Probabilité
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Introduction

La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de nombreuses applications.

La probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude...) d'un événement est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque (ou la chance, selon le point (Graphie) de vue) que l'événement se produise est grand. Si on considère que la probabilité qu'un lancer de pièce donne pile est égale à 1/2, cela signifie que, si on lance un très grand nombre de fois cette pièce, la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par...) des piles va tendre vers 1/2, sans préjuger de la régularité de leur répartition. Cette notion empirique sera définie plus rigoureusement dans le corps de cet article.

Contrairement à ce que l'on pourrait penser de prime abord l'étude scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.) des probabilités est relativement récente dans l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l'Amérique centrale. Dans la mesure où historiquement la recherche en mathématiques s'est concentrée dans...). D'autres domaines tels que la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...), l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la...), l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) ou l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et...) faisaient l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...) d'étude mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) durant l'Antiquité mais on ne trouve pas de trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) de textes mathématiques sur les probabilités. L'étude des probabilités a connu de nombreux développements au cours des trois derniers siècles en partie grâce à l'étude de l'aspect aléatoire et en partie imprévisible de certains phénomènes, en particulier les jeux de hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.). Ceux-ci ont conduit les mathématiciens à développer une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) qui a ensuite eu des implications dans des domaines aussi variés que la météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques tels que les nuages, les précipitations ou le vent dans le but de comprendre comment ils se forment et...), la finance ou la chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations communs ou proches.). Cet article est une approche simplifiée des concepts et résultats d'importance en probabilité ainsi qu'un historique de l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) du terme "probabilité" qui a eu plusieurs autres sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par...) avant celui qu'on lui connaît aujourd'hui en mathématiques.

Histoire

A l'origine, dans les traductions d'Aristote (Aristote (en grec ancien Ἀριστοτέλης / Aristotélês) est un philosophe grec né à Stagire (actuelle Stavros) en Macédoine...), le mot "probabilité" ne désigne pas une quantification du caractère aléatoire d'un fait mais l'idée qu'une idée est communément admise par tous. Ce n'est que au cours du Moyen Âge puis de la Renaissance autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre...) des commentaires successifs et des imprécisions de traduction de l'œuvre d'Aristote que ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner la vraisemblance d'une idée. Au XVIe siècle puis au XVIIe siècle c'est ce sens qui prévaut en particulier dans le probabilisme en théologie morale. C'est dans la deuxième moitié du XVIIe siècle, à la suite des travaux de Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 août 1662, Paris) est un mathématicien et physicien, philosophe, moraliste et théologien français.), Pierre de Fermat (Pierre de Fermat, né le 20 août 1601, à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, et décédé le 12 janvier 1665 à Castres, était un juriste et...) et Christian Huygens sur le problème des partis que ce mot prend peu à peu son sens actuel avec les développements du traitement mathématique du sujet par Jakob Bernoulli . Ce n'est alors qu'au XIXe siècle qu'apparaît ce qui peut être considéré comme la théorie moderne des probabilités en mathématiques.

La notion de probabilité chez Aristote

Le premier usage du mot probabilité apparait en 1370 avec la traduction de l'éthique à Nicomaque d'Aristote par Oresme et désigne alors « le caractère de ce qui est probable ». Le concept de probable chez Aristote (ενδοξον, en grec) est ainsi défini dans les Topiques :

"Sont probables les opinions qui sont reçues par tous les hommes, ou par la plupart d’entre eux, ou par les sages, et parmi ces derniers, soit par tous, soit par la plupart, soit enfin par les plus notables et les plus illustres"

Ce qui rend une opinion probable chez Aristote est son caractère généralement admis; ce n'est qu'avec la traduction de Cicéron des Topiques d'Aristote, qui traduit par probabilis ou par verisimilis, que la notion de vraisemblance est associée à celle de "probabilité" ce qui aura un impact au cours du Moyen Âge puis de la Renaissance avec les commentaires successifs de l'œuvre d'Aristote.

La doctrine de la probabilité au XVIe siècle et XVIIe siècle

La doctrine de la probabilité, autrement appelée probabilisme, est une théologie morale catholique qui s'est développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales...) au cours du XVIe siècle sous l'influence entre autres de Bartolomé de Medina et des jésuites. Avec l'apparition de la doctrine de la probabilité, ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner au milieu du XVIIe siècle le caractère vraisemblable d'une idée.

Cette théologie morale considère que "si une opinion est probable, il est permis de la suivre, quand bien même est plus probable l’opinion opposée" selon la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés...) de Bartolomé de Medina en 1527. Cette théologie morale cherche alors à définir quelle action entreprendre quand il existe un doute sur la meilleure action à entreprendre. Cette théologie morale a été très critiquée à partir du milieu du XVIIe siècle comme introduisant le relativisme moral, en particulier par les jansénistes et par Blaise Pascal, qui sera, par ailleurs, l'un des fondateurs du traitement mathématique du probable..

La probabilité d'une opinion désigne alors au milieu du XVIIe siècle la probabilité qu'une opinion soit vraie. Ce n'est qu'à partir de la fin du XVIIe siècle avec l'émergence de la probabilité mathématique que la notion de probabilité ne concernera plus seulement les opinions et les idées mais aussi les faits et se rapprochera de la notion de hasard que l'on connaît aujourd'hui.

La notion moderne de probabilité

L'apparition de la notion de "risque", préalable à l'étude des probabilités, n'est apparue qu'au XIIe siècle pour l'évaluation de contrats commerciaux avec le Traité des contrats de Pierre de Jean Olivi, et s'est développée au XVIe siècle avec la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) des contrats d'assurance maritime. À part quelques considérations élémentaires par Girolamo Cardano au début du XVIe siècle et par Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome...) au début du XVIIe siècle, le véritable début de la théorie des probabilités (La Théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la théorie des...) date de la correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal en 1654.

Ce n'est qu'à partir du milieu du XVIIe siècle avec l'émergence du traitement mathématique du sujet qu'est apparu l'usage moderne du terme probabilité.

Les probabilités du XVIIe au XIXe siècle

Une page de la correspondance entre Pascal et Fermat, 1654

Le véritable début de la théorie des probabilités date de la correspondance entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal en 1654. Ceux-ci commencent à élaborer les bases du traitement mathématique des probabilités autour de l'étude de jeux de hasard proposés, entre autres, par le chevalier de Méré. (voir ci-contre une page de la correspondance entre Pascal et Fermat au sujet du problème des partis). Même s'ils sont considérés comme les fondateurs du traitement des probabilités, ils n'ont rien publié de leurs travaux, et il faudra attendre Huygens pour avoir un premier ouvrage sur le sujet.

Encouragé par Pascal, Christian Huygens publie De ratiociniis in ludo aleae (raisonnements sur les jeux de dés) en 1657. Ce livre est le premier ouvrage important sur les probabilités. Il y définit la notion d'espérance et y développe plusieurs problèmes de partages de gains lors de jeux ou de tirages dans des urnes. Deux ouvrages fondateurs sont également à noter : Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (posthume, 1713) qui définit la notion de variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle...) et donne la première version de la loi des grands nombres (La loi des grands nombres a été formalisée au XVIIe siècle lors de la découverte de nouveaux langages mathématiques.), et Théorie de la probabilité d' Abraham de Moivre (1718) qui généralise l'usage de la combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les...).

La Théorie des erreurs, qui cherche à quantifier l'écart entre la mesure que l'on fait d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou...) et sa vraie valeur et qui est une préfiguration des théorèmes central limite, voit le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à...) avec Opera Miscellanea de Roger Cotes (posthume, 1722). Le premier à l'appliquer aux erreurs sur les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et...) est Thomas Simpson en 1755.

Pierre-Simon de Laplace donne une première version du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) central limite en 1812 qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états, par exemple pile ou face mais pas un dé à 6 faces.

Sous l'impulsion de Quetelet, qui ouvre en 1841 le premier bureau statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la...) le Conseil Supérieur de Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le...), les statistiques se développent et deviennent un domaine à part entière des mathématiques qui s'appuie sur les probabilités mais n'en font plus partie.

Naissance de la théorie classique des probabilités

La théorie de la probabilité classique ne prend réellement son essor qu'avec les notions de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897. Cette notion de mesure est complétée par Henri Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégration. La première version moderne du théorème de la limite centrale est donné par Alexandre Liapounov en 1901 et la première preuve du théorème moderne est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par Paul Lévy en 1910. En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications entre autres pour modéliser la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un...) ou pour l'indexation de sites internet (Internet est le réseau informatique mondial qui rend accessibles au public des services variés comme le courrier électronique, la messagerie instantanée et le World Wide Web, en utilisant le protocole de...) sur Google (Google, Inc. est une société fondée le 7 septembre 1998 dans la Silicon Valley en Californie par Larry Page et Sergey Brin, auteurs du moteur de recherche Google. Depuis 2001, Eric Schmidt en est le PDG (CEO). La société compte...).

Il faudra attendre 1933 pour que la théorie des probabilités sorte d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de méthodes et d'exemples divers et devienne une véritable théorie, axiomatisée par Kolmogorov.

Kiyoshi Itô met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique (Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités.) et les équations aux dérivées partielles faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences (Une académie des sciences est une société savante dont le rôle est de promouvoir la recherche scientifique en réunissant certains des chercheurs les plus éminents, en tenant des séances au...) dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.

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