Durante mais de três anos, o jogo de raciocínio online Digit Party às vezes indicava aos jogadores uma pontuação perfeita… que, na realidade, era impossível de alcançar.
O princípio do jogo é simples. Uma grelha contém 25 casas, nas quais o jogador coloca progressivamente números. Valores idênticos dão pontos quando se tocam, inclusive na diagonal. Três 8 juntos podem assim render 24 pontos, enquanto um 8 isolado não rende nada.
Duas grelhas apresentando duas disposições diferentes com o mesmo sorteio, mostrando várias conexões.
No fim de uma partida, o Digit Party também exibe a melhor pontuação teoricamente possível. Era esse número que causava o problema. Os seus criadores, os matemáticos Vincent Vatter e Robert Brignall, sabiam calcular um valor que nenhum jogador poderia ultrapassar. Mas esse limite nem sempre era realmente alcançável.
Para entender porquê, é preciso olhar para a grelha como um problema de organização. Separadamente, cada grupo de números tem uma disposição ideal: os 4 juntos, os 8 juntos, etc. Mas todas essas disposições precisam depois de partilhar as mesmas 25 casas. E, às vezes, aquilo que é perfeito para um grupo impede outro grupo de obter a sua melhor disposição.
Por outras palavras, somar os melhores resultados possíveis para cada número não produz necessariamente o melhor resultado de toda a grelha. Era precisamente isso que enganava o jogo. Entre 1 096 grelhas diárias propostas ao longo de três anos, 55 apresentavam assim um objetivo inalcançável. O erro permanecia pequeno: cerca de dois pontos em média e seis no máximo, para pontuações geralmente entre 150 e 200.
Faltava encontrar um método suficientemente rápido para corrigir o problema. Em teoria, o Digit Party pode produzir cerca de 13,9 milhões de sorteios diferentes. Os investigadores, contudo, perceberam que muitos são semelhantes do ponto de vista matemático. O que importa sobretudo é quantas vezes cada número aparece, e não o seu valor exato.
Ao agruparem os sorteios com a mesma estrutura, reduziram os milhões de possibilidades a 1 291 casos básicos. Em 891 casos, todos os grupos de números podem alcançar a sua melhor disposição ao mesmo tempo. Nos outros 400, é preciso aceitar perder alguns pontos nalgum lugar.
Os investigadores calcularam então antecipadamente os compromissos mais vantajosos. Se a grelha não permitir, por exemplo, agrupar perfeitamente todos os 4 e todos os 8, pode ser preferível sacrificar alguns pontos nos 4. Os 8 valem mais e podem compensar essa perda. O jogo pode agora encontrar imediatamente o verdadeiro máximo correspondente a cada sorteio.
Esta história junta-se a um problema clássico de otimização: várias escolhas excelentes tomadas separadamente não formam necessariamente a melhor solução global. Encontramos o mesmo princípio quando é preciso organizar horários, carregar um veículo ou distribuir tarefas numa fábrica.
Uma outra questão continua em aberto. Conhecer a pontuação máxima ainda não diz como um jogador deve jogar para a alcançar, pois os números só aparecem um de cada vez. Nem mesmo os dois criadores do Digit Party sabem ainda qual é a melhor estratégia.