Démonstration - Définition

Introduction

En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de règles de déduction. La proposition une fois démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans d'autres démonstrations. En ce cas, on la nomme généralement lemme. Dans toute situation où les propositions initiales sont vraies, la proposition démontrée devrait être vraie ; on ne pourrait la remettre en cause qu'en remettant en cause une ou plusieurs des propositions initiales ou le système de règles de déduction lui-même.

Cette description peut s'avérer idéale. Il arrive qu'une démonstration s'appuie partiellement sur l'intuition, géométrique par exemple, et donc que toutes les propriétés admises, les axiomes, ne soient pas explicites. Les démonstrations de géométrie que l'on peut trouver dans les Éléments d'Euclide sont par exemple considérées encore aujourd'hui comme des modèles de rigueur, alors qu'Euclide s'appuie en partie sur des axiomes implicites, comme l'a montré David Hilbert dans ses « fondements de la géométrie ». Par ailleurs, les démonstrations des mathématiciens ne sont pas formelles et une démonstration peut être considérée comme correcte dans les grandes lignes, alors que des points resteraient à expliciter en toute rigueur, voire que d'autres sont entachés d'erreurs « mineures ». On rédige une démonstration pour être lue et convaincre les lecteurs, et le niveau de détails nécessaire n'est pas le même suivant les connaissances de ceux-ci. Cependant avec l'avènement des ordinateurs et des systèmes d'aide à la démonstration, des mathématiciens contemporains rédigent des démonstrations qui sont amenées à être vérifiées par des programmes.

Hors du champ des mathématiques, en droit par exemple, une démonstration intervient comme un complément de preuves, c'est une suite d'arguments énoncés en vue d'emporter l'adhésion de l'auditeur ou du lecteur.

Typologie des démonstrations

Les démonstrations mathématiques passent par diverses étapes en suivant une certaine ligne de déduction. Certains grands types de démonstrations ont reçu des dénominations spécifiques.

• Les mathématiciens parlent assez informellement de démonstration directe, pour une démonstration d'un énoncé n'utilisant que les constituants de celui-ci, de la façon la plus simple possible, sans les recomposer, et sans le déduire de théorèmes plus forts. Dans certains contextes, on peut considérer qu'une démonstration par l'absurde ou par contraposition est indirecte.
• Une preuve par l'exemple (resp. la recherche de contre-exemple) permet de valider une propriété existentielle (resp. invalider une propriété universelle), sous certaines conditions, une proposition universelle peut être prouvée par un ou plusieurs exemples bien choisis.
• Une démonstration par l'absurde consiste à montrer qu'en affirmant la négation de l'assertion à démontrer on aboutit à une contradiction, typiquement une proposition et sa négation.
• Une démonstration est constructive si elle inclut une construction ou un mode de recherche effectif des objets dont elle établit l'existence.
• Une démonstration par récurrence s'appuie sur une méthode de déduction spécifique (dite récurrence) pour affirmer qu'une assertion est démontrable pour tous les entiers naturels : elle consiste à démontrer l'assertion pour 0 (ou 1), puis à démontrer que de l'assertion pour l'entier n, on peut déduire l'assertion pour l'entier n+1. Il existe des variantes plus générales pour les éléments d'un certain ensemble bien ordonné ou pour des structures qui sont construites d'une façon qui étend celle avec laquelle les entiers naturels sont décrits.
• Une démonstration probabiliste utilise la théorie des probabilités pour démontrer l'existence certaine d'un objet. Elle ne doit pas être confondue avec l'assertion « ce théorème est probablement vrai ».