Symétrie

De manière générale le terme symétrie renvoie à l'existence, dans une figure quelconque, d'une opération géométrique qui ne modifie pas cette figure. On peut faire correspondre à chaque point de la figure un autre point, sans modification de la figure générale.

En mathématique, une symétrie est une transformation géométrique qui est involutive, c'est-à-dire qu'appliquée deux fois d'affilée à une figure, elle laisse cette figure inchangée. Ces symétries sont décrites dans l'article symétrie (transformation géométrique).

Un système est symétrique quand on peut permuter simultanément tous ses éléments sans modifier sa structure. Les symétries traduisent une sorte d'égalité du système avec lui-même, ou d'uniformité de sa structure. La notion d'automorphisme, ou isomorphisme interne, exposée plus loin, permet de préciser cette définition.

Un papillon, par exemple, est symétrique : on peut échanger tous les points de la moitié gauche du corps avec tous les points sur la moitié droite sans que l’apparence du papillon soit modifiée. La plupart des animaux, y compris les humains, présente une symétrie plane, c'est-à-dire que leur moitié droite et gauche sont symétrique par rapport à un plan de symétrie qu'on appelle plan médian en anatomie. Cette caractéristique, nommée symétrie bilatérale, définit le clade des Bilateria parmi les animaux. Par ailleurs, on trouve aussi des morphologies à symétrie radiaire comme les méduses, ces animaux formant avec les Cténophores le groupe paraphylétique des Radiata. Dans le règne végétal, les plantes à fleurs possèdent souvent une pièce florale à symétrie radiaire : la marguerite est un des exemple les plus connus de ce type de fleurs, dites actinomorphes.

En mathématiques, on peut définir de très nombreux types de symétries. Il y en a autant qu’il y a de façons de permuter simultanément les parties d’un système : symétries par rapport à un axe ou un plan, rotations, translations, homothéties unitaires, ainsi que toutes leurs combinaisons, entre autres.

L’espace euclidien en son entier est un des systèmes les plus symétriques, au sens où l’ensemble des façons de permuter simultanément tous ses points sans modifier sa structure, son groupe de symétries, est l’un des plus grands, parmi les groupes des symétries géométriques. Tous les points de l’espace sont semblables. Ils n’ont pas d’autre qualité que d’être un point. Ils ont tous les mêmes relations avec le reste de l’espace. Les principales symétries de l’espace euclidien sont les isométries. Que tous les points sont semblables s’exprime alors par le fait que n’importe quel point peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie.

Si l’on brise la symétrie de l’espace en introduisant une sphère, alors tous les points ne sont plus semblables : il y a des points sur la sphère, d’autres à l’intérieur et d’autres à l’extérieur. En revanche, tous les points de la sphère sont semblables. N’importe lequel d’entre eux peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie : une rotation autour du centre de la sphère.

Lorsqu’un système est symétrique, les parties permutables sont nécessairement semblables à l'intérieur d'un modèle, et presque identiques dans le monde physique, puisque le système n’est pas modifié par leur permutation.

La notion d’automorphisme permet de préciser la définition des symétries. Que veut dire « sans modifier sa structure » ?

Un système est défini comme un modèle. Il faut déterminer

• l’ensemble U, fini ou infini, de ses éléments, ses points, ses atomes ou ses constituants élémentaires. C’est le domaine d’existence associé au système ou à l’univers étudié.
• l’ensemble, en général fini, des prédicats fondamentaux, propriétés de base des éléments et relations entre eux.
• l’ensemble, en général vide ou fini, des opérateurs, ou fonctions, qui déterminent davantage la structure du système.

Une transformation géométrique est un automorphisme ou isomorphisme interne, pour une relation binaire R lorsqu’elle est une fonction inversible, ou bijection, de U dans U telle que

pour tout x et y, x R y si et seulement si tx R ty

Ce qui est vrai de x et y, de satisfaire la relation R, est également vrai de tx et ty.

x est semblable à tx, y à ty.

Cette définition d’un automorphisme se généralise aisément aux prédicats unaires et à toutes les relations, quel que soit le nombre de leurs arguments. Pour un prédicat unaire P, une transformation t est un automorphisme lorsque

pour tout x, Px si et seulement si Ptx

Dans l’exemple du papillon, la symétrie entre la gauche et la droite est un automorphisme pour les propriétés (les prédicats unaires) de couleur. Un point a la même couleur que son point symétrique.

Une transformation t est un automorphisme pour un opérateur binaire + lorsque

pour tous x et y, t(x+y)=(tx)+(ty)

Cette définition d’un automorphisme se généralise aisément à tous les opérateurs, quel que soit le nombre de leurs arguments. t est un automorphisme pour un opérateur unaire lorsque

pour tout x, t(-x) = -t(x)

Autrement dit, une transformation est un automorphisme pour un opérateur unaire, ou fonction d'une seule variable, lorsqu'elle commute avec lui. Lorsque des transformations commutent entre elles, elles sont toutes des automorphismes les unes vis-à-vis des autres, au sens où toute structure définie par une transformation est conservée par toutes les autres.

À un opérateur binaire +, on peut associer une relation ternaire définie par x+y=z . On voit alors que la définition d’un automorphisme pour un opérateur est un cas particulier de la définition d’un automorphisme pour les relations.

Le groupe des symétries est l’ensemble de tous les automorphismes du système. On a les propriétés suivantes.

Pour tous automorphismes t et u, t°u est un automorphisme et l’inverse de t est un automorphisme. La transformation identique (qui associe toujours x à x) est un automorphisme.

Autrement dit,

• si une structure est conservée par deux transformations effectuées séparément, elle est aussi conservée lorsqu'on effectue les deux transformations l'une à la suite de l'autre. C'est simplement la transitivité de l'égalité de la structure.
• si une structure est conservée par une transformation, elle est aussi conservée par la transformation inverse.
• en outre, il existe toujours une transformation identique, qui ne transforme rien, qui est donc toujours un automorphisme, puisqu'elle ne peut pas modifier quoi que ce soit.

Ces trois propriétés font de l'ensemble des automorphismes d'un système un groupe pour sa loi de composition interne naturelle.

La théorie des groupes est le principal outil théorique d’étude des symétries.

Quelques ouvrages récents et accessibles au public francophone le plus ouvert attestent l'importance de ce thème de réflexion :

Henri BACRY, Alain CONNES, La symétrie dans tous ces états, Vuibert, Paris, 2000, 447 pages.