Théorème de Lindemann-Weierstrass

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors $e^{{\alpha }_1}\cdots e^{{\alpha }_n}$ sont algébriquement indépendants sur les nombres algébriques ; en d'autres mots, l'ensemble $e^{{\alpha }_1}\cdots e^{{\alpha }_n}$ possède le degré de transcendance n sur $\mathbb{Q}$. Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ sont des nombres algébriques distincts alors $e^{{\alpha }_1}\cdots e^{{\alpha }_n}$ sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques.

Le théorème fut nommé ainsi en l'honneur de Ferdinand von Lindemann, qui prouva le cas particulier de la transcendance de $\pi$, et Karl Weierstrass.

La transcendance de e et celle de $\pi$ sont des corollaires immédiats de ce théorème. Supposons que $\alpha$ soit un nombre algébrique différent de zéro ; alors {$\alpha$} est un ensemble linéairement indépendant sur les nombres rationnels, et par conséquent {$e^{\alpha }$} possède un degré de transcendance un sur les nombres rationnels ; en d'autres termes $e^{\alpha }$ est transcendant. En utilisant l'autre formulation, nous pouvons argumenter que si {$0,\alpha$} est un ensemble de nombres algébriques distincts, alors l'ensemble {$e^0,e^{\alpha }$} = {$1,e^{\alpha }$} est linéairement indépendant sur les nombres algébriques, et ainsi $e^{\alpha }$ est immédiatement vu comme étant transcendant. En particulier, $e^1=e$ est transcendant. Donc, si $\beta =e^{i\alpha }$ est transcendant, alors sa partie réelle et sa partie imaginaire :

$\cos (\alpha )=Re(\beta )=\frac{\beta +{\beta }^{-1}}{2}$ et

$\sin (\alpha )=Im(\beta )=\frac{\beta -{\beta }^{-1}}{2i}$ le sont aussi.

Par conséquent, si $\pi$ était algébrique, $\cos (\pi )=-1$ et $\sin (\pi )=0$ seraient transcendants, ce qui prouve par l'absurde que $\pi$ n'est pas algébrique, autrement dit qu'il est transcendant.

La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass est la suivante : cette conjecture est aussi vraie pour sa version p-adique : si ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que | α_i | _p < 1 / p pour un certain nombre premier p, alors les exponentielles p-adiques $e^{{\alpha }_1}\cdots e^{{\alpha }_n}$ sont transcendantes algébriquement indépendantes.