Théorème de Pappus

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Introduction

Le théorème de Pappus est un résultat de géométrie présentant deux particularités :

D'abord, parmi tous les théorèmes de géométrie, c'est celui qui demande les hypothèses minimales. Il porte sur deux triplets de points arbitraires respectivement pris sur deux droites coplanaires quelconques. Il ne demande donc comme connaissance que celle de l'alignement de trois points et ne nécessite par exemple ni métrique, ni orthogonalité… On dit qu'il est un théorème de géométrie projective.

Ensuite, ce théorème est le générateur de tous les théorèmes de géométrie euclidienne par l'enchaînement suivant

D'après un résultat obtenu par D. Hilbert, le théorème de Pappus permet de démontrer le théorème des triangles homologiques.

Dans Leçons de géométrie projective du célèbre géomètre F. Enriqués, on lit : …en se servant du théorème des triangles homologiques […] on pourrait déduire tous les théorèmes de géométrie projective plane. (voir page 46 de son livre)

Enfin la géométrie projective contient la géométrie euclidienne comme cas particulier.

On trouvera tous les détails sur ces développements dans les références données en fin d'article. Cette particularité remarquable explique que certains auteurs aient conféré le statut d'axiome à ce théorème, voir axiomes de plans projectifs.

Énoncé du théorème

Dans un plan, soient A₁, B₁, C₁ trois points distincts alignés sur une droite (d) , et soient A₂, B₂, C₂ trois autres points distincts alignés sur une autre droite $(d^{'})$ alors les points

A intersection de (B₂C₁) avec (C₂B₁)
B intersection de (A₂C₁) avec (C₂A₁)
C intersection de (A₂B₁) avec (B₂A₁)

sont alignés.

Il s'agit d'un théorème de géométrie projective donc les points considérés peuvent être propres ou impropres. Dans le cas où tous les points sont propres, on obtient une configuration du type ci-contre.

Remarques :

si l'on note (Δ) la droite portant les points A,B,C alors les assertions suivantes sont équivalentes (en géométrie projective) :

-- les trois droites (d), $(d^{'})$ et (Δ) sont concourantes ;

-- les trois droites (A₁A₂) (B₁B₂) (C₁C₂) sont concourantes ;

-- les six droites « croisillons » (B₂C₁) (C₂B₁) (A₂C₁) (C₂A₁) (A₂B₁) (B₂A₁) sont tangentes à une même conique.

-- Les deux droites (d) et $(d^{'})$ peuvent être considérées comme une conique dégénérée : pour l'hexagramme A₁B₂C₁A₂B₁C₂, le théorème de Pappus-Pascal affirme l'alignement des points A, B et C.

Démonstration à l'aide des applications projectives

On construit les points O intersection de (d) et (d'), D intersection de (A₁B₂) et (A₂C₁) et E intersection de (A₁C₂) et (C₁B₂)

On considère la projection centrale p de la droite (A₁B₂) sur la droite (d) de centre A₂

A₁ a pour image A₁
C a pour image B₁
D a pour image C₁
B₂ a pour image O

On considère la projection centrale q de la droite (d) sur la droite (B₂C₁) de centre C₂

A₁ a pour image E
B₁ a pour image A
C₁ pour image C₁
O a pour image B₂

Par l'application projective q o p de la droite (A₁B₂) sur la droite (B₂C₁)

A₁ a pour image E
C a pour image A
D a pour image C₁
B₂ a pour image B₂

Si on regarde maintenant la projection centrale r de la droite (A₁B₂) sur la droite (B₂C₁) de centre B

A₁ a pour image E
D a pour image C₁
B₂ a pour image B₂

Or, une application projective d'une droite sur une autre est entièrement déterminée par l'image de trois points distincts. Les transformations q o p et r coïncident sur A₁, D et B₂. Elles sont donc égales et r(C) = A. Les points A, B et C sont donc alignés.

Démonstration à l'aide du théorème de Ménélaüs

Démonstration du théorème de Pappus à l'aide de Ménélaüs

Dans le cas où aucun point n'est impropre et à condition qu'il existe un triangle de référence, dont les côtés soient interceptés par cinq droites du problème, on peut caractériser l'alignement de cinq triplets de points grâce au théorème de Ménélaüs et en déduire simplement que les trois points A, B et C sont alignés. Deux triangles de référence peuvent être choisis à cette fin :

le triangle J₁K₁L₁ (en bleu sur la figure) dont les sommets sont les intersections des droites (A₂B₁), (B₂C₁) et (A₁C₂),
le triangle J₂K₂L₂ (en rouge sur la figure) dont les sommets sont les intersections des droites (A₁B₂), (B₁C₂) et (A₂C₁).

Dans le triangle J₁K₁L₁ (s'il existe) :

la droite (A₁C₁) intercepte les trois côtés en A₁, B₁, C₁
la droite (A₂C₂) intercepte les trois côtés en A₂, B₂, C₂
la droite (A₁B₂) intercepte les trois côtés en A₁, A, B₂
la droite (B₁C₂) intercepte les trois côtés en B₁, C, C₂
la droite (A₂C₁) intercepte les trois côtés en A₂, B, C₁

D'après Ménélaüs, ces alignements se traduisent par les égalités suivantes :

\frac{A _{1} K _{1}}{A _{1} L _{1}} \times \frac{B _{1} J _{1}}{B _{1} K _{1}} \times \frac{C _{1} L _{1}}{C _{1} J _{1}} = 1

\frac{A _{2} J _{1}}{A _{2} K _{1}} \times \frac{B _{2} L _{1}}{B _{2} J _{1}} \times \frac{C _{2} K _{1}}{C _{2} L _{1}} = 1

\frac{A _{1} L _{1}}{A _{1} K _{1}} \times \frac{A K _{1}}{A J _{1}} \times \frac{B _{2} J _{1}}{B _{2} L _{1}} = 1

\frac{B _{1} K _{1}}{B _{1} J _{1}} \times \frac{C J _{1}}{C L _{1}} \times \frac{C _{2} L _{1}}{C _{2} K _{1}} = 1

\frac{A _{2} K _{1}}{A _{2} J _{1}} \times \frac{B L _{1}}{B K _{1}} \times \frac{C _{1} J _{1}}{C _{1} L _{1}} = 1

En multipliant membre à membre ces cinq égalités, il reste après simplification :

\frac{A K _{1}}{A J _{1}} \times \frac{B L _{1}}{B K _{1}} \times \frac{C J _{1}}{C L _{1}} = 1

ce qui prouve d'après la réciproque de Ménélaüs l'alignement des trois points A, B et C.

Une démonstration analogue peut être faite dans le triangle J₂K₂L₂. Dans ce cas, les trois droites (A₁B₂), (B₁C₂) et (A₂C₁) (en rouge sur la figure) échangent leur rôle avec les trois droites (A₂B₁), (B₂C₁) et (A₁C₂) (en bleu sur la figure). Cette fois-ci, les trois premières droites délimitent le triangle de référence tandis que les trois dernières interceptent les côtés du triangle de référence. Les droites (A₁C₁) et (A₂C₂) (en vert sur la figure) sont conservées pour intercepter le triangle.

Il existe un moyen pratique de trouver les deux triangles de référence. On peut représenter la ligne brisée A₁, B₂, C₁, A₂, B₁ et C₂ sous la forme d'un circuit hexagonal. Les côtés opposés de cet hexagone ont pour intersection les 3 points A, B, C et les deux triangles de référence sont les deux triangles bâtis sur l'hexagone.

Circuit hexagonal et triangles de référence

On peut illustrer sur une autre configuration, avec quelle facilité le circuit hexagonal permet de trouver les deux triangles de référence. Définissons cette fois-ci :

A comme l'intersection de (A₁B₂) avec (C₁C₂)
B comme l'intersection de (A₁A₂) avec (B₁C₂)
C comme l'intersection de (C₁A₂) avec (B₁B₂)

Le circuit hexagonal est alors A₁, A₂, C₁, C₂, B₁ et B₂ et les deux triangles de référence sont alors :

le triangle J₁K₁L₁ (en bleu sur la figure) dont les sommets sont les intersections des droites (A₁B₂), (B₁C₂) et (A₂C₁),
le triangle J₂K₂L₂ (en rouge sur la figure) dont les sommets sont les intersections des droites (A₂B₁), (B₂C₁) et (A₁C₂).

Circuit hexagonal et triangles de référence d'une autre configuration

Démonstration du théorème de Pappus à l'aide de Ménélaüs sur une autre configuration

Notions connexes

Le Théorème d'Hessenberg qui fait le lien entre le théorème de Pappus et le théorème de Desargues.
Le théorème de Pappus-affine dans le plan affine.
L'Hexagramme de Pascal dont la configuration de Pappus est une version dégénérée (la conique est une bidroite).
Enfin il est indispensable de rappeler que la configuration de Pappus est un bel exemple de Dualité (géométrie projective).

Théorème ou axiome?

Tout dépend dans quelle géométrie on se situe. Si on travaille dans un contexte de géométrie euclidienne, cette propriété n'est qu'un théorème découlant d'axiomes plus puissants.

En revanche, dans un contexte de géométrie projective, si on travaille dans un plan projectif pappusien, c'est un de nos axiomes de construction de ce plan. Si on travaille dans un plan projectif homogène, c'est un théorème qui découle d'un autre ensemble d'axiomes.