Infini - Définition et Explications

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Introduction

Le

Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) ou en taille.

En mathématiques

On rencontre les grandeurs infinies dans plusieurs branches des mathématiques, sous le double aspect du nombre par la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des cardinaux et de l'espace par la théorie de la mesure. Ces deux aspects ne se recouvrent pas nécessairement, ainsi un segment ou un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) ont une infinité de points mais une mesure finie.

En théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...)

Un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) E est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de N, ou de façon équivalente, s'il existe au moins une famille non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) de sous-ensembles de E qui n'a pas d'élément minimal pour l'inclusion.

Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un...) est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) entre lui et N. Intuitivement, un ensemble infini est dénombrable si, et seulement si, on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le « deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.

Par exemple, nous pouvons montrer que Q+ est dénombrable, voir la méthode.

L'ensemble N2 = N x N des couples d'entiers naturels est lui aussi dénombrable, car à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) couple (p,q), on peut associer le nombre n = [(p+q)(p+q+1)/2] + p, et on vérifiera aisément que la fonction ainsi définie est injective.

Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des couples est « effective » : le procédé d'énumération est un procédé calculatoire, un algorithme. Mais on peut très bien avoir montré qu'un ensemble est infini dénombrable, par exemple en montrant qu'il est sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) des entiers et ne peut être fini, sans être capable de donner un procédé effectif d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable (Intuitivement un ensemble est récursivement énumérable s'il existe un procédé mécanique (en...).

Si l'on admet l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix, et seulement à cette condition, tout ensemble E est en correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) biunivoque avec un ordinal ; le plus petit ordinal auquel E est équipotent est alors par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) le cardinal de E.

Le cardinal d'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une...) est un nombre entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...).

Le cardinal d'un ensemble infini est dit « transfini ». Le cardinal (on parle aussi de « puissance ») des ensembles infinis dénombrables est noté \aleph_0 (« aleph-zéro »).

Ensembles infinis non dénombrables

Un ensemble infini non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec N. On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Ainsi en est-il de l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels forment un corps commutatif totalement ordonné R, archimédien (A l'origine, l'énoncé de l'axiome d'Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs...) et tel que toute partie majorée admette une borne supérieure ; R est l'unique corps, à l'isomorphisme près, à satisfaire ces propriétés ; c'est le sur-corps minimal de Q à satisfaire le critère de Cauchy.

L'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est déjà non dénombrable : la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) s'appuie sur l'argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) de Cantor.

On dit que R a la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) du continu, sa puissance (ou son cardinal) est 2^{\aleph_0}, le cardinal de l'ensemble des parties de N. L'argument diagonal (Dans les preuves mathématiques, notamment celles de logique mathématique, l'argument diagonal est...) de Cantor montre du même coup que \aleph_1, le plus petit cardinal non dénombrable, est inférieur ou égal à 2^{\aleph_0} (dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, que l'on appelle l' hypothèse du continu, est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle...).

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...)

Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation du réel qui soit fidèle à notre perception, développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point (Graphie) sur le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :); ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon (Conceptuellement, l’horizon est la limite de ce que l'on peut observer, du fait de sa propre...) du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D).

La géométrie projective (En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie...) consiste à rajouter à l'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de...) usuel des points dits « à l'infini » dans chaque direction. Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont...), ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

En optique géométrique (L'optique géométrique est une branche de l'optique qui s'appuie notamment sur la notion...)

  • Un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) situé « à l'infini » est une source émettant des rayons lumineux parallèles,
  • Une image se forme « à l'infini » quand les rayons lumineux qui la forment sont parallèles.

Un œil normal (emmétrope) ou corrigé doit voir nettement une image à l'infini (Punctum remotum).

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...)

compactification

L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...) localement compact permet de rendre cet espace compact (En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique...). Il s'agit de la compactification d'Alexandroff.

Soit (E,U\,) un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace ( E\cup\{\infty\}, U'\,), où \infin est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans E\cup\{\infty\} des compacts de (E,U\,).

On peut alors définir les « voisinages de l'infini » : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U'\ U.

complétion

On peut compléter le corps des nombres réels, en sacrifiant sa propriété de corps, usuellement de deux manières possibles :

  • soit en le complétant du point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) algébrique par l'ajout d'un élément , qui devient formellement un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) de 0. C'est un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E...) de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) et du produit en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) que (∀x∈ R)  x ≠ 0 ⇒  ∞ + x = ∞ ∧ ∞ × x = ∞. Par contre, le produit ∞ × 0 n'est pas défini.
On obtient ainsi l'espace projectif à 1 dimension. Dans cette complétion, le corps des réels perd son caractère ordonné. On peut lui assigner la topologie de compactification d'Alexandroff des réels, par la méthode précédente, ce qui lui confère la même structure topologique que la circonférence.
  • par l'ajout de deux éléments +∞ (on omet le signe + si on ne risque pas de confusion avec ce qui précède) et -∞. On considère que +∞ est plus grand que tout nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) et que -∞, et que -∞ est plus petit que tout autre élément y compris +∞. L'ensemble ainsi obtenu est totalement ordonné, mais perd sa structure de corps, ainsi que ses propriétés algébriques. Du point de vue topologique, c'est un espace compact, pour une topologie respectant sa structure d'ordre. Cela lui confère la même topologie qu'un intervalle fermé, par exemple [-1,1].
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