Développée
Développée
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Introduction

développée d'une ellipse

En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.).

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière. Si elle est paramétrée par l'abscisse curviligne sous la forme \vec{f}(s), le centre de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) s'obtient en posant

\vec{g}(s)=\vec{O\Omega(s)} = \vec{f}(s)+\gamma(s)^{-1} \vec{N}(s)

Et le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) dérivé de la développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales...) est

\vec{g'}(s)= \vec{f'}(s)+\gamma(s)^{-1} \vec{N'}(s)-\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)^2} \vec{N}(s) = -\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)^2} \vec{N}(s)

en utilisant les formules de Frenet.

Ainsi,

  • les points stationnaires de la développée g correspondent aux extrema de la courbure (les sommets) de f
  • entre deux extrema de la courbure de l'arc f, la tangente à la développée g au point (Graphie) de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) s est la normale à la courbe f.

Liens

  • Courbe développante
  • Développante du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...)
  • mathcurve
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