Nombre - Définition

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Introduction

La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».


Un nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments par une numérotation. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...).

En l’absence d’une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) générale satisfaisante de cette notion, les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) proposent plusieurs types de nombres pour exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, voire pour appréhender l’infini.

En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), les grandeurs sans dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) sont souvent appelées « nombres », tels le nombre de Reynolds (Le nombre de Reynolds (Re) est un nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides....) en mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides...) ou les nombres quantiques.

En dehors de leur utilisation scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...), plusieurs nombres ont aussi acquis une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses.

Conception

Principe

Le concept de nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) trouve son origine dans l’idée d’appariement, c’est-à-dire de la mise en correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) d’ensembles (par exemple des êtres humains d’une part et des chevaux d’autre part). Si l’on tente de répartir tous les éléments en couples comprenant un élément de chaque ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...), il se peut qu’il reste des éléments d’un ensemble en trop, ou qu’il en manque, ou encore qu’il y en ait juste assez. L’expérience montre alors que la manière de faire la répartition ne change pas le résultat, d’où la notion de quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...), caractère intrinsèque et qui peut être comparé.

Cette quantité n’est pas encore un nombre mais est parfois désignée comme un « nombre-de ». Le nombre en tant que tel ne possède pas d’unité de mesure. Il est d’après Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) « un assemblage composé d’unités », où « l’unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. »

Parallèlement à la notion de quantité, lié à l’aspect « cardinal », le notion de repérage dans une liste mène à la définition du nombre « ordinal » : le premier nombre est suivi d’un deuxième, lui-même suivi d’un autre et ainsi de suite « jusqu’à l’infini ».

Extension progressive

Sans calcul, les nombres sont limités à la quantité de symboles utilisables. La découverte des opérations numériques élémentaires (addition et multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) notamment) va permettre aux mathématiques de faciliter la description des nombres beaucoup plus grands à l’aide de divers systèmes de numération (La numération désigne le mode de représentation des nombres. Aussi, elle concerne...). La civilisation babylonienne découvre notamment la notation positionnelle (La notation positionnelle est un procédé d'écriture des nombres, dans lequel chaque...) dès le IIIe millénaire (Un millénaire est une période de mille années, c'est-à-dire de dix siècles.) avant notre ère et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une partie fractionnaire.

Les fractions sont conçues en Égypte antique sous formes de « quantièmes », c’est-à-dire d’inverses d’entiers. Leur manipulation est alors soumise à certaines contraintes qui ne seront surmontées que par l’interprétation géométrique comme rapport de longueurs (entières). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions géométriques telles que pi, le nombre d’or ou la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) ne seront vraiment considérées comme des nombres par les mathématiciens de la Grèce antique, pour qui les seuls nombres sont entiers.

Même si le chiffre « 0 » est employé dans certains systèmes de numération positionnelle par plusieurs civilisations antiques, le nombre zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...) n’apparait en tant que tel qu’au VIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) dans les mathématiques indiennes (La chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée...). Il est repris par la civilisation de l’Islam et importé en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...) au Xe siècle. Sous le qualificatif d’« absurdes », les nombres négatifs sont déjà étudiés au XVIe siècle mais leurs propriétés arithmétiques font encore polémique au début du XIXe siècle.

Les nombres algébriques (réels positifs) sont étudiés avec le développement de l’algèbre par les mathématiciens arabes. Ces derniers en calculent des valeurs approchées en notation décimale dès le XIIe siècle. Cette même algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) conduira certains mathématiciens italiens à inventer au XVIe siècle des nombres « imaginaires », première approche des nombres complexes qui ne seront définis de manière satisfaisante qu’au XVIIIe siècle. Leur construction géométrique sera d’ailleurs rapidement suivie de celle des quaternions puis d’autres nombres hypercomplexes pendant le siècle suivant.

Paradoxalement, il faudra cependant attendre le XIXe siècle pour que soit reconnue l’existence de nombres transcendants, juste avant que soit formalisée la notion de nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) indépendamment de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...). La procédure de complétion des nombres rationnels sera imitée au début du XXe siècle pour construire les nombres p-adiques.

Les nombres transfinis sont introduits de diverses manières à partir de la fin du XIXe siècle, lorsque Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg –...) définit les ordinaux et cardinaux. Dans la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) moitié du XXe siècle, l’analyse non standard fait usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de nombres hyperréels puis superréels, tandis que Conway présente les nombres surréels et pseudo-réels.

Pédagogie (La pédagogie est, étymologiquement, l'action de "conduire les enfants", du grec...)

Diverses expériences explorent les capacités numériques chez l’enfant en bas âge.

Dans l’éducation, l’apprentissage du nombre débute avec l’acquisition de la « chaine numérique », notamment à l’aide de comptines : « un, deux, trois… » Cette liste sera progressivement prolongée pour permettre à l’enfant d’énumérer des objets qu’il manipule afin de les dénombrer (en associant à cette quantité le dernier terme de l’énumération), mais aussi pour repérer une position dans une série ordonnée.

Au cours de la scolarité, l’enfant est amené à considérer divers types de nombres rangés dans une suite croissante d’ensembles :

  • l’ensemble N des entiers naturels, qui peuvent s’écrire à l’aide des dix chiffres arabes ;
  • l’ensemble Z des entiers relatifs, qui sont munis d’un signe positif ( + ) ou négatif ( ) ;
  • l’ensemble D des nombres décimaux, qui admettent une partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière...) et une partie décimale de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) finie, en général notées de part et d'autre d'une virgule ;
  • l’ensemble Q des nombres rationnels, qui sont représentés par des fractions avec un numérateur et un dénominateur entiers (ou décimaux) ;
  • l’ensemble R des nombres réels, qui repèrent tous les points d’un axe orienté continu ;
  • l’ensemble C des nombres complexes, qui peuvent décrire tous les points d’un plan.
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