Nombre hautement composé

Un nombre hautement composé est un entier qui possède plus de diviseurs que n'importe quel entier positif inférieur à lui.

Les vingt-et-un premiers nombres hautement composés sont :

Il existe une infinité de nombres hautement composés.

Cette proposition se démontre très facilement. Supposons que n est un nombre hautement composé arbitraire. Alors 2n possèdera plus de diviseurs que n (2n est un diviseur et sont tous les diviseurs de n) et ainsi, certains nombres plus grands que n (mais pas plus grand que 2n) doivent donc être hautement composés.

Une autre démonstration, encore plus élémentaire, consiste à considérer, pour n donné, l'ensemble des nombres ayant au moins n diviseurs, qui est non vide (car il contient au moins 2, donc admet un plus petit élément (l'ordre canonique sur l'ensemble des naturels étant bien fondé), qui est par construction hautement composé.

Pour donner une idée de la forme d'un nombre hautement composé, on peut dire qu'il s'agit d'un nombre possédant des facteurs premiers aussi petits que possible, sans être trop de fois les mêmes. En effet, si l'on considère la décomposition d'un nombre n en facteurs premiers comme suit :

avec $p_1<p_2<\cdots <p_k$ premiers, et des exposants c_i entiers non nuls. Alors, le nombre de diviseurs de n est exactement:

$(c_1+1)\times (c_2+1)\times \cdots \times (c_k+1)$.

Par conséquent, pour que n soit hautement composé:

• il faut que les nombres premiers cités soient les k plus petits nombres premiers (2, 3, 5, ...) ; sinon, on pourrait remplacer un des p_i par un nombre premier plus petit, et obtenir un nombre inférieur à n ayant le même nombre de diviseurs (par exemple 10=2×5 peut être remplacé par 6=2×3, chacun a 4 diviseurs) ;
• il faut que $c_1\ge c_2\ge \cdots \ge c_k$ ; sinon, en échangeant les deux exposants fautifs on diminue n tout en conservant le même nombre de diviseurs (par exemple 18=2×3 peut être remplacé par 12=2×3, chacun a 6 diviseurs).

On peut aussi montrer qu'il faut que c_k = 1, sauf dans deux cas particuliers n=4 et n=36.

Les nombres hautement composés supérieurs à 6 sont aussi des nombres abondants. Un seul coup d'œil aux trois ou quatre plus hauts diviseurs d'un nombre hautement composé particulier est nécessaire pour confirmer ce fait. Les nombres hautement composés sont également décomposables en produits de primorielles.

Beaucoup de ces nombres sont utilisés dans les systèmes traditionnels de mesure, et ont tendance à être utilisés en ingénierie, en raison de leur usage dans les calculs de fractions compliquées.

Si Q(x) représente la quantité de nombres hautement composés qui sont inférieurs ou égaux à x, alors il existe deux constantes b et c, toutes les deux plus grandes que 1, nous avons

${\ln x}^b\le Q(x)\le {\ln x}^c$.

La première partie de l'inégalité fut prouvée par Paul Erdős en 1944 et la seconde partie par J.-L. Nicholas en 1988.