Calculs de haute précision à partir d'une somme divergente pour des fermions interagissant fortement
Publié par Redbran le 07/12/2018 à 14:00
Source: CNRS-INP
Des physiciens viennent de développer une nouvelle approche pour resommer les sommes divergentes qui apparaissent lors de calculs concernant les systèmes de fermions fortement corrélés, tout en contrôlant la précision de ces calculs. Ils ont validé cette approche en déterminant le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base...) de "contact" pour un gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme...) de Fermi unitaire avec une précision bien meilleure que les calculs habituels. Ce résultat se révèle en outre en très bon accord avec les mesures effectuées sur des gaz d'atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner...) fermioniques ultrafroids en forte interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.).


Exemple de processus pris en compte dans le calcul. Les flèches représentent des fermions, et les rectangles représentent des paires de fermions. Ces paires sont des bosons. Cette représentation s'avère particulièrement pertinente pour le gaz de Fermi unitaire, qui se situe à mi-chemin de la transition entre une physique purement fermionique (pour une faible attraction entre fermions) et purement bosonique (pour une forte attraction, deux fermions formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est haute et inversement. Chaque voyelle se caractérise par son timbre...) une paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) fortement liée)

Comprendre de manière fine et précise le comportement des particules qui constitue les noyaux atomiques ou les supraconducteurs à haute température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du...) est un défi pour les théoriciens. La difficulté majeure tient à la nature de ces systèmes quantiques: ils sont composés de particules élémentaires en interactions et très fortement corrélées les unes aux autres. De surcroît, les paramètres physiques sont très difficiles à mesurer ou contrôler, ce qui complexifie à l'extrême les comparaisons entre théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) et expérience. Pour cette raison, depuis une dizaine d'années, les physiciens utilisent comme banc d'essai des gaz d'atomes refroidis à des températures très proches du zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une...) absolu, en particulier dans le régime d'interaction maximale appelé “gaz de Fermi unitaire”. Dans ce système, ils mesurent aujourd'hui très précisément diverses grandeurs physiques et, notamment, le “contact”, qui caractérise la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...) que deux atomes soient très proches. Les calculs existants de cette grandeur s'étalaient jusqu'alors sur une plage (La géomorphologie définit une plage comme une « accumulation sur le bord de mer de matériaux d'une taille allant des sables fins aux blocs ». La plage ne se limite donc...) de 60 %, chacune des méthodes employées étant affectée par des approximations mal contrôlées.

Des physiciens du Laboratoire de physique statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de...) de l'ENS (CNRS/Sorbonne Université/ENS Paris/Univ. Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine,...) Diderot), du Laboratoire Kastler Brossel (CNRS/Sorbonne Université/ENS Paris/Collège de France) et leurs collaborateurs internationaux viennent de calculer ce “contact” avec une précision contrôlée de 2 % et un excellent accord avec les données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) expérimentales. Ce résultat a été rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant à la fois...) possible par une méthode de calcul qu'ils avaient auparavant développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la...) et qui pourrait s'appliquer à bien d'autres systèmes de fermions fortement corrélés. Ces travaux sont publiés dans la revue Physical Review Letters.

Les protons et neutrons des noyaux atomiques, les électrons des supraconducteurs ou les atomes qui composent les gaz froids "unitaires" sont des fermions, c'est à dire des particules qui vérifient le "principe d'exclusion de Pauli". Deux fermions identiques ne peuvent pas occuper un même état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum d'information...). À très basse température et en présence d'interaction, ces particules ont tendance à s'associer par paire.

Pour modéliser un supraconducteur classique ou un gaz d'atomes fermioniques en interaction faible, il suffit de considérer les processus ne faisant intervenir que 2 ou 3 particules: formation de paire, séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans plusieurs domaines :) de paire, séparation et appariement de l'un des deux fermions avec un troisième. Lorsque l'interaction devient forte, cela ne suffit pas: la difficulté consiste donc à identifier et à calculer le plus grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) possible de contributions en prenant en compte un nombre de plus en plus grand d'atomes. Dans le présent travail, les physiciens ont identifié et calculé les contributions provenant d'environ cent mille processus, mettant en jeu jusqu'à neuf paires. C'est alors qu'une nouvelle difficulté apparaît lorsqu'il s'agit d'additionner toutes ces contributions. Si les interactions entre fermions étaient faibles, il suffirait d'additionner les neuf nombres correspondants aux contributions à 1 paire, 2 paires... 9 paires. Ceci permettrait d'obtenir une valeur approchée du résultat exact et surtout de contrôler la précision du résultat comme, par exemple, on peut le faire pour la somme 1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + ... + 1/256, qui vaut 2/3 à 1/256 près. Mais dans le gaz unitaire, en raison des fortes interactions entre fermions, les termes à sommer sont de plus en plus grands: la somme est divergente.

Les mathématiciens savent depuis longtemps donner un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...) à une somme divergente telle que 1-2+4-8+..., et lui attribuer une valeur, en l'occurrence 1/3. Mais pour le gaz unitaire, les méthodes habituelles ne fonctionnement pas: les termes augmentent plus vite qu'exponentiellement et pour une divergence aussi forte, il n'est pas toujours possible de donner un sens et une valeur unique à la somme. Riccardo Rossi et ses collaborateurs ont pu montrer, par des méthodes de théorie des champs, que cela est effectivement possible pour ce gaz, en construisant et analysant une fonction cachée derrière la somme. Le travail des chercheurs a été ici de trouver une méthode de sommation adaptée, et au passage de redécouvrir un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de 1919, bien dissimulé dans la volumineuse littérature sur le sujet. Ceci a fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et...) d'un second article publié dans le même volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) de Physical Review Letters.

Comme souvent en physique, certaines étapes du raisonnement sont des conjectures non démontrées mathématiquement, ce qui renforce l'intérêt des confrontations avec les expériences, à commencer par des mesures du contact plus précises actuellement en cours dans plusieurs laboratoires.

Référence publication:

Contact and Momentum Distribution of the Unitary Fermi Gas
R. Rossi, T. Ohgoe, E. Kozik, N. Prokof'ev, B. Svistunov, K. Van Houcke, F. Werner
Physical Review Letters, 21, 130406 (2018)
DOI: 10.1103/PhysRevLett.121.130406

Resummation of diagrammatic series with zero convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) radius for strongly correlated fermions
R. Rossi, T. Ohgoe, K. Van Houcke, F. Werner
Physical Review Letters 121, 130405 (2018),
DOI:10.1103/PhysRevLett.121.130405

Contacts chercheurs:

- Felix Werner, chargé de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...) au CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).)
- Kris Van Houcke, maître de conférences à l'ENS Paris

Informations complémentaires:
Laboratoire de physique statistique de l'ENS (CNRS/Sorbonne Université/ENS Paris/Univ. Paris Diderot)
Laboratoire Kastler Brossel (CNRS/Sorbonne Université/ENS Paris/Collège de France)
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