par parties :

L'intégrale est maintenant beaucoup plus simple à calculer. On trouve :