La méthode de Tschirnhaus, imaginée et mise au point par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, est une tentative de résoudre le point clé de la théorie des équations à savoir trouver une méthode générale de résolution de l'équation polynomiale. Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.
Considérons une équation de degré n :
Le principe de la méthode consiste à faire un changement de variable en posant :
Une transformation de ce type se nomme transformation de Tschirnhaus.
En éliminant x entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une équation de degré n et d'inconnue y dont les coefficients dépendent de . On va alors essayer de déterminer de façon à obtenir une équation en y plus simple à résoudre, par exemple de la forme :
Pour cela, dans l'équation en y, on pose égal à 0, tous les coefficients des monômes de degré 1 à n-1. On obtient ainsi un système de n-1 équations à n inconnues . Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans la relation :
Où y prendra successivement pour valeur l'une des n racines de c.
Nous nous sommes donc ramené à la résolution de n équations en x de degré n-1. Nous pouvons renouveler ainsi l'opération jusqu'à obtenir des équations de degré suffisamment bas pour pouvoir les résoudre.
Nous allons exposer la méthode sur l'exemple suivant :
Posons :
Les deux équations précédentes se mettent sous la forme :
Nous devons éliminer x entre ces deux équations. Pour cela, nous remplaçons la première équation par le produit membre à membre de ces deux équations. Après simplification, nous obtenons :
Cette façon de procéder permet de diminuer le degré de l'une des équations par rapport à x. Nous allons donc réitérer le processus jusqu'à ce que x ait disparu de l'une des équations. D'autre part, comme nous faisons des produits membre à membre, nous risquons d'introduire des solutions parasites. Il nous sera donc nécessaire à la fin de la résolution de vérifier que toutes les solutions trouvées vérifient bien l'équation à résoudre.
Après un nouveau produit membre à membre, nous obtenons :
Après un nouveau produit membre à membre en remplaçant cette fois la deuxième équation, nous obtenons :
Un dernier produit membre à membre nous donne après réduction des termes semblables et simplification par ax :
Nous devons maintenant déterminer a, b, c de façon à ce que :
En tirant c de la première équation et en reportant dans la deuxième équation, nous obtenons :
Nous voyons alors que le rapport a/b est racine de l'équation :
L'une des racines de cette équation étant :
On peut en déduire pour a, b, c le choix des valeurs suivantes :
En reportant ces valeurs d'une part dans (*), on obtient :
Et d'autre part dans (**), on obtient :
D’où l'on déduit les trois valeurs possibles de y :
Il nous suffit de reporter ces trois valeurs de y dans (***) pour obtenir successivement les trois équations du second degré suivantes :
Qui se simplifient sous la forme :
Il ne nous reste plus qu'à résoudre ces trois équations pour en déduire les valeurs possibles de x. Les trois discriminants de ces équations du second degré sont respectivement :
On en déduit respectivement les six valeurs possibles pour x :
Comme nous avons fait des produits membre à membre au début, nous risquons d'avoir introduit des racines parasites. Nous devons donc vérifier que les valeurs obtenues pour x vérifient bien l'équation à résoudre. Nous constatons que seulement trois des six valeurs obtenues sont bien solution de l'équation. Ces valeurs sont :
Considérons l'équation générale du quatrième degré suivante :
En divisant par et en posant
on se ramène à une équation de la forme :
Considérons la transformation de Tschirnhaus suivante :
En éliminant z entre les deux relations précédentes, nous obtenons l'équation du quatrième degré en y suivante :
Nous voyons alors que nous pouvons obtenir à ce niveau une équation bicarrée du quatrième degré si p vérifie la relation :
C'est-à-dire si p est solution de l'équation du troisième degré:
Nous nous sommes donc ramené à la résolution d'une équation du troisième degré.
Prenons un exemple pour étudier de façon plus précise la méthode.
Soit à résoudre l'équation :
Posons :
En remplaçant dans l'équation, on obtient :
Considérons la transformation de Tschirnhaus :
En éliminant z par des produits membre à membre successifs (voir paragraphe précédent) entre les deux relations précédentes, nous obtenons :
Si l'on veut que cette équation soit une équation bicarrée du quatrième degré, nous voyons que nous devons choisir p parmi les racines de l'équation :
Cette équation admet pour racine évidente :
Nous choisirons donc :
La transformation de Tschirnhaus envisagé est donc :
Et par élimination de z avec l'équation :
On obtient :
En posant :
On se ramène à l'équation du second degré :
Qui a pour racines :
D’où l'on déduit les quatre valeurs de y suivantes :
Ces quatre valeurs de y reportées dans la transformation de Tschirnhaus envisagée nous donnent quatre équations du second degré :
Qui se simplifient respectivement sous la forme :
Ces quatre équations ont respectivement comme discriminant :
Chacune des quatre équations du second degré fournissant deux racines, on en déduit huit valeurs possibles pour z :
Seules les quatre valeurs :
Vérifie l'équation :
Les autres valeurs sont des racines parasites apparues lors des produits membre à membre effectués pour éliminer z plus haut.
En portant les quatre valeurs valides de z dans (*), on obtient :
Qui sont les quatre racines de l'équation que l'on s'était donné de résoudre.
Voir à ce propos l'article Radical de Bring.
Cette méthode est la première méthode générale de résolution des équations à avoir été publiée. Sa publication remonte à 1683.