fonction sinus

Applique le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [0, x]

le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [0, x], je ne connais pas du tout

Si je me souviens bien tu fait la derivée de sinx-x et tu cherche les valeurs extremes. Je crois que c est comme ca qu on fait

J'ai pensé a faire ça, mais est ce suffisant pour demonntrer cela ?
Sacahnt que si on prend un valeur très petite 0.00001, f(0.00001) environ égale a 0.00000999987, donc comment prouver ça ?

Ca n ' a pas besoin d'etre prouvé par des valeurs num.

Il faut les valeurs en 0 et 1 (ou -1)

Tu regarde suivant le signe de la deriv si ca croit ou pas et en tenant compte des valeurs en 1 et 0 tu en deduit si sinx<x ou pas

le th. des accr. finis dit que comme sin est continue et dérivable sur 0,x alors il existe D tel que:

sin (x) - sin (0) = (x - 0) . sin' (D.x) avec 0 < D < 1

c'est à dire

sin (x) = x . cos (D.x)

Comme 0 < D < 1 , alors | cos(D.x) | < 1

et donc

ce qui est ce que tu voulais démontrer.

Sinon, sans ce théoreme, il faut étudier le signe de
f(x) = x - sin(x) en établissant le tableau de variation de f entre par exemple -PI/2 et +PI/2. Là où f(x) sera positive, x sera au dessus de sin(x) et vice-versa.

plus intuitivement,
la dérivée de sin x est cos x.
Or cos x < 1
Donc sin x croît moins vite que x.
Et comme ces deux fonctions partent du point 0, alors sin x reste forcément en dessous de x.

C'est la même chose que le th des accroissements finis.

J'ai eut la premiere question dans mon controlesur les derivees. Voilala methode:

Soit f(x) def par f(x)=x-sin x. f est derivable sur R et f'(x)=1-cos x.
De plus cos x est compris entre -1 et 1 . -cos x aussi entre -1 et 1 donc 1-cos x est positif ou nul donc f'(x) est positif ou nul donc f est croissante sur [0;+infini]. De plus f(0)=0-sin 0=0 donc f(x)est croissante pour x appartient a [0:+infini] donc x-sin x positif ou nul donc :
x sup ou egal a sin x (pou r tt x positif ou nul)

Bon, ce parait car je ne peut pas mettre trop de symboles.
Pour prouver que sin(x) supérieur ou égale a x lorsque x inferieur ou égale a 0" ca doit etre pareil...
Ok a vous mnt

je pense que les développements limités te seraient utiles dans ce cas mais je peux me tromper.

f(x) = x - sin x
f est dérivable sur R car elle est composée de fonctions dérivables
f'(x) = 1 - cos x

or :
-1< cos x < 1
-1 < -cos x < 1
1 - cos x = f(x) > 0 donc la fonction est croissante sur ]-inf ; +inf[

f(x) = 0
x - sin x = 0
x = sin x
x=0 (et par conséquent aussi f(0) = 0)

comme f(x) est croissante sur ]-inf ; +inf[ et nulle ssi x=0 si x<0 on a f(x) < 0 donc sin > x

C'est juste ou pas ?

Il faut raisonner sur x>0
Ensuite utiliser la parite de la fonction pour x<0

(desole je suis aux USA, donc pas d'accent)

donc c'est faux ce que j'ai fait?

non c'est juste.
Mais c'est presque trop compliqué.

La méthode des accroissements finis, comme proposait michel, revient exactement à la même chose, mais en plus simple.

Ok mais bon je la connais pas cette méthode XD

tu l'as sans doute remarqué mais ton inégalité stricte sur le cos est pas top rigoureuse

A cause des "supérieur ou egal" ou "strictement supérieur" ? Oui je sais que c'est pas tiptop mais c'est chiant a bien ecrire avec le pc :/