Conjecture de Mertens

En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi:

$\mu (k)$ étant la fonction de Möbius, alors la conjecture de Mertens énonce que

Stieltjes prétendit en 1885 que $\frac{M(n)}{\sqrt{n}}$ était compris entre deux bornes constantes, qui selon lui pouvaient être -1 et 1. Mertens à son tour publia un article en 1887 affirmant, calcul de M(10^4) à l'appui, que l'égalité $\left|M(n)\right|<\sqrt{n}$ lui semblait très probable pour tout n>1.

Or toute inégalité de la forme $\left|M(n)\right|<c\sqrt{n}$, c étant un réel positif, implique l'hypothèse de Riemann.

Plus précisément, l'hypothèse de Riemann est équivalente à

pour tout

ε > 0

On démontre le lien avec l'hypothèse de Riemann ainsi:

où $\zeta (z)$ est la fonction Zeta de Riemann. La conjecture de Mertens indiquait que cette intégrale converge pour Re(z) > 1/2, qui dans un sens impliquerait que $\frac{1}{\zeta (z)}$ est définie pour Re(z) > 1/2 et par symétrie pour Re(z) < 1/2. Ainsi, les seuls zéros de $\zeta (z)$ vérifieraient Re(z) = 1/2, ce qui est l'énoncé de l'hypothèse de Riemann.

Mais en 1985, Te Riele et Odlyzko ont démontré que la conjecture de Mertens était fausse. Plus précisément, ils ont démontré que $\frac{M(n)}{\sqrt{n}}$ a des valeurs supérieures à 1,06 et des valeurs inférieures à -1,009. Ils ont également montré qu'il existe au moins un entier inférieur à 3.21×10 réfutant la conjecture.

On ignore toujours si $\frac{M(n)}{\sqrt{n}}$ est bornée, mais Te Riele et Odlizko considèrent qu'il est probable que non.