Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) $\mathbb{P}$ est une application qui à un évènement A quelconque associe un nombre réel (noté $\mathbb{P}(A)$). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.

Une mesure de probabilité $\mathbb{P}$ est toujours définie sur un espace probabilisable $\left(\Omega ,\mathcal{A}\right),$ i.e. sur un couple constitué d'un ensemble d'éventualités, l'univers Ω, et d'une tribu $\mathcal{A}$ de parties de l'univers Ω. Les éléments de la tribu $\mathcal{A}$ sont appelés les évènements. Ainsi la mesure de probabilité $\mathbb{P}$ est une application de $\mathcal{A}$ dans $\mathbb{R}.$

Pour tout évènement $A$ :

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

$\Omega$ désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

$\mathbb{P}(\Omega )=1$,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), $A_1,A_2,\dots$ satisfait :

$\mathbb{P}(A_1\cup A_2\cup \cdots )={\sum }_{i=1}^{+\infty }\mathbb{P}(A_i)$.

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

• $$\mathbb{P}(\varnothing )=0.$$

• Si $A$, $B$ sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors

• Plus généralement, si $(A_k{)}_{1\le k\le n}$ est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors

• $\mathbb{P}(B\setminus A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$;

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence $\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$. Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de $B\setminus A$ et de $A\cap B.$

• En particulier, si $A\subset B$, alors

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où $A\subset B$, la propriété précédente s'écrit

où le premier terme est clairement positif ou nul.

• Dans le cas particulier où B = Ω, cela donne que, pour tout évènement $A$,

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.

• Pour tous évènements $A$, $B$,

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements A ou B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que $A$ se réalise, et pour que $B$ se réalise, moins la probabilité pour que $A$ et $B$ se réalisent simultanément. De même,

• Ces deux dernières formules sont des cas particuliers (n=2,3) du Principe d'inclusion-exclusion:

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

• Toute suite croissante d'évènements $A_1\subset A_2\subset A_3\subset \dots$ satisfait :

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

• Toute suite décroissante d'évènements $A_1\supset A_2\supset A_3\supset \dots$ satisfait :

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ représentant un espace probabilisé, comme un espace mesuré dont la mesure, $\mathbb{P}$, a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1:

En théorie de la mesure, les évènements sont appelés « ensembles mesurables ». Ce mini-lexique permet de traduire les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue en termes probabilistes.