Nouvelle avancée dans la théorie des nombres premiers
Publié par Adrien le 28/03/2011 à 14:40
Source: BE Israël numéro 73 (28/03/2011) - Ambassade de France en Israël / ADIT - http://www.bulletins-electroniques.com/ ... /66252.htm
Une avancée majeure concernant la théorie des nombres premiers vient d'être réalisée grâce au travail réalisé par le Dr Tammy Ziegler du Département de Mathématiques du Technion en Israël, conjointement avec des collègues des Etats-Unis et de Grande-Bretagne (La Grande-Bretagne (en anglais Great Britain) est une île bordant la côte nord-ouest de l'Europe continentale. Elle représente la majorité du territoire du Royaume-Uni. En son acception politique, ce toponyme...).

Le travail que le Pr Tammy Ziegler et ses deux collègues, le Professeur Tao de l'UCLA et le Professeur Green de l'Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission (études supérieures). Aux États-Unis,...) de Cambridge, ont récemment achevé a suscité un vif intérêt parmi les mathématiciens puisqu'il permet de résoudre des problèmes de base dans le domaine des nombres premiers.

La fascination pour les nombres premiers, explique le Pr Ziegler, est presque aussi ancienne que les mathématiques. Il y a déjà plus de 2000 ans, Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la...) a montré que chaque entier naturel (à l'exception de 1) pouvait s'écrire comme un unique produit de nombres premiers. Euclide a également prouvé qu'il existait un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) de nombres premiers. Sa démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) "reductio ad absurdum" est encore considérée à l'heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur elle-même, l'instant (l'« heure qu'il est »), y compris en sciences (« heure solaire » employé...) actuelle comme l'une des démonstrations les plus élégantes en mathématiques. Elle revient à supposer qu'il existe un nombre fini de nombres premiers qui puisse être écrit comme une séquence P1
Se posait alors la question de savoir à quelle fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie...) apparaissent les nombres premiers. Il était en effet intéressant d'avoir une estimation quantitative. Intuitivement nous savons qu'il existe plus de nombres pairs que de nombres divisibles par trois, et plus de nombres divisibles par trois que de nombres qui soient des racines carrées parfaites. En effet, si nous prenons un très grand nombre (par exemple N = 109), nous savons qu'il comprend environ N/2 nombres pairs, N/3 nombres qui soient divisibles par 3, et quelques racines carrées parfaites. Le Dr Ziegler explique que, pour ces cas-là, l'estimation est facile. En revanche, la démonstration faite par Euclide ne permet pas d'estimer la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer...) de nombres premiers plus petits que N.

Plus de 2000 ans se sont écoulés avant qu'une formule puisse être établie, démontrant qu'il y a environ N/lnN nombres premiers plus petits que N. La formule a été conjecturée par Gauss et Legendre, en se basant sur des données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) numériques, puis a été prouvée de façon indépendante par Hadamard et de la Vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme allongée et façonnée dans le relief par un cours...) Poussin en 1896.

L'étape suivante, selon le Dr Ziegler, consistait à trouver des modèles arithmétiques au sein de la séquence des nombres premiers, afin, notamment, de comprendre le comportement additif des nombres premiers. Par exemple, plusieurs paires de nombres premiers, où les deux nombres diffèrent l'un de l'autre de deux unités, sont connues et appelées "nombres premiers jumeaux". Il serait alors intéressant de savoir s'il existe un nombre infini de telles paires, mais à ce jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit heure locale)...), la réponse à cette question échappe encore aux mathématiciens.

Une question connexe concernait l'existence de progressions arithmétiques dans la séquence de nombres premiers. Ce n'est qu'en 2004 que Green et Tao ont réalisé une avancée majeure dans le domaine en démontrant que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) des nombres premiers contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues. Les deux chercheurs ont abordé le problème en utilisant des concepts de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) Ergodique, qui est une branche des mathématiques traitant de l'étude des systèmes dynamiques. Green et Tao ont ainsi prouvé l'existence de progressions arithmétiques dans la séquence des nombres premiers, mais leurs méthodes ne fournissaient aucune estimation du nombre de progressions arithmétiques de nombres premiers, dont tous les éléments seraient plus petits que N.

Ces estimations ont pu être finalement établies grâce à une collaboration entre les Dr Green, Tao et Ziegler, dont le travail porte sur le lien entre les progressions arithmétiques et les systèmes dynamiques nilpotents. Il serait vain d'essayer d'expliquer la contribution du Dr Ziegler en termes simples, mais ces résultats ont suscité un vif intérêt dans la communauté mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) puisqu'ils ont permis d'établir des méthodes permettant de trouver des asymptotes aux progressions arithmétiques des nombres premiers.
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