Méthode de Sotta

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Introduction

La méthode de Sotta, imaginée et mise au point par Bernard Sotta, permet de résoudre toutes les équations du troisième degré et peut se généraliser à certaines équations de degré supérieur ou égal à 4 si les coefficients de ces équations vérifient certaines conditions.

Ces équations fournissent des exemples d'équations qui, bien qu'ayant un degré supérieur ou égal à 5, ont un groupe de Galois résoluble. Nous savons en effet que les équations de degré supérieur ou égal à 5 n'ont pas forcément un groupe de Galois résoluble. Ce qui permet d'affirmer qu'il n'existe pas de méthode générale pour les résoudre. (voir Théorie de Galois).

Principe de la méthode

Dans tout cet article n est un nombre entier représentant le degré de l'équation à résoudre.

Toutes les autres lettres représentent des nombres complexes.

Par convention $n a$ désigne n'importe laquelle des n racines n de a, il en est de même de $n f$

Considérons une équation de degré n avec n > 2 :

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

Vérifiant les deux conditions :

2 n a_{n} a_{n - 2} - (n - 1) a_{n - 1}^{2} \neq = 0

3 (n - 1) a_{n - 1} a_{n - 3} - 2 (n - 2) a_{n - 2}^{2} \neq = 0

Ces deux conditions permettent de garantir que l'équation résolvante définie ci-dessous existe et n'a pas de racines nulles.

Nous supposerons par la suite que ces conditions sont vérifiées sauf indications contraires.

Nous appellerons équation résolvante de Sotta associée à l'équation précédente, l'équation du second degré suivante :

(n - 1) (n - 2) [2 n a_{n} a_{n - 2} - (n - 1) a_{n - 1}^{2}] X^{2} + 2 (n - 1) [3 n a_{n} a_{n - 3} - (n - 2) a_{n - 1} a_{n - 2}] X + 6 (n - 1) a_{n - 1} a_{n - 3} - 4 (n - 2) a_{n - 2}^{2} = 0

Nous avons alors le théorème suivant (théorème de Sotta) :

Si l'équation :

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

admet des racines sous la forme :

\frac{b n a - c n f}{d n a - e n f}

(d et e non nul).

alors $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ sont les deux racines de l'équation résolvante.

a et f sont alors donné par les deux relations :

$a = e^{n} a_{n - 1} + n c e^{n - 1} a_{n}$
$f = d^{n} a_{n - 1} + nb d^{n - 1} a_{n}$

Les n racines de l'équation proposée seront alors :

$x_{k} = \frac{b e ^{\frac{2 k iπ}{n}} n a - c n f}{d e ^{\frac{2 k iπ}{n}} n a - e n f}$ avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1

Sauf précision contraire, les paragraphes suivants supposent que l'équation résolvante n'admet pas une racine double. Le cas particulier où l'équation résolvante admet une racine double est traité plus loin.

Application à la résolution des équations de degré 3

Toutes les équations de degré 3 ayant trois racines distinctes admettent des racines sous la forme :

\frac{b 3 a - c 3 f}{d 3 a - e 3 f}

par conséquent, la méthode de Sotta permet de résoudre toutes les équations de degré 3.

Soit donc l'équation suivante :

a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

Premier cas : Si $(3 a_{3} a_{1} - a_{2}^{2}) \neq = 0$ et $(3 a_{0} a_{2} - a_{1}^{2}) \neq = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré avec des racines non nulles).

La résolvante de Sotta associée sera :

(3 a_{3} a_{1} - a_{2}^{2}) X^{2} + (9 a_{3} a_{0} - a_{2} a_{1}) X + 3 a_{2} a_{0} - a_{1}^{2} = 0

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^{3} a_{2} + 3 c e^{2} a_{3}$
$f = d^{3} a_{2} + 3 b d^{2} a_{3}$

Les trois racines de l'équation à résoudre seront alors :

x_{1} = \frac{b 3 a - c 3 f}{d 3 a - e 3 f}

x_{2} = \frac{bj 3 a - c 3 f}{d j 3 a - e 3 f}

x_{3} = \frac{b j ^{2} 3 a - c 3 f}{d j ^{2} 3 a - e 3 f}

avec :

j = e^{\frac{2 iπ}{3}}

Remarque : Si l'équation résolvante admet une racine double α, celle-ci est aussi racine double de l'équation à résoudre et la troisième racine simple β manquante est obtenue par la relation :

β = - \frac{a _{0}}{a _{3} . α ^{2}}

En effet, en désignant par α, β, γ, les trois racines de l'équation à résoudre, celle-ci peut se mettre sous la forme :

(x - α) (x - β) (x - γ) = 0

En développant le premier membre et en formant l'équation résolvante, on obtient une équation du second degré dont le discriminant Δ peut se factoriser sous la forme :

Δ = - 3 (α - β)^{2} (α - γ)^{2} (β - γ)^{2}

Si l'équation résolvante a une racine double, cela signifie que son discriminant Δ est nul. Nous voyons alors que cela n'est possible que si deux des nombres parmi α, β, γ sont égaux et on vérifie que cette valeur commune se trouve être justement la racine double de l'équation résolvante.

Inversement, on montre que si l'équation à résoudre admet une racine double, l'équation résolvante admet aussi la même racine double.

Deuxième cas : Si $(3 a_{3} a_{1} - a_{2}^{2}) = 0$ (On est dans le cas: d ou e nul)

On multiplie par 3a₁a₂ tous les termes de l'équation :

a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

On obtient :

3 a_{1} a_{2} a_{3} x^{3} + 3 a_{1} a_{2}^{2} x^{2} + 3 a_{1}^{2} a_{2} x + 3 a_{1} a_{2} a_{0} = 0

Comme :

3 a_{3} a_{1} = a_{2}^{2}

L'équation devient :

a_{2}^{3} x^{3} + 3 a_{1} a_{2}^{2} x^{2} + 3 a_{1}^{2} a_{2} x + 3 a_{0} a_{1} a_{2} = 0

Qui se met sous la forme :

(a_{2} x + a_{1})^{3} = a_{1}^{3} - 3 a_{0} a_{1} a_{2}

On en déduit les trois racines de l'équation à résoudre :

x_{1} = \frac{1}{a _{2}} (3 a_{1}^{3} - 3 a_{0} a_{1} a_{2} - a_{1})

x_{2} = \frac{1}{a _{2}} (j 3 a_{1}^{3} - 3 a_{0} a_{1} a_{2} - a_{1})

x_{3} = \frac{1}{a _{2}} (j^{2} 3 a_{1}^{3} - 3 a_{0} a_{1} a_{2} - a_{1})

Troisième cas : Si $(3 a_{0} a_{2} - a_{1}^{2}) = 0$ (On est dans le cas: b ou c nul)

On multiplie par 3a₁a₂ tous les termes de l'équation :

a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

On obtient :

3 a_{1} a_{2} a_{3} x^{3} + 3 a_{1} a_{2}^{2} x^{2} + 3 a_{1}^{2} a_{2} x + 3 a_{0} a_{1} a_{2} = 0

Comme :

3 a_{0} a_{2} = a_{1}^{2}

L'équation devient :

3 a_{1} a_{2} a_{3} x^{3} + 3 a_{1} a_{2}^{2} x^{2} + 3 a_{1}^{2} a_{2} x + a_{1}^{3} = 0

Divisons maintenant chaque terme par x, on obtient :

3 a_{1} a_{2} a_{3} + 3 (\frac{a _{1}}{x}) a_{2}^{2} + 3 (\frac{a _{1}}{x})^{2} a_{2} + (\frac{a _{1}}{x})^{3} = 0

Qui se met sous la forme :

(\frac{a _{1}}{x} + a_{2})^{3} = a_{2}^{3} - 3 a_{1} a_{2} a_{3}

On en déduit les trois racines de l'équation à résoudre :

x_{1} = \frac{a _{1}}{3 a _{2}^{3} - 3 a _{1} a _{2} a _{3} - a _{2}}

x_{2} = \frac{a _{1}}{j 3 a _{2}^{3} - 3 a _{1} a _{2} a _{3} - a _{2}}

x_{3} = \frac{a _{1}}{j ^{2} 3 a _{2}^{3} - 3 a _{1} a _{2} a _{3} - a _{2}}

Application à la résolution des équations de degré 4

Les équations de degré 4 :

a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

admettent des racines sous la forme :

\frac{b 4 a - c 4 f}{d 4 a - e 4 f}

seulement si :

$27 a_{4} a_{1}^{2} - 72 a_{4} a_{2} a_{0} + 2 a_{2}^{3} - 9 a_{3} a_{2} a_{1} + 27 a_{3}^{2} a_{0} = 0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 4 vérifiant cette condition de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

Premier cas : Si $(8 a_{4} a_{2} - 3 a_{3}^{2}) \neq = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

(24 a_{4} a_{2} - 9 a_{3}^{2}) X^{2} + (36 a_{4} a_{1} - 6 a_{3} a_{2}) X + 9 a_{3} a_{1} - 4 a_{2}^{2} = 0

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^{4} a_{3} + 4 c e^{3} a_{4}$
$f = d^{4} a_{3} + 4 b d^{3} a_{4}$

Les quatre racines de l'équation à résoudre seront :

$x_{k} = \frac{b e ^{\frac{2 k iπ}{4}} 4 a - c 4 f}{d e ^{\frac{2 k iπ}{4}} 4 a - e 4 f}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3.

Deuxième cas : Si $(8 a_{4} a_{2} - 3 a_{3}^{2}) = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

Application à la résolution des équations de degré 5

Les équations de degré 5 :

a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

admettent des racines sous la forme :

\frac{b 5 a - c 5 f}{d 5 a - e 5 f}

seulement si :

$10 a_{5} a_{2}^{2} - 20 a_{5} a_{3} a_{1} + a_{3}^{3} - 4 a_{4} a_{3} a_{2} + 8 a_{4}^{2} a_{1} = 0$
$8 a_{4} a_{1}^{2} - 20 a_{4} a_{2} a_{0} + a_{2}^{3} - 4 a_{3} a_{2} a_{1} + 10 a_{3}^{2} a_{0} = 0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 5 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0,

Premier cas : Si $(5 a_{5} a_{3} - 2 a_{4}^{2}) \neq = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

(10 a_{5} a_{3} - 4 a_{4}^{2}) X^{2} + (10 a_{5} a_{2} - 2 a_{4} a_{3}) X + 2 a_{4} a_{2} - a_{3}^{2} = 0

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^{5} a_{4} + 5 c e^{4} a_{5}$
$f = d^{5} a_{4} + 5 b d^{4} a_{5}$

Les cinq racines de l'équation à résoudre seront :

$x_{k} = \frac{b e ^{\frac{2 k iπ}{5}} 5 a - c 5 f}{d e ^{\frac{2 k iπ}{5}} 5 a - e 5 f}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4.

Deuxième cas : Si $(5 a_{5} a_{3} - 2 a_{4}^{2}) = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

Application à la résolution des équations de degré 6

Les équations de degré 6 :

a_{6} x^{6} + a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

admettent des racines sous la forme :

\frac{b 6 a - c 6 f}{d 6 a - e 6 f}

seulement si :

$135 a_{6} a_{3}^{2} - 240 a_{6} a_{4} a_{2} + 16 a_{4}^{3} - 60 a_{5} a_{4} a_{3} + 100 a_{5}^{2} a_{2} = 0$
$160 a_{5} a_{2}^{2} - 300 a_{5} a_{3} a_{1} + 27 a_{3}^{3} - 96 a_{4} a_{3} a_{2} + 160 a_{4}^{2} a_{1} = 0$
$100 a_{4} a_{1}^{2} - 240 a_{4} a_{2} a_{0} + 16 a_{2}^{3} - 60 a_{3} a_{2} a_{1} + 135 a_{3}^{2} a_{0} = 0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 6 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

a_{6} x^{6} + a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0,

Premier cas : Si $(12 a_{6} a_{4} - 5 a_{5}^{2}) \neq = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

(120 a_{6} a_{4} - 50 a_{5}^{2}) X^{2} + (90 a_{6} a_{3} - 20 a_{5} a_{4}) X + 15 a_{5} a_{3} - 8 a_{4}^{2} = 0

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^{6} a_{5} + 6 c e^{5} a_{6}$
$f = d^{6} a_{5} + 6 b d^{5} a_{6}$

Les six racines de l'équation à résoudre seront :

$x_{k} = \frac{b e ^{\frac{2 k iπ}{6}} 6 a - c 6 f}{d e ^{\frac{2 k iπ}{6}} 6 a - e 6 f}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Deuxième cas : Si $(12 a_{6} a_{4} - 5 a_{5}^{2}) = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

Application à la résolution des équations de degré 7

Les équations de degré 7 :

a_{7} x^{7} + a_{6} x^{6} + a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

admettent des racines sous la forme :

\frac{b 7 a - c 7 f}{d 7 a - e 7 f}

seulement si :

$189 a_{7} a_{4}^{2} - 315 a_{7} a_{5} a_{3} + 25 a_{5}^{3} - 90 a_{6} a_{5} a_{4} + 135 a_{6}^{2} a_{3} = 0$
$135 a_{6} a_{3}^{2} - 225 a_{6} a_{4} a_{2} + 27 a_{4}^{3} - 90 a_{5} a_{4} a_{3} + 125 a_{5}^{2} a_{2} = 0$
$125 a_{5} a_{2}^{2} - 225 a_{5} a_{3} a_{1} + 27 a_{3}^{3} - 90 a_{4} a_{3} a_{2} + 135 a_{4}^{2} a_{1} = 0$
$135 a_{4} a_{1}^{2} - 315 a_{4} a_{2} a_{0} + 25 a_{2}^{3} - 90 a_{3} a_{2} a_{1} + 189 a_{3}^{2} a_{0} = 0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 7 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

a_{7} x^{7} + a_{6} x^{6} + a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0,

Premier cas : Si $(7 a_{7} a_{5} - 3 a_{6}^{2}) \neq = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

(105 a_{7} a_{5} - 45 a_{6}^{2}) X^{2} + (63 a_{7} a_{4} - 15 a_{6} a_{5}) X + 9 a_{6} a_{4} - 5 a_{5}^{2} = 0

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^{7} a_{6} + 7 c e^{6} a_{7}$
$f = d^{7} a_{6} + 7 b d^{6} a_{7}$

Les sept racines de l'équation à résoudre seront :

$x_{k} = \frac{b e ^{\frac{2 k iπ}{7}} 7 a - c 7 f}{d e ^{\frac{2 k iπ}{7}} 7 a - e 7 f}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Deuxième cas : Si $(7 a_{7} a_{5} - 3 a_{6}^{2}) = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

Cas général

Les équations de degré n supérieur ou égal à 4:

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

admettent des racines sous la forme :

\frac{b n a - c n f}{d n a - e n f}

seulement si :

\forall i \in {0, 1, \dots, n - 4}

. (i + 4)! (i + 1)! (i + 1)! (n - i - 4)! (n - i - 1)! (n - i - 1)! a_{i + 4} a_{i + 1}^{2} \dots

. \dots - i! (i + 2)! (i + 4)! (n - i)! (n - i - 2)! (n - i - 4)! a_{i} a_{i + 2} a_{i + 4} \dots

. \dots + (i + 2)! (i + 2)! (i + 2)! (n - i - 2)! (n - i - 2)! (n - i - 2)! a_{i + 2}^{3} \dots

. \dots - 2 (i + 1)! (i + 2)! (i + 3)! (n - i - 1)! (n - i - 2)! (n - i - 3)! a_{i + 1} a_{i + 2} a_{i + 3} \dots

. \dots + i! (i + 3)! (i + 3)! (n - i)! (n - i - 3)! (n - i - 3)! a_{i} a_{i + 3}^{2} = 0

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré n vérifiant cette condition de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

Premier cas : Si $2 n a_{n} a_{n - 2} - (n - 1) a_{n - 1}^{2} \neq = 0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

(n - 1) (n - 2) [2 n a_{n} a_{n - 2} - (n - 1) a_{n - 1}^{2}] X^{2} + 2 (n - 1) [3 n a_{n} a_{n - 3} - (n - 2) a_{n - 1} a_{n - 2}] X + 6 (n - 1) a_{n - 1} a_{n - 3} - 4 (n - 2) a_{n - 2}^{2} = 0

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que $\frac{b}{d}$ et $\frac{c}{e}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

$a = e^{n} a_{n - 1} + n c e^{n - 1} a_{n}$
$f = d^{n} a_{n - 1} + nb d^{n - 1} a_{n}$

Les n racines de l'équation à résoudre seront :

$x_{k} = \frac{b e ^{\frac{2 k iπ}{n}} n a - c n f}{d e ^{\frac{2 k iπ}{n}} n a - e n f}$ avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1

Deuxième cas : Si $2 n a_{n} a_{n - 2} - (n - 1) a_{n - 1}^{2} = 0$ .

Voir le paragraphe Compléments ci-après.

Compléments

Ce paragraphe examine plus en détail, pour n > 3, le cas où la résolvante n'est pas du second degré. C'est-à-dire si :

2 n a_{n} a_{n - 2} - (n - 1) a_{n - 1}^{2} = 0

En fait, cette condition entraîne que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

Nous avons alors deux possibilités.

Premier cas : Tous les coefficients de l'équation à résoudre ne sont pas nuls.

Alors l'équation à résoudre se met sous la forme :

(a x + b)^{n} = c

Et l'on en déduit les n racines :

x_{k} = \frac{1}{a} (e^{\frac{2 k iπ}{n}} n c - b)

Avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1

Deuxième cas : Certains coefficients de l'équation à résoudre sont nuls.

La méthode ne permet pas, en général, d'aboutir.

L'équation peut même être non résoluble par radicaux comme c'est le cas des équations du type :

a x^{5} + b x + c = 0

Dont on démontre qu'elles ne sont pas en général résolubles par radicaux pour b différent de 0.

Équations dont l'équation résolvante admet une racine nulle

Nous avons stipulé en début d'article que l'équation à résoudre devait vérifier la condition :

3 (n - 1) a_{n - 1} a_{n - 3} - 2 (n - 2) a_{n - 2}^{2} \neq = 0

Si cette condition n'est pas vérifiée alors que le coefficient de degrés deux n'est pas nul, l'équation résolvante admet une racine nulle et dans ce cas la méthode ne peut pas, en général, aboutir.

Il y a toutefois une exception si l'équation à résoudre vérifie de plus la condition :

(n - 1) a_{1}^{2} - 2 n a_{0} a_{2} = 0

Dans ce cas, on peut appliquer la méthode normalement.

Équations dont l'équation résolvante admet une racine double

Soit

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

Une équation à résoudre satisfaisant les conditions de résolubilité et dont l'équation résolvante admet une racine double α.

α est alors racine multiple d'ordre n-1 de l'équation à résoudre et la racine simple β manquante est obtenue par la relation :

β = (- 1)^{n} \frac{a _{0}}{a _{n} . α ^{n - 1}}

Plus précisément, l'équation à résoudre peut alors s'écrire :

(X - α)^{n - 1} (a_{n} X - (- 1)^{n} \frac{a _{0}}{α ^{n - 1}}) = 0

Remarque : Les racines α et β ne sont pas égales sinon tous les coefficients de l'équation résolvante seraient nul.

Exemples

Les deux premiers exemples qui suivent ont été choisis de façon à ce que l'équation résolvante ait un discriminant sous forme de carré parfait afin de simplifier les calculs. Mais la méthode s'applique aussi bien lorsque le discriminant n'est pas un carré parfait, est négatif (Exemples 3 et 4), ou est un nombre complexe quelconque.

Exemple 1

Soit à résoudre l'équation :

6 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 7 = 0

La résolvante de Sotta est :

2 X^{2} + 5 X - 3 = 0

qui a pour racine :

\frac{b}{d} = \frac{1}{2} e t \frac{c}{e} = - 3

On peut choisir :

b = 1, c = - 3, d = 2, e = 1

d'où :

a = e^{3} a_{2} + 3 c e^{2} a_{3} = - 60

f = d^{3} a_{2} + 3 b d^{2} a_{3} = 24

En posant :

j = e^{\frac{2 iπ}{3}}

On obtient les trois racines suivantes :

x_{1} = \frac{3 - 60 - ( - 3 ) 3 24}{2 3 - 60 - 3 24} = \frac{3 5 - 3 3 2}{2 3 5 + 3 2}

x_{2} = \frac{j 3 - 60 - ( - 3 ) 3 24}{2 j 3 - 60 - 3 24} = \frac{j 3 5 - 3 3 2}{2 j 3 5 + 3 2}

x_{3} = \frac{j ^{2} 3 - 60 - ( - 3 ) 3 24}{2 j ^{2} 3 - 60 - 3 24} = \frac{j ^{2} 3 5 - 3 3 2}{2 j ^{2} 3 5 + 3 2}

Exemple 2

Soit à résoudre l'équation :

14 x^{5} - 36 x^{4} + 32 x^{3} - 24 x^{2} - 2 x - 3 = 0

On a alors :

$a_{5} = 14$
$a_{4} = - 36$
$a_{3} = 32$
$a_{2} = - 24$
$a_{1} = - 2$
$a_{0} = - 3$

Pour savoir si l'équation est résoluble par la méthode de Sotta, nous devons vérifier les conditions de résolubilité.

10 a_{5} a_{2}^{2} - 20 a_{5} a_{3} a_{1} + a_{3}^{3} - 4 a_{4} a_{3} a_{2} + 8 a_{4}^{2} a_{1} = 10142 4^{2} + 2014322 + 3 2^{3} - 4363224 - 83 6^{2} 2 = 0

8 a_{4} a_{1}^{2} - 20 a_{4} a_{2} a_{0} + a_{2}^{3} - 4 a_{3} a_{2} a_{1} + 10 a_{3}^{2} a_{0} = - 836 2^{2} + 2036243 - 2 4^{3} - 432242 - 103 2^{2} 3 = 0

La résolvante de Sotta est :

2 X^{2} + 3 X - 2 = 0

qui a pour racine :

\frac{b}{d} = \frac{1}{2} e t \frac{c}{e} = - 2

On peut choisir :

b = 1, c = 2, d = 2, e = - 1

d'où :

a = e^{5} a_{4} + 5 c e^{4} a_{5} = 176

f = d^{5} a_{4} + 5 b d^{4} a_{5} = - 32

L'une des racines de l'équation sera :

x_{1} = \frac{5 176 - 2 5 - 32}{2 5 176 - ( - 1 ) 5 - 32} = \frac{5 11 + 2 5 2}{2 5 11 - 5 2}

On obtient alors les cinq racines suivantes :

x_{1} = \frac{5 11 + 2 5 2}{2 5 11 - 5 2}

x_{2} = \frac{e ^{\frac{2 iπ}{5}} 5 11 + 2 5 2}{2 e ^{\frac{2 iπ}{5}} 5 11 - 5 2}

x_{3} = \frac{e ^{\frac{4 iπ}{5}} 5 11 + 2 5 2}{2 e ^{\frac{4 iπ}{5}} 5 11 - 5 2}

x_{4} = \frac{e ^{\frac{6 iπ}{5}} 5 11 + 2 5 2}{2 e ^{\frac{6 iπ}{5}} 5 11 - 5 2}

x_{5} = \frac{e ^{\frac{8 iπ}{5}} 5 11 + 2 5 2}{2 e ^{\frac{8 iπ}{5}} 5 11 - 5 2}

Exemple 3

Soit à résoudre l'équation :

x^{3} - 3 (k + 1) x^{2} + (3 k^{2} + 6 k + 2) x - k (k^{2} + 3 k + 2) = 0

Donc les coefficients dépendent d'un paramètre k.

La résolvante de Sotta est :

3 X^{2} - 6 (k + 1) X + 3 k^{2} + 6 k + 4 = 0

Donc le discriminant est :

Δ = - 12 = (2 i 3)^{2}

et qui a donc pour racine :

\frac{b}{d} = \frac{3 k + 3 + i 3}{3} e t \frac{c}{e} = \frac{3 k + 3 - i 3}{3}

On peut choisir :

b = 3 k + 3 + i 3, c = - 3 k - 3 + i 3, d = 3, e = - 3

d'où :

a = e^{3} a_{2} + 3 c e^{2} a_{3} = 27 i 3

f = d^{3} a_{2} + 3 b d^{2} a_{3} = 27 i 3

En posant :

j = e^{\frac{2 iπ}{3}}

On obtient les trois racines suivantes :

\left\{\begin{matrix[type=embedded-definition]} x_1 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3})\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} - (-3k-3+i\sqrt{3})\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}}{3\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} + 3\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}} \ x_2 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3})j\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} - (-3k-3+i\sqrt{3})\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}}{3j\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} + 3\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}} \ x_3 = \frac{(3k+3+i\sqrt{3})j^2\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} - (-3k-3+i\sqrt{3})\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}}{3j^2\sqrt[3]{27i\sqrt{3}} + 3\sqrt[3]{27i\sqrt{3}}} \end{matrix}\right.

En simplifiant le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par :

3 27 i 3

Et en remarquant que :

j = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

On obtient :

{x_{1} = \frac{( 3 k + 3 + i 3 ) - ( - 3 k - 3 + i 3 )}{3 + 3} x_{2} = \frac{( 3 k + 3 + i 3 ) ( - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i ) - ( - 3 k - 3 + i 3 )}{3 ( - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i ) + 3} x_{3} = \frac{( 3 k + 3 + i 3 ) ( - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i ) - ( - 3 k - 3 + i 3 )}{3 ( - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i ) + 3}

En développant et en multipliant éventuellement le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par 2, on obtient :

{x_{1} = \frac{6 k + 6}{6} x_{2} = \frac{3 k + 3 k i 3}{3 + 3 i 3} x_{3} = \frac{3 k + 6 - 6 i 3 - 3 k i 3}{3 - 3 k i 3}

En multipliant éventuellement le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par l'expression conjuguée du dénominateur correspondant, on obtient finalement :

{x_{1} = k + 1 x_{2} = k x_{3} = k + 2

Exemple 4

Soit à résoudre l'équation :

x^{3} - 3 x^{2} 3 - 3 x + 3 = 0

La résolvante de Sotta est :

X^{2} + 1 = 0

qui a pour racine :

\frac{b}{d} = i e t \frac{c}{e} = - i

On peut choisir :

b = i, c = - i, d = 1, e = 1

d'où :

a = e^{3} a_{2} + 3 c e^{2} a_{3} = - 33 - 3 i

f = d^{3} a_{2} + 3 b d^{2} a_{3} = - 33 + 3 i

En posant :

j = e^{\frac{2 iπ}{3}}

On obtient les trois racines suivantes :

{x_{1} = \frac{i 3 - 3 3 - 3 i - ( - i ) 3 - 3 3 + 3 i}{3 - 3 3 - 3 i - 3 - 3 3 + 3 i} x_{2} = \frac{ij 3 - 3 3 - 3 i - ( - i ) 3 - 3 3 + 3 i}{j 3 - 3 3 - 3 i - 3 - 3 3 + 3 i} x_{3} = \frac{i j ^{2} 3 - 3 3 - 3 i - ( - i ) 3 - 3 3 + 3 i}{j ^{2} 3 - 3 3 - 3 i - 3 - 3 3 + 3 i} ⟹ {x_{1} = \frac{i 3 \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i + i 3 \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i}{3 \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i - 3 \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i} x_{2} = \frac{ij 3 \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i + i 3 \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i}{j 3 \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i - 3 \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i} x_{3} = \frac{i j ^{2} 3 \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i + i 3 \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i}{j ^{2} 3 \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i - 3 \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i}

Comme :

\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i = cos (\frac{π}{6}) + i . s in (\frac{π}{6}) = e^{\frac{iπ}{6}}

\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i = cos (- \frac{π}{6}) + i . s in (- \frac{π}{6}) = e^{- \frac{iπ}{6}}

j = e^{\frac{2 iπ}{3}}

j^{2} = e^{\frac{- 2 iπ}{3}}

On obtient :

{x_{1} = \frac{i 3 e ^{\frac{iπ}{6}} + i 3 e ^{- \frac{iπ}{6}}}{3 e ^{\frac{iπ}{6}} - 3 e ^{- \frac{iπ}{6}}} x_{2} = \frac{i . e ^{\frac{2 iπ}{3}} 3 e ^{\frac{iπ}{6}} + i 3 e ^{- \frac{iπ}{6}}}{e ^{\frac{2 iπ}{3}} 3 e ^{\frac{iπ}{6}} - 3 e ^{- \frac{iπ}{6}}} x_{3} = \frac{i . e ^{\frac{- 2 iπ}{3}} 3 e ^{\frac{iπ}{6}} + i 3 e ^{- \frac{iπ}{6}}}{e ^{\frac{- 2 iπ}{3}} 3 e ^{\frac{iπ}{6}} - 3 e ^{- \frac{iπ}{6}}} ⟹ {x_{1} = \frac{i e ^{\frac{iπ}{18}} + i e ^{- \frac{iπ}{18}}}{e ^{\frac{iπ}{18}} - e ^{- \frac{iπ}{18}}} x_{2} = \frac{i . e ^{\frac{13 iπ}{18}} + i e ^{- \frac{iπ}{18}}}{e ^{\frac{13 iπ}{18}} - e ^{- \frac{iπ}{18}}} x_{3} = \frac{i e ^{\frac{- 11 iπ}{18}} + i e ^{- \frac{iπ}{18}}}{e ^{\frac{- 11 iπ}{18}} - e ^{- \frac{iπ}{18}}} ⟹ {x_{1} = \frac{i ( e ^{\frac{iπ}{18}} + e ^{- \frac{iπ}{18}} )}{e ^{\frac{iπ}{18}} - e ^{- \frac{iπ}{18}}} x_{2} = \frac{i ( e ^{\frac{13 iπ}{18}} + e ^{- \frac{iπ}{18}} ) e ^{\frac{- 6 iπ}{18}}}{( e ^{\frac{13 iπ}{18}} - e ^{- \frac{iπ}{18}} ) e ^{\frac{- 6 iπ}{18}}} x_{3} = \frac{i ( e ^{\frac{- 11 iπ}{18}} + e ^{- \frac{iπ}{18}} ) e ^{\frac{6 iπ}{18}}}{( e ^{\frac{- 11 iπ}{18}} - e ^{- \frac{iπ}{18}} ) e ^{\frac{6 iπ}{18}}} ⟹ {x_{1} = \frac{i ( e ^{\frac{iπ}{18}} + e ^{- \frac{iπ}{18}} )}{e ^{\frac{iπ}{18}} - e ^{- \frac{iπ}{18}}} x_{2} = \frac{i ( e ^{\frac{7 iπ}{18}} + e ^{\frac{- 7 iπ}{18}} )}{e ^{\frac{7 iπ}{18}} - e ^{\frac{- 7 iπ}{18}}} x_{3} = \frac{i ( e ^{\frac{- 5 iπ}{18}} + e ^{\frac{5 iπ}{18}} )}{e ^{\frac{- 5 iπ}{18}} - e ^{\frac{5 iπ}{18}}}

Compte tenue des formules d'Euler :

cos x = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}

sin x = \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i}

On obtient :

{x_{1} = \frac{i .2 cos ( \frac{π}{18} )}{2 i s in ( \frac{π}{18} )} x_{2} = \frac{i .2 cos ( \frac{7 π}{18} )}{2 i s in ( \frac{7 π}{18} )} x_{3} = \frac{i .2 cos ( \frac{5 π}{18} )}{- 2 i s in ( \frac{5 π}{18} )} ⟹ {x_{1} = \frac{s in ( \frac{π}{2} - \frac{π}{18} )}{cos ( \frac{π}{2} - \frac{π}{18} )} x_{2} = \frac{s in ( \frac{π}{2} - \frac{7 π}{18} )}{cos ( \frac{π}{2} - \frac{7 π}{18} )} x_{3} = \frac{s in ( \frac{π}{2} + \frac{5 π}{18} )}{cos ( \frac{π}{2} + \frac{5 π}{18} )} ⟹ {x_{1} = \frac{s in ( \frac{4 π}{9} )}{cos ( \frac{4 π}{9} )} x_{2} = \frac{s in ( \frac{π}{9} )}{cos ( \frac{π}{9} )} x_{3} = \frac{s in ( \frac{7 π}{9} )}{cos ( \frac{7 π}{9} )}

On obtient donc finalement :

{x_{1} = t an (\frac{4 π}{9}) x_{2} = t an (\frac{π}{9}) x_{3} = t an (\frac{7 π}{9})

Méthode paramétrique de Sotta

Soit à résoudre l'équation :

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

La méthode paramétrique consiste à faire un changement de variable en posant :

x = \frac{h . z + p}{k . z + q}

On obtient alors une nouvelle équation du troisième degré en z dont les coefficients dépendent des paramètres h, p, k, q. On se propose alors de déterminer les paramètres de façon à obtenir par exemple :

- soit une simplification par les racines cubiques comme dans l'exemple 3.

- soit une apparition de fonctions trigonométriques comme dans l'exemple 4.

- etc.

Plutôt que d'exposer en détail la méthode qui est très fastidieuse, nous l'illustrerons par l'exemple suivant :

Exemple 5

Soit à résoudre l'équation :

x^{3} - 3 x - 1 = 0

Nous allons appliquer ici la méthode paramétrique dans le but d'améliorer le procédé utilisé dans l'exemple 4. Les calculs qui suivent étant assez fastidieux, il est conseillé d'utiliser une calculatrice travaillant en calcul formel ou un logiciel capable de manipuler les expressions littérales.

Posons :

x = \frac{h . z + p}{k . z + q}

avec :

h . q - k . p \neq = 0

En portant ce changement de variable dans l'équation à résoudre, on trouve une nouvelle équation du troisième degré, d'inconnue z, dont les coefficients dépendent des paramètres h,p,k,q : :

a_{3} . z^{3} + a_{2} . z^{2} + a_{1} . z + a_{0} = 0

avec :

a_{3} = h^{3} - 3 h . k^{2} - k^{3}

a_{2} = 3 (h^{2} . p - 2 h . k . q - k^{2} . p - k^{2} . q)

a_{1} = 3 (h . p^{2} - h . q^{2} - 2 k . p . q - k . q^{2})

a_{0} = p^{3} - 3 p . q^{2} - q^{3}

Les paramètres h,p,k,q seront déterminées ultérieurement de façon à ce qu'apparaissent des fonctions trigonométriques comme dans l'exemple 4.

La résolvante de Sotta se factorise sous la forme :

- 9 (h . q - k . p)^{2} . [(h^{2} + h . k + k^{2}) Z^{2} + (2 h . p + h . q + k . p + 2 k . q) Z + p^{2} + p . q + q^{2}] = 0

Quel que soit l'équation de départ à résoudre, on peut toujours mettre l'expression (h.p-k.q) en facteur. Celle-ci n'étant pas nulle, on peut alors la simplifier et on obtient la résolvante paramétrique de Sotta :

(h^{2} + h . k + k^{2}) Z^{2} + (2 h . p + h . q + k . p + 2 k . q) Z + p^{2} + p . q + q^{2} = 0

Donc le discriminant est ici :

Δ = - 3 (h . q - k . p)^{2} = [i . 3 (h . p - k . q)]^{2}

Les racines de la résolvante paramétrique sont alors :

\frac{b}{d} = \frac{- 2 h . p - h . q - k . p - 2 k . q + i . 3 ( h . p - k . q )}{2 ( h ^{2} + h . k + k ^{2} )} e t \frac{c}{e} = \frac{- 2 h . p - h . q - k . p - 2 k . q - i . 3 ( h . p - k . q )}{2 ( h ^{2} + h . k + k ^{2} )}

On peut choisir :

c = - 2 h . p - h . q - k . p - 2 k . q - i . 3 (h . p - k . q)

d = 2 (h^{2} + h . k + k^{2})

e = 2 (h^{2} + h . k + k^{2})

d'où :

a = e^{3} a_{2} + 3 c e^{2} a_{3} = - 12 (h . p - k . q) . (h^{2} + h . k + k^{2})^{2} . [h^{3} + 6 h^{2} . k + 3 h . k^{2} - k^{3} + i . (h^{3} - 3 h . k^{2} - k^{3}) . 3]

f = d^{3} a_{2} + 3 b d^{2} a_{3} = - 12 (h . p - k . q) . (h^{2} + h . k + k^{2})^{2} . [h^{3} + 6 h^{2} . k + 3 h . k^{2} - k^{3} - i . (h^{3} - 3 h . k^{2} - k^{3}) . 3]

Nous voyons a ce niveau, que l'on peut faire apparaître une exponentielle complexe dans a et f en rendant a et f respectivement proportionnel à $1 + i 3$ et $1 - i 3$ . Pour cela, il suffit de poser la relation suivante sur les paramètres :

h^{3} + 6 h^{2} . k + 3 h . k^{2} - k^{3} = h^{3} - 3 h . k^{2} - k^{3}

Qui après simplification nous donne la relation :

k = - h

En s'inspirant de l'exemple 4, nous voyons aussi qu'il serait souhaitable que b et c soit égal ou opposé. Comme b et c sont deux nombres complexes conjugués, il suffit d'annuler leur partie réelle ou imaginaire. Compte tenu de la condition h.p - k.q non nulle, nous ne pouvons pas annuler la partie imaginaire. Nous annulerons donc la partie réelle :

- 2 h . p - h . q - k . p - 2 k . q = 0

Qui compte tenu de la première relation déjà trouvé k = -h nous donne la seconde relation :

q = p

Le changement de variable initial devient alors :

x = \frac{h . z + p}{k . z + q} = \frac{h . z + p}{- h . z + p} = \frac{z + \frac{p}{h}}{- z + \frac{p}{h}} = \frac{z + l}{- z + l}

En posant :

\frac{p}{h} = l

Et nous remarquons que nous n'avons plus qu'un paramètre l à déterminer.

Le plus simple est de tout recommencer.

En posant :

x = \frac{z + l}{- z + l}

dans

x^{3} - 3 x - 1 = 0

On obtient :

z^{3} - 3 l . z^{2} - 9 l^{2} . z + 3 l^{3} = 0

Calculons la résolvante paramétrique. On obtient :

4 Z^{2} + 9 l^{2} - 9 l = 0

Qui a pour racine :

Z = \pm \frac{3. i . l ^{2} - l}{2}

On peut choisir :

b = 3. i . l^{2} - l

c = - 3. i . l^{2} - l

d = 2

e = 2

D'où :

a = e^{3} a_{2} + 3 c e^{2} a_{3} = - 24 l - 36 i . l^{2} - l

f = d^{3} a_{2} + 3 b d^{2} a_{3} = - 24 l + 36 i . l^{2} - l

Si l'on veut que a et f soit proportionnel respectivement à :

1 - i 3 e t 1 + i 3

Il faut que :

24 l . 3 + 36 l (l - 1) = 0

Ce qui entraîne :

l = - 3

Le changement de variable à faire était donc :

x = \frac{z - 3}{- z - 3} = \frac{3 - z}{3 + z}

Avec ce changement de variable, nous obtenons :

c = - 3. i . 3

d = 1

e = 1

D'où :

a = e^{3} a_{2} + 3 c e^{2} a_{3} = 9 - 9 i . 3 = 18 (\frac{1}{2} - i . \frac{3}{2}) = 18 e^{\frac{- iπ}{3}}

f = d^{3} a_{2} + 3 b d^{2} a_{3} = 9 + 9 i . 3 = 18 (\frac{1}{2} + i . \frac{3}{2}) = 18 e^{\frac{iπ}{3}}

On obtient donc les trois racines suivantes:

{z_{1} = \frac{3 i 3 18 e ^{\frac{- iπ}{3}} + 3 i 18 e ^{\frac{iπ}{3}}}{18 e ^{\frac{- iπ}{3}} - 18 e ^{\frac{iπ}{3}}} z_{2} = \frac{3 i 3 . j . 18 e ^{\frac{- iπ}{3}} + 3 i 18 e ^{\frac{iπ}{3}}}{j . 18 e ^{\frac{- iπ}{3}} - 18 e ^{\frac{iπ}{3}}} z_{3} = \frac{3 i 3 . j ^{2} . 18 e ^{\frac{- iπ}{3}} + 3 i 18 e ^{\frac{iπ}{3}}}{j ^{2} . 18 e ^{\frac{- iπ}{3}} - 18 e ^{\frac{iπ}{3}}} ⟹ {z_{1} = \frac{3 i 3 e ^{\frac{- iπ}{9}} + 3 i 3 e ^{\frac{iπ}{9}}}{e ^{\frac{- iπ}{9}} - e ^{\frac{iπ}{9}}} z_{2} = \frac{3 i 3 . j . e ^{\frac{- iπ}{9}} + 3 i 3 e ^{\frac{iπ}{9}}}{j . e ^{\frac{- iπ}{9}} - e ^{\frac{iπ}{9}}} z_{3} = \frac{3 i 3 . j ^{2} . e ^{\frac{- iπ}{9}} + 3 i 3 e ^{\frac{iπ}{9}}}{j ^{2} . e ^{\frac{- iπ}{9}} - e ^{\frac{iπ}{9}}}

Et en procédant comme dans l'exemple 4, on obtient :

En portant ces valeurs de z dans :

x = \frac{3 - z}{3 + z}

On obtient:

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = \frac{3 + \frac{3 3}{t a n ( \frac{π}{9} )}}{3 - \frac{3 3}{t a n ( \frac{π}{9} )}} x_{2} = \frac{3 + \frac{3 3}{t a n ( \frac{4 π}{9} )}}{3 - \frac{3 3}{t a n ( \frac{4 π}{9} )}} x_{3} = \frac{3 + \frac{3 3}{t a n ( \frac{7 π}{9} )}}{3 - \frac{3 3}{t a n ( \frac{7 π}{9} )}}

Et en simplifiant, on obtient finalement :

{x_{1} = \frac{t a n ( \frac{π}{9} ) + 3}{t a n ( \frac{π}{9} ) - 3} x_{2} = \frac{t a n ( \frac{4 π}{9} ) + 3}{t a n ( \frac{4 π}{9} ) - 3} x_{3} = \frac{t a n ( \frac{7 π}{9} ) + 3}{t a n ( \frac{7 π}{9} ) - 3}

Méthodes trigonométriques de Sotta

L'ambition des méthodes trigonométriques n'est pas de résoudre toutes les équations du troisième degré, mais de détecter et de calculer dans celles-ci des racines sous l'une des formes suivantes :

\frac{a tan ( \frac{k π}{9} ) + b 3}{c tan ( \frac{k π}{9} ) + d 3} \frac{a sin ( \frac{k π}{9} ) + b 3}{c sin ( \frac{k π}{9} ) + d 3} \frac{a cos ( \frac{k π}{9} ) + b}{c cos ( \frac{k π}{9} ) + d}

\frac{a tan ( \frac{k π}{7} ) + b 7}{c tan ( \frac{k π}{7} ) + d 7} \frac{a sin ( \frac{k π}{7} ) + b 7}{c sin ( \frac{k π}{7} ) + d 7} \frac{a cos ( \frac{k π}{7} ) + b}{c cos ( \frac{k π}{7} ) + d}

a, b, c, d étant le plus souvent des entiers relatifs.

Plutôt que d'appliquer le procédé utilisé dans l'exemple 5 pour chaque équation que l'on doit résoudre, ce qui est assez fastidieux, il est plus judicieux de l'appliquer à l'équation générale du troisième degré :

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

et de retenir le résultat sous forme de méthode.

Dans tout ce qui suit on pose :

δ = b^{2} c^{2} + 18 ab c d - 27 a^{2} d^{2} - 4 a c^{3} - 4 b^{3} d

δ est le discriminant de l'équation et sera un carré parfait si l'équation a des racines sous l'une des formes recherchées.

À chacune des formes recherchées corresponds une méthode trigonométrique permettant d'exprimer directement les solutions sous cette forme.

Nous allons exposer ci-dessous quelques-unes de ces méthodes en donnant des formules de conversion pour convertir les solutions trouvées d'une forme à une autre.

Toutes les méthodes trigonométriques peuvent être retrouvées à l'aide de la méthode paramétrique exposée plus haut.

Méthode trigonométrique de Sotta en tangente kpi/9

Soit à résoudre l'équation :

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

On choisit h et k tel que $\frac{h}{k}$ soit racine de l'une des deux équations suivantes (résolvantes trigonométriques en pi/9) :

(27 a^{2} d + 2 b^{3} - 9 ab c + 3 a ϵ δ) X^{3} + (27 ab d + 3 b^{2} c - 18 a c^{2} + 3 b ϵ δ) X^{2}

+ (18 b^{2} d - 27 a c d - 3 b c^{2} + 3 cϵ δ) X + 9 b c d - 27 a d^{2} - 2 c^{3} + 3 d ϵ δ = 0

ε prenant successivement les valeurs ε = 1 et ε = -1.

On retiendra la valeur de ε qui fournit une résolvante trigonométrique ayant une racine la plus simple possible (le plus souvent une racine évidente). si aucune des deux valeurs de ε ne permet d'avoir une racine s'exprimant simplement, on peut considérer que la méthode a échoué.

On choisit ensuite p et q tel que :

\frac{p}{q} = \frac{9 a d h - b c h + 6 b d k - 2 c ^{2} k}{2 b ^{2} h + b c k - 6 a c h - 9 a d k}

On pose ensuite :

γ = 3 a c h^{2} + 9 a d hk - b^{2} h^{2} - b c hk + 3 b d k^{2} - c^{2} k^{2}

Les racines de l'équation à résoudre sont alors :

{x_{1} = \frac{2 γ . p . t an \frac{π}{9} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3}{2 γ . q . t an \frac{π}{9} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3} x_{2} = \frac{2 γ . p . t an \frac{4 π}{9} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3}{2 γ . q . t an \frac{4 π}{9} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3} x_{3} = \frac{2 γ . p . t an \frac{7 π}{9} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3}{2 γ . q . t an \frac{7 π}{9} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3}

La méthode que l'on vient de voir permet de trouver les racines d'un polynôme du troisième degré en fonction de tan(kπ / 9).Sans utiliser une autre méthode, on peut exprimer les racines trouvées en fonction de sin(kπ / 9) ou cos(kπ / 9). Il suffit, pour cela, d'utiliser les formules de conversion suivantes :

\forall k \in {1, 4, 7} tan \frac{k π}{9} = 3 + (- 1)^{k} \times 4 sin \frac{k π}{9} = \frac{3}{1 - ( - 1 ) ^{k} \times 4 cos \frac{k π}{9}}

Exemple 6

Soit à résoudre l'équation :

x^{3} + 12 x^{2} - 9 x - 1 = 0

On a :

a = 1 b = 12 c = - 9 d = - 1

δ = b^{2} c^{2} + 18 ab c d - 27 a^{2} d^{2} - 4 a c^{3} - 4 b^{3} d = 23409 = 15 3^{2}

Des deux résolvantes trigonométriques, seule celle correspondant à ε = 1, a des racines évidentes.

Cette résolvante trigonométrique est :

30 X^{3} - X^{2} - 61 X + 12 = 0

Dont l'une des racines est:

\frac{h}{k} = - \frac{3}{2}

On peut donc choisir h = 3 et k = -2.

Ensuite :

\frac{p}{q} = \frac{9 a d h - b c h + 6 b d k - 2 c ^{2} k}{2 b ^{2} h + b c k - 6 a c h - 9 a d k} = \frac{765}{1224} = \frac{5}{8}

On peut choisir p = 5 et q = 8.

Ensuite :

γ = 3 a c h^{2} + 9 a d hk - b^{2} h^{2} - b c hk + 3 b d k^{2} - c^{2} k^{2} = - 2601

Les racines seront :

{x_{1} = \frac{2 γ . p . t an \frac{π}{9} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3}{2 γ . q . t an \frac{π}{9} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3} = \frac{- 26010. t an \frac{π}{9} - 15606. 3}{- 41616. t an \frac{π}{9} + 10404. 3} x_{2} = \frac{2 γ . p . t an \frac{4 π}{9} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3}{2 γ . q . t an \frac{4 π}{9} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3} = \frac{- 26010. t an \frac{4 π}{9} - 15606. 3}{- 41616. t an \frac{4 π}{9} + 10404. 3} x_{3} = \frac{2 γ . p . t an \frac{7 π}{9} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3}{2 γ . q . t an \frac{7 π}{9} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 3} = \frac{- 26010. t an \frac{7 π}{9} - 15606. 3}{- 41616. t an \frac{7 π}{9} + 10404. 3}

Qui se simplifie sous la forme :

{x_{1} = \frac{5. t an \frac{π}{9} + 3 3}{8 t an \frac{π}{9} - 2. 3} x_{2} = \frac{5. t an \frac{4 π}{9} + 3 3}{8 t an \frac{4 π}{9} - 2. 3} x_{3} = \frac{5. t an \frac{7 π}{9} + 3 3}{8 t an \frac{7 π}{9} - 2. 3}

En utilisant les formules de conversion :

\forall k \in {1, 4, 7} tan \frac{k π}{9} = 3 + (- 1)^{k} \times 4 sin \frac{k π}{9} = \frac{3}{1 - ( - 1 ) ^{k} \times 4 cos \frac{k π}{9}}

les racines de l'équation proposée peuvent s'écrire :

{x_{1} = \frac{5. t a n \frac{π}{9} + 3 3}{8 t a n \frac{π}{9} - 2. 3} = \frac{10. s i n \frac{π}{9} - 4 3}{16 s i n \frac{π}{9} - 3 3} = \frac{6. c o s \frac{π}{9} + 4}{- 4 c o s \frac{π}{9} + 3} x_{2} = \frac{5. t a n \frac{4 π}{9} + 3 3}{8 t a n \frac{4 π}{9} - 2. 3} = \frac{10. s i n \frac{4 π}{9} + 4 3}{16 s i n \frac{4 π}{9} + 3 3} = \frac{6. c o s \frac{4 π}{9} - 4}{- 4 c o s \frac{4 π}{9} - 3} x_{3} = \frac{5. t a n \frac{7 π}{9} + 3 3}{8 t a n \frac{7 π}{9} - 2. 3} = \frac{10. s i n \frac{7 π}{9} - 4 3}{16 s i n \frac{7 π}{9} - 3 3} = \frac{6. c o s \frac{7 π}{9} + 4}{- 4 c o s \frac{7 π}{9} + 3}

Remarque

Dans l'exemple 6, la résolvante trigonométrique avait d'autres racines évidentes que -3/2. Nous avions aussi la racine évidente :

\frac{h}{k} = \frac{4}{3}

Nous aurions pu alors choisir :

h = 4 k = 3

Nous aurions alors abouti aux racines :

{x_{1}^{'} = \frac{- 2. t an \frac{π}{9} + 4 3}{7. t an \frac{π}{9} + 3 3} x_{2}^{'} = \frac{- 2. t an \frac{4 π}{9} + 4 3}{7. t an \frac{4 π}{9} + 3 3} x_{3}^{'} = \frac{- 2. t an \frac{7 π}{9} + 4 3}{7. t an \frac{7 π}{9} + 3 3}

Qui contrairement aux apparences sont bien les mêmes racines que précédemment. Nous avons en effet :

{x_{1}^{'} = x_{2} x_{2}^{'} = x_{3} x_{3}^{'} = x_{1}

Ces identifications nous permettent d'en déduire les formules:

{tan \frac{4 π}{9} . tan \frac{π}{9} = \frac{t a n \frac{4 π}{9} - t a n \frac{π}{9}}{3} - 1 tan \frac{7 π}{9} . tan \frac{4 π}{9} = \frac{t a n \frac{7 π}{9} - t a n \frac{4 π}{9}}{3} - 1 tan \frac{π}{9} . tan \frac{7 π}{9} = \frac{t a n \frac{π}{9} - t a n \frac{7 π}{9}}{3} - 1

Méthode trigonométrique de Sotta en tangente kpi/7

Soit à résoudre l'équation :

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

On choisit h et k tel que $\frac{h}{k}$ soit racine de l'une des deux équations suivantes (résolvantes trigonométriques en pi/7) :

(27 a^{2} d + 2 b^{3} - 9 ab c + a ϵ δ) X^{3} + (27 ab d + 3 b^{2} c - 18 a c^{2} + b ϵ δ) X^{2}

+ (18 b^{2} d - 27 a c d - 3 b c^{2} + cϵ δ) X + 9 b c d - 27 a d^{2} - 2 c^{3} + d ϵ δ = 0

ε prenant successivement les valeurs ε = 1 et ε = -1.

On choisit ensuite p et q tel que :

\frac{p}{q} = \frac{9 a d h - b c h + 6 b d k - 2 c ^{2} k - 2 ϵ . h δ}{2 b ^{2} h + b c k - 6 a c h - 9 a d k - 2 ϵ . h δ}

On pose ensuite :

γ = 3 a c h^{2} + 9 a d hk - b^{2} h^{2} - b c hk + 3 b d k^{2} - c^{2} k^{2}

Les racines de l'équation à résoudre sont alors :

{x_{1} = \frac{2 γ . p . t an \frac{π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7}{2 γ . q . t an \frac{π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7} x_{2} = \frac{2 γ . p . t an \frac{2 π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7}{2 γ . q . t an \frac{2 π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7} x_{3} = \frac{2 γ . p . t an \frac{4 π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7}{2 γ . q . t an \frac{4 π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7}

La méthode que l'on vient de voir permet de trouver les racines d'un polynôme du troisième degré en fonction de tan(kπ / 7).Sans utiliser une autre méthode, on peut exprimer les racines trouvée en fonction de sin(kπ / 7) ou cos(kπ / 7). Il suffit, pour cela, d'utiliser les formules de conversion suivantes :

\forall k \in {1, 2, 4} tan \frac{k π}{7} = \frac{2 sin \frac{k π}{7} - ( - 1 ) ^{k} 7}{2 sin \frac{k π}{7} \times 7 - 5 ( - 1 ) ^{k}} = \frac{2 cos \frac{k π}{7} \times 7 + ( - 1 ) ^{k} 7}{6 cos \frac{k π}{7} + ( - 1 ) ^{k}}

Exemple 7

Soit à résoudre l'équation :

x^{3} - 11 x^{2} - 4 x + 1 = 0

On a :

a = 1 b = - 11 c = - 4 d = 1

δ = b^{2} c^{2} + 18 ab c d - 27 a^{2} d^{2} - 4 a c^{3} - 4 b^{3} d = 8281 = 9 1^{2}

Des deux résolvantes trigonométriques, seule celle correspondant à ε = 1, a des racines évidentes.

Cette résolvante trigonométrique est :

30 X^{3} + 31 X^{2} - 25 X - 6 = 0

Dont l'une des racines est:

\frac{h}{k} = - \frac{1}{5}

On peut donc choisir h = -1 et k = 5.

Ensuite :

\frac{p}{q} = \frac{9 a d h - b c h + 6 b d k - 2 c ^{2} k - 2 ϵ . h δ}{2 b ^{2} h + b c k - 6 a c h - 9 a d k - 2 ϵ . h δ} = \frac{- 273}{- 1001} = \frac{3}{11}

On peut choisir p = 3 et q = 11.

Ensuite :

γ = 3 a c h^{2} + 9 a d hk - b^{2} h^{2} - b c hk + 3 b d k^{2} - c^{2} k^{2} = - 1183

Les racines de l'équation à résoudre sont alors :

{x_{1} = \frac{2 γ . p . t an \frac{π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7}{2 γ . q . t an \frac{π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7} = \frac{- 7098. t an \frac{π}{7} - 2366. 7}{- 26026. t an \frac{π}{7} + 11830. 7} x_{2} = \frac{2 γ . p . t an \frac{2 π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7}{2 γ . q . t an \frac{2 π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7} = \frac{- 7098. t an \frac{2 π}{7} - 2366. 7}{- 26026. t an \frac{2 π}{7} + 11830. 7} x_{3} = \frac{2 γ . p . t an \frac{4 π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7}{2 γ . q . t an \frac{4 π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ . 7} = \frac{- 7098. t an \frac{4 π}{7} - 2366. 7}{- 26026. t an \frac{4 π}{7} + 11830. 3}

Qui se simplifie sous la forme :

{x_{1} = \frac{3. t a n \frac{π}{7} + 7}{11 t a n \frac{π}{7} - 5. 7} x_{2} = \frac{3. t a n \frac{2 π}{7} + 7}{11 t a n \frac{2 π}{7} - 5. 7} x_{3} = \frac{3. t a n \frac{4 π}{7} + 7}{11 t a n \frac{4 π}{7} - 5. 7}

En utilisant les formules de conversion :

\forall k \in {1, 2, 4} tan \frac{k π}{7} = \frac{2 sin \frac{k π}{7} - ( - 1 ) ^{k} 7}{2 sin \frac{k π}{7} \times 7 - 5 ( - 1 ) ^{k}} = \frac{2 cos \frac{k π}{7} \times 7 + ( - 1 ) ^{k} 7}{6 cos \frac{k π}{7} + ( - 1 ) ^{k}}

les racines de l'équation proposée peuvent s'écrire :

{x_{1} = \frac{3. t a n \frac{π}{7} + 7}{11 t a n \frac{π}{7} - 5. 7} = \frac{10. s i n \frac{π}{7} + 4 7}{- 24 s i n \frac{π}{7} - 7 7} = \frac{6. c o s \frac{π}{7} - 2}{- 4 c o s \frac{π}{7} - 3} x_{2} = \frac{3. t a n \frac{2 π}{7} + 7}{11 t a n \frac{2 π}{7} - 5. 7} = \frac{10. s i n \frac{2 π}{7} - 4 7}{- 24 s i n \frac{2 π}{7} + 7 7} = \frac{6. c o s \frac{2 π}{7} + 2}{- 4 c o s \frac{2 π}{7} + 3} x_{3} = \frac{3. t a n \frac{4 π}{7} + 7}{11 t a n \frac{4 π}{7} - 5. 7} = \frac{10. s i n \frac{4 π}{7} - 4 7}{- 24 s i n \frac{4 π}{7} + 7 7} = \frac{6. c o s \frac{4 π}{7} + 2}{- 4 c o s \frac{4 π}{7} + 2}

Méthode trigonométrique de Sotta en cosinus kpi/9

Soit à résoudre l'équation :

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

On choisit h et k tel que $\frac{h}{k}$ soit racine de l'une des deux équations suivantes (résolvantes trigonométriques en pi/9) :

(27 a^{2} d + 2 b^{3} - 9 ab c + 3 a ϵ δ) X^{3} + (27 ab d + 3 b^{2} c - 18 a c^{2} + 3 b ϵ δ) X^{2}

+ (18 b^{2} d - 27 a c d - 3 b c^{2} + 3 cϵ δ) X + 9 b c d - 27 a d^{2} - 2 c^{3} + 3 d ϵ δ = 0

ε prenant successivement les valeurs ε = 1 et ε = -1.

On choisit ensuite p et q tel que :

\frac{p}{q} = \frac{9 a d h - b c h + 6 b d k - 2 c ^{2} k - ϵ . h δ}{2 b ^{2} h + b c k - 6 a c h - 9 a d k - ϵ . h δ}

On pose ensuite :

γ = 3 a c h^{2} + 9 a d hk - b^{2} h^{2} - b c hk + 3 b d k^{2} - c^{2} k^{2}

Les racines de l'équation à résoudre sont alors :

{x_{1} = \frac{2 γ . p . cos \frac{π}{9} + h . ϵ . ( h q - k p ) . δ}{2 γ . q . cos \frac{π}{9} + k . ϵ . ( h q - k p ) . δ} x_{2} = \frac{2 γ . p . cos \frac{5 π}{9} + h . ϵ . ( h q - k p ) . δ}{2 γ . q . cos \frac{5 π}{9} + k . ϵ . ( h q - k p ) . δ} x_{3} = \frac{2 γ . p . cos \frac{7 π}{9} + h . ϵ . ( h q - k p ) . δ}{2 γ . q . cos \frac{7 π}{9} + k . ϵ . ( h q - k p ) . δ}

Méthode trigonométrique de Sotta en cosinus kpi/7

Soit à résoudre l'équation :

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

On choisit h et k tel que $\frac{h}{k}$ soit racine de l'une des deux équations suivantes (résolvantes trigonométriques en pi/7) :

(27 a^{2} d + 2 b^{3} - 9 ab c + a ϵ δ) X^{3} + (27 ab d + 3 b^{2} c - 18 a c^{2} + b ϵ δ) X^{2}

+ (18 b^{2} d - 27 a c d - 3 b c^{2} + cϵ δ) X + 9 b c d - 27 a d^{2} - 2 c^{3} + d ϵ δ = 0

ε prenant successivement les valeurs ε = 1 et ε = -1.

On choisit ensuite p et q tel que :

\frac{p}{q} = \frac{9 a d h - b c h + 6 b d k - 2 c ^{2} k - ϵ . h δ}{2 b ^{2} h + b c k - 6 a c h - 9 a d k - ϵ . h δ}

On pose ensuite :

γ = 3 a c h^{2} + 9 a d hk - b^{2} h^{2} - b c hk + 3 b d k^{2} - c^{2} k^{2}

Les racines de l'équation à résoudre sont alors :

{x_{1} = \frac{2 γ . p . cos \frac{π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ}{2 γ . q . cos \frac{π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ} x_{2} = \frac{2 γ . p . cos \frac{3 π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ}{2 γ . q . cos \frac{3 π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ} x_{3} = \frac{2 γ . p . cos \frac{5 π}{7} - h . ϵ . ( h q - k p ) . δ}{2 γ . q . cos \frac{5 π}{7} - k . ϵ . ( h q - k p ) . δ}

Introduction

Principe de la méthode

Application à la résolution des équations de degré 3

Application à la résolution des équations de degré 4

Application à la résolution des équations de degré 5

Application à la résolution des équations de degré 6

Application à la résolution des équations de degré 7

Cas général

Compléments

Équations dont l'équation résolvante admet une racine nulle

Équations dont l'équation résolvante admet une racine double

Exemples

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Méthode paramétrique de Sotta

Exemple 5

Méthodes trigonométriques de Sotta

Méthode trigonométrique de Sotta en tangente kpi/9

Exemple 6

Remarque

Méthode trigonométrique de Sotta en tangente kpi/7

Exemple 7

Méthode trigonométrique de Sotta en cosinus kpi/9

Méthode trigonométrique de Sotta en cosinus kpi/7

Autres méthodes de résolution d'équations