Recherchez sur tout Techno-Science.net
       
Techno-Science.net : Suivez l'actualité des sciences et des technologies, découvrez, commentez
 A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | +
Infini

Introduction

Le

Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) ou en taille.

En mathématiques

On rencontre les grandeurs infinies dans plusieurs branches des mathématiques, sous le double aspect du nombre par la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des cardinaux et de l'espace par la théorie de la mesure. Ces deux aspects ne se recouvrent pas nécessairement, ainsi un segment ou un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) ont une infinité de points mais une mesure finie.

En théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du...)

Un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...) E est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou...) si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de N, ou de façon équivalente, s'il existe au moins une famille non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) de sous-ensembles de E qui n'a pas d'élément minimal pour l'inclusion.

Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini alors  : Le cardinal...) est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) entre lui et N. Intuitivement, un ensemble infini est dénombrable si, et seulement si, on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le « deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.

Par exemple, nous pouvons montrer que Q+ est dénombrable, voir la méthode.

L'ensemble N2 = N x N des couples d'entiers naturels est lui aussi dénombrable, car à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple (p,q), on peut associer le nombre n = [(p+q)(p+q+1)/2] + p, et on vérifiera aisément que la fonction ainsi définie est injective.

Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des couples est « effective » : le procédé d'énumération est un procédé calculatoire, un algorithme. Mais on peut très bien avoir montré qu'un ensemble est infini dénombrable, par exemple en montrant qu'il est sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du...) des entiers et ne peut être fini, sans être capable de donner un procédé effectif d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable (Intuitivement un ensemble est récursivement énumérable s'il existe un procédé mécanique (en gros qui peut être réalisé par un ordinateur) qui liste ses éléments. On dirait aussi qu'il existe un «programme» qui peut dire si un élément...).

Si l'on admet l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être...) du choix, et seulement à cette condition, tout ensemble E est en correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt...) biunivoque avec un ordinal ; le plus petit ordinal auquel E est équipotent est alors par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) le cardinal de E.

Le cardinal d'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) est un nombre entier naturel.

Le cardinal d'un ensemble infini est dit « transfini ». Le cardinal (on parle aussi de « puissance ») des ensembles infinis dénombrables est noté \aleph_0 (« aleph-zéro »).

Ensembles infinis non dénombrables

Un ensemble infini non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec N. On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Ainsi en est-il de l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels forment un corps commutatif totalement ordonné R, archimédien (A l'origine, l'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus...) et tel que toute partie majorée admette une borne supérieure ; R est l'unique corps, à l'isomorphisme près, à satisfaire ces propriétés ; c'est le sur-corps minimal de Q à satisfaire le critère de Cauchy.

L'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est déjà non dénombrable : la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à...) s'appuie sur l'argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède ...) de Cantor.

On dit que R a la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) du continu, sa puissance (ou son cardinal) est 2^{\aleph_0}, le cardinal de l'ensemble des parties de N. L'argument diagonal (Dans les preuves mathématiques, notamment celles de logique mathématique, l'argument diagonal est un mécanisme de construction réflexive menant le plus souvent à une impossibilité. Une telle construction est donc basée...) de Cantor montre du même coup que \aleph_1, le plus petit cardinal non dénombrable, est inférieur ou égal à 2^{\aleph_0} (dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, que l'on appelle l' hypothèse du continu, est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des...).

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...)

Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation du réel qui soit fidèle à notre perception, développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point (Graphie) sur le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :); ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon (Conceptuellement, l’horizon est la limite de ce que l'on peut observer, du fait de sa propre position ou situation. Ce concept simple se décline en physique, philosophie, littérature, et bien d'autres domaines :) du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D).

La géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par...) consiste à rajouter à l'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles...) usuel des points dits « à l'infini » dans chaque direction. Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Deux droites ayant un et un seul point commun sont dites...), ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par...) de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

En optique géométrique (L'optique géométrique est une branche de l'optique, comme le sont l'optique ondulatoire (souvent appelée optique physique) et l'optique quantique. Ces approches ne sont pas opposées, mais complémentaires....)

  • Un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il...) situé « à l'infini » est une source émettant des rayons lumineux parallèles,
  • Une image se forme « à l'infini » quand les rayons lumineux qui la forment sont parallèles.

Un ?il normal (emmétrope) ou corrigé doit voir nettement une image à l'infini (Punctum remotum).

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).)

compactification

L'ajout d'un élément ? à un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité....) localement compact permet de rendre cet espace compact (En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle sert d'axiome en...). Il s'agit de la compactification d'Alexandroff.

Soit (E,U\,) un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace ( E\cup\{\infty\}, U'\,), où \infin est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans E\cup\{\infty\} des compacts de (E,U\,).

On peut alors définir les « voisinages de l'infini » : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U'\ U.

complétion

On peut compléter le corps des nombres réels, en sacrifiant sa propriété de corps, usuellement de deux manières possibles :

  • soit en le complétant du point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) algébrique par l'ajout d'un élément ?, qui devient formellement un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) de 0. C'est un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.) de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires,...) et du produit en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) que (?x??R)  x???0??  ??+?x?=?? ? ??×?x?=??. Par contre, le produit ??×?0 n'est pas défini.
On obtient ainsi l'espace projectif à 1 dimension. Dans cette complétion, le corps des réels perd son caractère ordonné. On peut lui assigner la topologie de compactification d'Alexandroff des réels, par la méthode précédente, ce qui lui confère la même structure topologique que la circonférence.
  • par l'ajout de deux éléments +? (on omet le signe + si on ne risque pas de confusion avec ce qui précède) et -?. On considère que +? est plus grand que tout nombre réel et que -?, et que -? est plus petit que tout autre élément y compris +?. L'ensemble ainsi obtenu est totalement ordonné, mais perd sa structure de corps, ainsi que ses propriétés algébriques. Du point de vue topologique, c'est un espace compact, pour une topologie respectant sa structure d'ordre. Cela lui confère la même topologie qu'un intervalle fermé, par exemple [-1,1].
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Page générée en 0.012 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - Informations légales