Pendant plus de trois ans, le jeu de réflexion en ligne Digit Party a parfois indiqué aux joueurs un score parfait… qu’il était en réalité impossible d’atteindre.
Le principe du jeu est simple. Une grille contient 25 cases, dans lesquelles le joueur place progressivement des nombres. Des valeurs identiques rapportent des points lorsqu’elles se touchent, même en diagonale. Trois 8 regroupés peuvent ainsi rapporter 24 points, alors qu’un 8 isolé ne rapporte rien.
Deux grilles présentant deux arrangements différents avec le même tirage, montrant diverses connexions.
À la fin d’une partie, Digit Party affiche aussi le meilleur score théoriquement possible. C’est ce nombre qui posait problème. Ses créateurs, les mathématiciens Vincent Vatter et Robert Brignall, savaient calculer une valeur qu’aucun joueur ne pouvait dépasser. Mais cette limite n’était pas toujours réellement accessible.
Pour comprendre pourquoi, il faut regarder la grille comme un problème de rangement. Pris séparément, chaque groupe de nombres possède une disposition idéale : les 4 ensemble, les 8 ensemble, etc. Mais tous ces arrangements doivent ensuite partager les mêmes 25 cases. Et parfois, ce qui est parfait pour un groupe empêche un autre groupe d’obtenir sa meilleure disposition.
Autrement dit, additionner les meilleurs résultats possibles pour chaque nombre ne donne pas forcément le meilleur résultat de toute la grille. C’est précisément ce qui trompait le jeu. Sur 1 096 grilles quotidiennes proposées en trois ans, 55 affichaient ainsi un objectif inaccessible. L’erreur restait faible : environ deux points en moyenne, et six au maximum, pour des scores généralement compris entre 150 et 200.
Restait à trouver une méthode assez rapide pour corriger le problème. En théorie, Digit Party peut produire environ 13,9 millions de tirages différents. Les chercheurs ont toutefois remarqué que beaucoup se ressemblent du point de vue mathématique. Ce qui compte surtout, c’est combien de fois chaque nombre apparaît, pas sa valeur exacte.
En regroupant les tirages ayant la même structure, ils ont réduit les millions de possibilités à 1 291 cas de base. Dans 891 cas, tous les groupes de nombres peuvent atteindre leur meilleur arrangement en même temps. Pour les 400 autres, il faut accepter de perdre quelques points quelque part.
Les chercheurs ont alors calculé à l’avance les compromis les plus avantageux. Si la grille ne permet pas, par exemple, de regrouper parfaitement tous les 4 et tous les 8, sacrifier quelques points sur les 4 peut être préférable. Les 8 valent davantage et peuvent compenser cette perte. Le jeu peut désormais retrouver immédiatement le véritable maximum correspondant à chaque tirage.
Cette histoire rejoint un problème classique d’optimisation : plusieurs choix excellents pris séparément ne forment pas nécessairement la meilleure solution globale. On retrouve le même principe lorsqu’il faut organiser des horaires, remplir un véhicule ou répartir des tâches dans une usine.
Une autre question reste ouverte. Connaître le score maximal ne dit toujours pas comment un joueur doit jouer pour l’atteindre, car les nombres n’apparaissent qu’un par un. Même les deux créateurs de Digit Party ne savent pas encore quelle stratégie est la meilleure.