Théorème de Wilson

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Introduction

Alhazen est le premier mathématicien connu pour avoir énoncé le théorème de Wilson.

En mathématiques, plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Wilson énonce qu'un entier p plus grand que 1 est premier si et seulement si la factorielle de p - 1 est congrue à -1 modulo p. Cette caractérisation des nombres premiers est assez anecdotique et ne constitue pas un test de primalité efficace. Son principal intérêt réside dans son histoire et dans la relative simplicité de son énoncé et de ses preuves.

Énoncé et exemples

Énoncé

Théorème de Wilson — Un entier p strictement plus grand que 1, est un nombre premier si et seulement s'il divise (p - 1)! + 1, c'est-à-dire si et seulement si:

(p - 1)! + 1 \equiv 0 (mod p)

Ici, le symbole « ! » désigne la fonction factorielle et le symbole « . ≡ . (mod .) » désigne la congruence sur les entiers.

Exemples

Si p est égal à 2, alors (p - 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
Si p est égal à 3, alors (p - 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
Si p est égal à 4, alors (p - 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
Si p est égal à 5, alors (p - 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
Si p est égal à 6, alors (p - 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
Si p est égal à 17, alors (p - 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 x 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

Histoire

Le premier texte à faire référence à ce résultat est énoncé par le mathématicien arabe Alhazen , démontrant une remarquable avance sur les sciences occidentales. Ce théorème est connu à partir du XVII siècle en Europe. Gottfried Wilhelm von Leibniz fait référence à ce résultat sans le démontrer. John Wilson redécouvre ce qu'il croit être une conjecture et en partage la découverte avec son professeur Edward Waring qui publie cette conjecture en 1770.

Trois ans plus tard, Joseph-Louis Lagrange en publie une première démonstration et Leonhard Euler en présente une deuxième. Utilisant les notations de l'arithmétique modulaire, Carl Friedrich Gauss reformule les démonstrations de Lagrange et d'Euler et en donne une troisième.

Démonstrations

Tout d'abord, si l'entier (p - 1) ! + 1 est congru à 0 modulo p, c'est-à-dire s'il est de la forme kp pour un certain entier k, alors la relation 1 = kp -[1.2.3...(p-1)] fournit une identité de Bézout entre p et tous les entiers strictement plus petits. Ainsi p est premier avec chacun d'eux, et donc premier.

Passons à la réciproque. On suppose p premier. L'anneau Z/pZ est alors un corps, c'est-à-dire que modulo p, les classes de congruence de 1, 2, ..., p-1 sont inversibles (il s'agit juste de l'identité de Bezout). On note ce corps F_p. Les démonstrations ci-dessous reprennent le principe des trois démonstrations historiques, mais sont présentées avec la notation « moderne » (introduite par Gauss) des congruences. Elles peuventse reformuler sans celle-ci.

Démonstration de Lagrange

Le groupe F_p* des inversibles du corps F_p étant d'ordre p-1, le théorème de Lagrange sur les groupes implique que ses p-1 éléments sont racines du polynôme $X^{p - 1} - \overline{1} \in F_{p} [X]$ , dont le degré vaut justement p-1. Un autre théorème de Lagrange (concernant les polynômes sur un corps) permet alors d'en déduire la factorisation

X^{p - 1} - \overline{1} = (X - \overline{1}) (X - \overline{2}) \dots (X - \overline{p - 1})

d'où, par évaluation en $\overline{p}$ :

- \overline{1} = \overline{p - 1} \overline{p - 2} \dots \overline{1} = \overline{(p - 1)!} .

Démonstration d'Euler

Euler utilise que le groupe multiplicatif F_p* est cyclique, c'est-à-dire engendré par une classe a particulière, ce qui revient à dire que les p - 1 premières puissances de a (quand l'exposant varie de 0 à p-2) forment les éléments de ce groupe. En faisant leur produit on a donc :

\overline{(p - 1)!} = a^{0} a^{1} \dots a^{p - 2} = a^{n},

où l'exposant n se calcule comme somme d'une suite arithmétique :

n = k = 0 \sum p - 2 k = \frac{( p - 1 ) ( p - 2 )}{2},

Le nombre premier p peut être supposé impair (car pour p=2 le théorème se vérifie directement). Ainsi, p-1 ne divise pas n, tandis qu'il divise 2n. Autrement dit, a est d'ordre 2, donc égal à la classe de -1.

Démonstration de Gauss

Le principe consiste à éliminer, dans le produit des p-1 éléments de F_p*, chaque produit d'un élément par son inverse, à l'exception des éléments qui sont leur propre inverse : les racines du polynôme X - 1=(X - 1)(X + 1) dans le corps F_p, c'est-à-dire la classe de 1 et celle de -1. Lorsqu'on élimine, dans le produit, les paires d'inverses mutuels dont le produit vaut (la classe de) 1, il reste donc uniquement ces deux classes particulères, d'où

\overline{(p - 1)!} = \overline{- 1} \overline{1} = - \overline{1} .

Généralisation

Dans un groupe abélien fini le produit des éléments est égal

au neutre si l'ordre du groupe est impair
au produit des éléments d'ordre 2 si l'ordre du groupe est pair.

Pour le groupe $((Z / p Z)^{*}, \cdot)$ , avec p premier impair, on retrouve le version classique.

En effet, son ordre, qui est égal à p-1, est pair et son unique élément d'ordre 2 est la classe (modulo p) de -1.