enigme mathématique

Oui hein !! Vu comme je suis une bête en math

c'est de la thermo, même pas des maths... bon mes marmottes!

bongo1981

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Khainyan
y a des problèmes sinon.. c'comme des énigmes:
soit trois marmottes A,B et C qui se déplacent (en mangeant) de tel sorte que A va toujours vers B, B vers C et C vers A... (elles ont la même vitesse).
A quel instant se rencontrent elles?...

Salut, ça dépend si elles se trouvent sur un cercle ou non, car il est possible qu'elles ne se trouvent pas sur un cercle, et donc elles se déplacent sur un arc de cercle (pense à un triskel)

Il me semble (enfin... je suis sûr) que trois points sont cocycliques (appartiennent au même cercle) sauf si ces 3 points se trouvent dans une configuration particulière : quand ces points sont alignés.
Pour la réponse à l'énigme j'en sais trop rien... j'ai pas encore vraiment réfléchi

Salut, je me disais ça :

A va vers B, qui va vers C, qui va vers A...Ils finissent par se rencontrer non ?
Et oui, ils se trouvent sur un cercle ou aux sommets d'un triangle équilatéral.

yaiseuh. Mais ma question c'était à quel instant ils se rencontrent pas la courbe :/ (tiens t'as qu'à me dresser son équation au passage).

si pas d'erreur:
soit d la distance AB
v la vitesse de chacun

ABC est un triangle equilateral et est inscrit dans un cercle de rayon R=d＊sqrt(3)/3 (sqrt= racine carre)
A chaque pas fait, les points se dirigent les uns vers les autres et se rencontrent au centre du triangle . La trajectoire decrite par chacun decrit un arc de cercle. Cet arc de cercle appartient a un cercle de rayon R (retrouvable par construction geometrique) et est egal a 1/6 du perimetre de ce cercle (propriete des triangles equilateraux)

Dc la distance parcourue est
D=2＊pi＊R/6=pi＊R/3
avec R=d＊sqrt(3)/3

v=D/t dc si t different de 0 (et v aussi)
t=D/v=pi＊d＊sqrt(3)/(9＊v)

Bon ok la demo est un poil bancale mais a priori ca doit etre le bon resultat

buck tu me justifie en rien que c'est un arc de cercle... qu'est ce que t'en sais? (surtout que avec certaines conditions initiales je suis sûr que c'est pas un arc de cercle..mais on sort du problème.)
Donc je veux une vrai démo .

Je trouve un temps infini... mais je dois m'être planté...

Je trouve t = 2 ＊ R / (sqrt(3) V)

Mais je me suis certainement planté ...

Comme leurs distances restent constamment égales entre-elles, les marmottes restent sur un triangle équilatéral qui devient de plus en plus petit et qui tourne. J'ai vaguement essayé de dessiner çà et ça me donne des trajectoires qui n'ont pas vraiment l'allure de cercles...
.... A part ça

t=L/(V＊cos(30)) ? L est leur distance à t0 du centre du triangle équilatéral

ah oui bongo tu t'es planté. michel ton raisonnement est bon: conservation du triangle équilatéral. mais aussi conservation des tous les angles.
On appelle 0 le centre de triangle équlatéral qui correspond de manière évidente au point où ils vont de rencontrer. On se place en coordonnées polaires... et je vous laisse continuer
ensuite équation d'la courbe, distance parcourue...

J'ai trouvé mon erreur... dans mon équa diff, la vitesse tend vers 0...
Par contre là je tombe sur une équation... pas triviale à résoudre :

zA c'est évidemment l'affixe du point A (ABC le triangle équilatéral qui a pour centre O).

En passant en module et argument, j'arrive à résoudre l'équation :

où rho_0 est le rayon du cercle circonscrit. Je m'emballe un peu... je trouve :

où d est le côté du triangle équilatéral

me suis mis en coord cylindrique, le vecteur vitesse fait toujours un angle de 30° avec le vecteur er. Donc d/dt (r) = V＊cos(30)

oulah.. c'quoi ça bongo?
bon euh la solution..:
alors temps: t1= 2d/3V où d désigne la longueur d'un côté du triangle initial et V la norme de la vitesse (qui est la même pour tous).
et la distance parcourue: d1= (2/3)d

Démo:on se place dans le repère polaire (O,r;T) (T comme téta)
La droite OA correspond à l'axe Oy du repère orthonormé cartésien associé( l'axe Ox ne correspond à rien du tout). On appelle Ta l'angle (Ox,OA).
On a |Va|=|Vb|=|Vc|=V quelque soit t.
Et Tc=Tb+(2pi/3)=Ta+(4pi/3)
Or Va(t)=dRa/dt er + 2RA dTa/dt eT où er, eT vecteurs unitaire du repère polaire.
Il y a une autre relation que je vous laisse trouver et on obtient Va(t)=-sqrt(3)/2 V +R(0)
D'où t= 2R(0)/(sqrt(3)V) et R(0)=d/sqrt(3)

d'où le résultat.

Khainyan
alors temps: t1= 2d/3V où d désigne la longueur d'un côté du triangle initial et V la norme de la vitesse (qui est la même pour tous).

J'ai un racine de 3 en facteur en plus

Khainyan
Démo:on se place dans le repère polaire (O,r;T) (T comme téta)
La droite OA correspond à l'axe Oy du repère orthonormé cartésien associé( l'axe Ox ne correspond à rien du tout). On appelle Ta l'angle (Ox,OA).
On a |Va|=|Vb|=|Vc|=V quelque soit t.
Et Tc=Tb+(2pi/3)=Ta+(4pi/3)

Ca tu peux le faire indépendamment de la position de A

Khainyan
Or Va(t)=dRa/dt er + 2RA dTa/dt eT

ch'uis pas trop d'accord pour la vitesse, pourquoi un facteur 2 ?

Khainyan
où er, eT vecteurs unitaire du repère polaire.
Il y a une autre relation que je vous laisse trouver et on obtient Va(t)=-sqrt(3)/2 V +R(0)

là c'est pas trop homogène ? si ?

Khainyan
D'où t= 2R(0)/(sqrt(3)V) et R(0)=d/sqrt(3)

d'où le résultat.

Je vais essayer d'expliquer comment je fais... j'ai probablement fait une erreur mais je trouve pas

Dans le plan complexe on a les points A, B, C d'affixes respectives zA, zB, zC.
L'on a défini le vecteur vitesse de A : dzA/dt qui est dirigé vers zB (donc c'est zA tourné de 2pi/3), d'où l'équation :

Pour la résolution, je décompose en module et argument (ce qui revient au même que les coordonnées polaires au final) :

L'équation devient :

Khainyan
oulah.. c'quoi ça bongo?

Démo:on se place dans le repère polaire (O,r;T) (T comme téta)
La droite OA correspond à l'axe Oy du repère orthonormé cartésien associé( l'axe Ox ne correspond à rien du tout). On appelle Ta l'angle (Ox,OA).
On a |Va|=|Vb|=|Vc|=V quelque soit t.
Et Tc=Tb+(2pi/3)=Ta+(4pi/3)
Or Va(t)=dRa/dt er + 2RA dTa/dt eT où er, eT vecteurs unitaire du repère polaire.
Il y a une autre relation que je vous laisse trouver et on obtient Va(t)=-sqrt(3)/2 V +R(0)
D'où t= 2R(0)/(sqrt(3)V) et R(0)=d/sqrt(3)

d'où le résultat.

oulah.. c'quoi ça Khainyan ?

Je ne sais pas vous, mais moi je demanderais un dessin et pas d'impasse dans la démo....
("Il y a une autre relation que je vous laisse trouver")

erreur dans ma formule... c'est v(t)=sqrt(3)/2V＊t+R(0)
lol je ferais un dessein à l'occaz.. l'autre relation j'vous laisse la trouver cer faut un dessein pour

(donc c'est zA tourné de 2pi/3)

5pi/6

Ze Venerable

(donc c'est zA tourné de 2pi/3)

5pi/6

Sûr ?
Pour moi, on cherche l'angle entre OA et AB.
En passant par les affixes, cela revient à regarder zB-zA = zA(exp(i 2pi/3) -1) = zA(-3/2 +i sqrt(3)/2) = sqrt(3)zA (-sqrt(3)/2 +i/2)
Ah vi vi c'est bien 5pi/6.

Du coup si je refais mes calculs...

d rho/dt = -v＊sqrt(3)/2
rho(t) = rho_0 - sqrt(3)/2＊vt

D'où :
T = rho_0/v ＊ 2/sqrt(3) = d/v ＊ sqrt(3)/3 ＊ 2/sqrt(3) = 2/3 ＊ d/v

Je retrouve bien la même chose.
Merci Ze Venerable

bon la distance et paramétrage de la courbe maintenant siouplait.

je me permets d'insister.... un p'tit schéma siouplait d'abord...

parcourir à la vitesse v pendant la durée 2/3 d/v ça donner 2/3 d (c'est assez évident ).

rho(t) = rho_0 - sqrt(3)/2＊vt

On doit résoudre l'autre équation en theta :
dtheta/dt = v/(rho_0＊2) / (1 -sqrt(3)/2 ＊ vt/rho_0)

theta(t) = theta_0 + 1/sqrt(3) ＊ ln(1-sqrt(3)/2 ＊ vt/rho_0)

rho ?
....

rooooooooooooo !!!!

bon, ok , je sors....

(Comme certainement la plupart des membres du forum, d'ailleurs, on vous laisse entre pro des démos pleines de raccourcis)

Le seul post intéressant (même s'il n'est pas tout à fait juste, il est très intuitif) depuis le début de cette énigme est celui-là, je pense:

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Salut, je me disais ça :

A va vers B, qui va vers C, qui va vers A...Ils finissent par se rencontrer non ?
Et oui, ils se trouvent sur un cercle ou aux sommets d'un triangle équilatéral.

bon c un peu naze mais j'ai dessiné ca:

donc à chaque instants les 3 bestioles A,B,C forment un triangle équi centré au point O, qui est fixe.
Les vecteurs bleus ex et ey sont fixes.

Le vecteur er (en vert) est constamment dirigé vers A; il tourne par rapport à ey. L'autre vecteur vert e_théta est orthogonal à er.
On note théta l'angle que fait er avec ey, et rho la distance entre A et O.

le Point A a pour vitesse le vecteur V, de norme constante, et qui est toujours dirigé vers B. Comme ABC tringle équi, alors le vecteur V fait toujours un angle de 180-30=150° par rapport au vecteur er (l'angle OAB est de 30°, car OA est une bissectrice)

On note d la longueur à l'instant initial des côtés du triangle

Michel
Le seul post intéressant ...

Merci !

une nouvelle "énigme":
Deux trains distants de 50km se dirigent l'un vers l'autre... ils vont tous deux à 50km/h.
Une mouche volant à 100km/h (oui c'est SM, Super Mouche) fait des aller retour entre les trains. Quelle distance aura parcouru la mouche quand les deux trains vont se rencontrer?

Salut,

D'où part la mouche ? Si c'est du milieu, ou si c'est de l'un des trains, c'est pas la même histoire...

ps : je n'ai aucune idée de la formule mathématique mais :
V = D/T
donc T = D/V
ou alors D = V＊T
et bla bla bla, formule de machin...bravo buck

ps : tu aurais pu parler de marmotte à la place de mouche, j'aurais trouvé

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S
et bla bla bla, formule de machin...bravo buck

quoi que j'ai fait ?

Khainyan : la distance c'est 100＊sum( 1 a n de 1/3^k)=100/2 soit 50km

C'est pas tout à fait ça buck, et puis il y a une manière toute simple de trouver (je la connaissais)

C'est bien plus simple

...
J'ai calculer les moments ou la mouche rencontre le 2 eme train, puis reviens au premier ... et ca donne une serie qui chez moi donne ca ...
Apres bon ...

++ fred vexe

t'as compté les allez retour?
lol buck

ben c'est la première idée qui vient à l'esprit, pis ca ce fait assez facilement aussi.
T'as pas mis un 2 en facteur alors que tu n'aurais pas du ? Moi j'ai pas un x100 mais un x50, et dans le sum pas des 1/3 mais des 2/3.

lol mais lol vous insistez avec votre somme?^^

X=vm＊t (la mouche part du premier train)
x=-vt2＊t+d (distance parcourue par le second train

ca donne t=d/(vm+vt2)=1/3
la distance parcourue par la mouche devient 100/3
le train 1 est a 50/3 et le trian 2 est a 100/3 distance restant a parcourir d2=50/3

retour
j’ai les meme equations que le depart
t2=d2/150=50/(3＊150)=1/9
distance parcourue par la mouche= 100/9
distance ou sont les trains:
t1: 50/3+1/9＊50=200/9=22,2
t2=50-50/3-50/9=250/9=27,22

distance entre les 2 trains: : d3=250/9-200/9=50/9=5,55

la mouche repart:
t3=d3/150=50/(9＊150)=1/27
distance parcourue par la mouche=100/27
distance ou sont les trains:
t1=50/3+50/9+50/27=650/27
t2=50-t1=700/27
d4=50/27

…
Et on continue et dc j’ai
Dm= 100/3+100/9+100/27+…+… 100/3^n+…
J’obtiens 50 km….

Et l’autre qu’il arrete de se foutre de la gueule du monde …

Je donne un indice ? On connait la vitesse de la mouche... pour calculer la distance parcourue... il suffit de chercher quoi ?
(même si buck a trouvé la réponse... ben il y avait quand même beaucoup plus simple !)

ahahha chuis mdr buck^^ prends un peu de recul...

plus simple possible mais bon on a le choix de faire comme on veux non ?
et puis ma methode est plus generalisable (vitesses non constantes ...)

Khainyan
une nouvelle "énigme":
Deux trains distants de 50km se dirigent l'un vers l'autre... ils vont tous deux à 50km/h.
Une mouche volant à 100km/h (oui c'est SM, Super Mouche) fait des aller retour entre les trains. Quelle distance aura parcouru la mouche quand les deux trains vont se rencontrer?

Bon, je viens de relire l'énoncé. Toujours lire jusqu'à la totale compréhension du sujet !!!

Chaque train aura fait 25km, clash au bout d'une demi heure.
La mouche aura fait 50km

.... ben toutes mes excuses, j'avais mal lu l'énoncé, je t'ai fait détailler ton raisonnement pour rien, c moi qui avait faux ...
Pourtant je l'ai lu plusieurs fois, mais je comprenais systématiquement que 50km/h c'était la vitesse relative entre les 2 trains

Sinon pour l'énigme des 3 points quelqu'un a trouvé ? Je vais peut être faire ch＊＊＊ mon monde mais j'aime pas laisser une énigme en suspent

Ze Venerable
.... ben toutes mes excuses, j'avais mal lu l'énoncé, je t'ai fait détailler ton raisonnement pour rien, c moi qui avait faux ...
Pourtant je l'ai lu plusieurs fois, mais je comprenais systématiquement que 50km/h c'était la vitesse relative entre les 2 trains

no pb
desole khainyan aussi (mais bon pas bien de se foutre du monde aussi meme si la methode est bourrine !!! )

kum
Sinon pour l'énigme des 3 points quelqu'un a trouvé ? Je vais peut être faire ch＊＊＊ mon monde mais j'aime pas laisser une énigme en suspent

ahhhh, merci kum, content de n'être pas le seul à n'avoir pas compris les solutions proposées

voilà je reprends ce qui a été dit :

à t0, rho(t) = L
Le point important c'est de remarquer que d/dt (rho) = -V＊cos(30)
Donc T le temps pour les marmottes de seretrouver en O est L/(V＊cos(30))

On peut écrire T autrement : avec d le côté du triangle à l'instant initial, L=d＊ sqrt(3) / 3 (L rayon du cercle circonscrit au triangle);
et cos(30) = sqrt(3) / 2

alors T = (2/3)＊(d/V)

Je pense que j'ai compris, il m'a fallu un certain temps même avec ton "explication" mais j'ai compris

(et ton "ou pas" m'a perturbé^^)

Ha oui ? Il était pourtant là plutôt pour apaiser... De toute façon, il ne marchait plus très bien, alors je l'ai jarté